“Aile eşyalarının” adil ve verimli bir şekilde tahsis edilmesi

Örneğin, iki mallı bir takas ekonomisi düşünün. ev mobilyaları (x) ve elektrikli aletler (y). Bu ürünlerle ilgili ilginç olan şey, bir ailenin bir demete sahip olması durumunda, ailenin tüm üyelerinin aynı pakete sahip olmalarıdır (bir "iyi kulüp" gibidir, sadece aile için).

İki aile var. Her ailede, paketlere göre farklı tercihlere sahip farklı üyeler vardır. Tüm tercihlerin monoton olarak arttığını ve kesinlikle dışbükey olduğunu varsayınız.

bir tahsis aile 1 için $ (x_1, y_1) $ ve aile 2 için $ (x_2, y_2) $ olan bir demet grubudur.

Bir tahsisat denir haset içermeyen Eğer:

• 1. ailenin tüm üyeleri, $ (x_1, y_1) $ 'in en az $ (x_2, y_2) $ kadar olduğunu düşünür;
• 2. ailenin tüm üyeleri, $ (x_2, y_2) $ 'in en az $ (x_1, y_1) $ kadar iyi olduğuna inanıyor.

Bir tahsisat denir Pareto verimli ailelere, başka ailelerin tüm üyelerinin zayıf bir şekilde tercih edeceği ve bir ailenin en az bir üyesinin kesinlikle tercih edeceği şekilde, ailelere paket dağıtımı yoksa.

Hangi koşullar altında Pareto-etkin bir gıpta-olmayan tahsisat var?

Her ailenin tek bir üyesi varsa, Pareto etkin bir gıpta içermeyen tahsisat vardır; bu ünlü Varian teoremi . Bu teorem bireylerden ailelere genelleştirildi mi?

Şu anda yeniden etiketlemenin eşdeğerliği ve bu nedenle bu anwer'in yararı hakkında emin değilim - aşağıdaki yorumları inceleyin.

Bu bir cevabın başlangıcı ve gerekli varsayımların varoluşu garanti altına almak için ne kadar güçlü olacağını gösterme çabasıdır.

Sorunu eşdeğer ancak üzerinde çalışması biraz daha kolay olana dönüştürelim. Aileler üzerinde indeksleme yapmak yerine, ajanlar (ailelerin üyeleri) üzerinde indeks yapalım. Bu yeniden etiketlemenin anahtarı, ailelerin kısıtlamalar olarak yazılabileceğini anlamaktır: $ i $ ve $ j $ ajanları aynı aileye aitse, $ x_i = x_j $ ve $ y_i = y_j $.

Artık bireysel bir ajanla (aileleri değil) ancak bu aile kısıtlamaları ile standart ortama geri döndük. Varian'ın bu teoriyle bağlantı kurduğunuz teorinin ispatını hatırlayın. Eşit gelirlerden rekabetçi bir dengenin varlığını kullanır. Bu bağlamda, ailevi kısıtlamaların da sağlandığı eşit gelirlerden rekabetçi bir dengenin varlığına ihtiyacımız olacaktı. Bunu yapmak çok zor olacak. Örneğin, $ i $ ve $ j $ 'ın bir ailede olduğunu düşünün ve $$ u_i = x_i + \ varepsilon y_i \: \: \ text {ve} \: \: u_j = \ varepsilon x_j + y_j $$ $ \ varepsilon & gt; 0 $ çok küçük. Bu tercihler monotonik ve dışbükeydir. Temel olarak, bir aile üyesi yaklaşık olarak x $, diğerinde ise yaklaşık $ y tutarında. İki aracının her biri, faydasını en üst düzeye çıkarmak için $ x $ ve $ y $ satın alıyorsa, rekabetçi dengede $ x_i ^ * = x_j ^ * $ veya $ y_i ^ * = y_j ^ * $ beklemeyin. görmek ek sonunda).

Bu nedenle, ailelerdeki tercih benzerlikleri konusunda kesinlikle bazı varsayımlara ihtiyacınız var (en azından Varian'ın kanıtının bir versiyonunu kullanmak için). Bana göre aile üyeleri arasındaki tercihlerimde keyfi olarak küçük bir fark verirseniz, aynı tahsisi seçtikleri hiçbir CEEI bulunmadığı bir yerde etrafına bir örnek oluşturabilirim. Ve en azından, Varian'ın kanıtını kullanamazsın.

İki soru:

1. Sorundaki reformumun resmen kendinize eşdeğer olduğunu kabul ediyor musunuz?
2. Bir karşı örnekle geçersiz kılmaya çalışacağım aile içi tercih homojenliğini varsaymaktan daha zayıf bir varsayım var mı?

Zeyilname: Rekabetçi bir dengede, her bir aracının marjinal ikame oranının (MRS) fiyat oranına eşit olduğunu unutmayın. Burada, temsilcilerimin sabit ve farklı MRS'leri var, bu yüzden her iki MRS'sine eşit fiyat oranıyla rekabetçi bir denge olamaz. Her bir ajanın değişen bir MRS'si varsa, o zaman belki de denge fiyat oranında eşit olabilirler. Belki de ailevi tercihler konusunda yerel homojenlik fikrinden kurtulabilirsiniz. Ancak rekabet dengelerinde yerel olarak homojen olmalarını sağlamalısınız, ki bu tam olarak var olduğunu kanıtlamaya çalıştığınız şeydir, bu yüzden biraz dairesel olacaktır.

Önemli Not: Daha önce de belirtildiği gibi, varlığını kanıtlamanın tek yolunun CEEI aracılığıyla Varian'ın yaptığı gibi olduğunu farz ediyorum. Bu sorunlara yol açan başka kanıt teknikleri olabilir, ama sanmıyorum.

CEEI'nın ötesinde: OP yorumlarda da belirtildiği gibi, PEE'lerin Varese'nin yaptığı gibi CEEI aracılığıyla varlığını kanıtlamak biraz kısıtlayıcı. Doğrudan PEEF'lerin varlığını kanıtlamak konusunda söyleyecek çok şeyim yok, ancak aşağıdakiler açıkça görülüyor: Pareto verimlilik koşulunuzu karşılayan herhangi bir tahsis için (şu an için kıskançlıksızlığı göz ardı edin), herhangi bir i için, $ $ x_i, x_j, y_i, y_j & gt; 0 $, $$ MRS_i = MRS_j $$ Bu doğru olmasaydı, bir Pareto iyileştirmesi olurdu. Rekabetçi denge, temel olarak MRS'leri fiyat oranı ile eşitlemektedir, ancak yine de bir Pareto etkin tahsisi bulmak için bu MRS'leri eşitlemeniz gerekir. Bence aile kısıtlamaları bunu çok zorlaştıracak - bu kısıtlamaları karşılayan Pareto etkin dengenin olmadığı bir çevre ve aile kısıtlamaları bulmak zor değil. Her durumda, bu bir cevaba doğru başka bir kısmi adım olabilir: Kıskançlık konusunda unut. İlk önce, ailevi kısıtlamaları karşılayan bir Pareto etkin tahsisatının varlığını garanti eden tercihler (ve belki de ailevi kısıtlamalar) üzerine bir varsayımda bulunmaya çalışın. O zaman kıskanıyorum.

Diyelim ki iki aile var: U ailesinin $ n_u $ üyesi ve V ailesinin $ n_v $ üyesi var. U ailesinin $ i $ üyesinin yardımcı işlevi şöyledir: \ begin {eqnarray *} u_i (x_u, y_u) = a_ix_u + y_u \ end {eqnarray *} $ a_i $ s tüm $ i \ in \ {1,2, \ ldots, n_u \} $

ve V ailesinin $ j $ üyesinin faydası işlevi: \ begin {eqnarray *} v_j (x_v, y_v) = b_jx_v + y_v \ end {eqnarray *} burada $ b_j $ s, \ {1,2, \ ldots, n_v \} $ içindeki tüm $ j \ için olumludur.

Ayrıca, $ \ min_i a_i \ geq \ max_j b_j $ olduğunu varsayalım.

$ X $ ve $ Y $ toplam bağış vektörünün $ olduğunu varsayalım.

Herhangi bir $ \ theta \ içinde [\ max_j b_j, \ min_i a_i] $, $ m: = \ displaystyle \ frac {\ theta \ omega_X} {2} + \ frac {\ omega_Y} {2} $ 'ı tanımlayın.

$ \ Displaystyle \ frac {m} {\ theta} \ leq \ omega_X $, sonra $ \ displaystyle (x_u, y_u) = \ left (\ frac {m} {\ theta}, 0 \ right) $ ve $ \ displaystyle (x_v, y_v) = \ left (\ omega_X - \ frac {m} {\ theta}, \ omega_Y \ right) $ Pareto etkin bir gıpta ücretsiz tahsisi, diğer yandan $ \ displaystyle \ frac { m} {\ theta} & gt; \ omega_X $, sonra $ \ displaystyle (x_u, y_u) = \ left (\ omega_X, m- \ theta \ omega_X \ right) $ ve $ \ displaystyle (x_v, y_v) = \ left (0, m \ right) $ Pareto verimli gıpta ücretsiz tahsis edilir.

Tüm ailelerde bulunan tüm ajanların tercihlerinin monoton ve dışbükey olduğunu (tüketici teorisinin standart varsayımları) varsayalım.

Daha sonra, iki aile olduğunda Pareto-etkin bir kıskançlık tahsisi her zaman mevcuttur. Ancak, üç ya da daha fazla aile olduğunda bu olmayabilir.

İspatlar ve örnekler bu çalışma kağıdı .

Sorun ifadesi, X ve Y'nin ikame edilemeyeceği anlamına geliyor (elektrikli bir cihaz ev mobilyaları olarak kullanılamaz).

Pareto etkin bir gıpta içermeyen tahsis şu durumlarda mevcuttur:

En az bir ajan için, en azından bazı malların olumsuz faydaları vardır veya tamamlayıcıdır ve ajanlar tüketmemeyi seçebilir.

Örnek:

1. A ve B ajanları F1 familyasındadır.
2. A ajanının fayda fonksiyonu:

Ua = -X1-X2-Y1-Y2

3. B ajanının fayda fonksiyonu:

Ub = X1-X2 + Y1-Y2

4. Ajanlar C ve D aile 2'dedir.
5. A Aracısı bir yardımcı program işlevine sahiptir:

Uc = -X1-X2-Y1-Y2

6. D Aracısı yardımcı program işlevine sahiptir:

Ud = -X1 + X2-Y1 + Y2

Çözüm:

F1 tercih eder (X1, Y1) ve A maddesi herhangi bir mal tüketmemeyi seçecektir.

F2, (X2, Y2) tercih eder ve C maddesi, herhangi bir mal tüketmemeyi seçer.

Bunlar gerçekten anlamsal argümanlar ve paylaşılan tercihleri ​​kabul etmeden anlamlı bir denge yok.