Göstermektedir

Tanımlar ve şeyler:

Filtrelenmiş bir olasılık alanını düşünün $(\Omega, \mathscr F, \{\mathscr F_t\}_{t \in [0,T]}, \mathbb P)$ nerede

1. $$T > 0$$

2. $$\mathbb P = \tilde{\mathbb P}$$

Bu riskten bağımsız bir önlemdir .

3. $$\mathscr F_t = \mathscr F_t^{{W}} = \mathscr F_t^{\tilde{W}}$$

nerede $W = \tilde{W} = \{\tilde{W_t}\}_{t \in [0,T]} = \{{W_t}\}_{t \in [0,T]}$ standart $\mathbb P=\tilde{\mathbb P}$-Bahçe hareketi.

Düşünmek $M = \{M_t\}_{t \in [0,T]}$ nerede

$$M_t := \frac{\exp(-\int_0^t r_s ds)}{P(0,t)}$$

İleri ölçüyü tanımla $\mathbb Q$:

$$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} := M_T = \frac{\exp(-\int_0^T r_s ds)}{P(0,T)}$$

nerede $\{r_t\}_{t \in [0,T]}$ kısa vadeli bir süreçtir ve $\{P(t,T)\}_{t \in [0,T]}$ t zamanındaki tahvil fiyatıdır.

Gösterilebilir ki $\{\exp(-\int_0^t r_s ds)P(t,T)\}_{t \in [0,T]}$ bir $(\mathscr F_t, \mathbb P)-$tahvil fiyat dinamiklerinin verildiği martingale:

$$\frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = r_t dt + \xi_t dW_t$$

nerede

1. $r_t$ ve $\xi_t$ Hangi $\mathscr F_t$-adapted

2. $\xi_t$ Novikov'un durumunu tatmin ediyor (sanmıyorum $\xi_t$ özellikle herhangi bir şeyi temsil etmesi gerekiyor)

---

Sorun:

Stokastik süreci tanımlama $W^{\mathbb Q} = (W_t^{\mathbb Q})_{t\in[0,T]}$ st

$$W_t^{\mathbb Q} := W_t - \int_0^t \xi_s ds$$

Kanıtlamak için Girsanov Teoremini kullanın :

$$W_t^{\mathbb Q} \ \text{is standard} \ \mathbb Q \ \text{-Brownian motion.}$$

---

Ne denedim:

Dan beri $\xi_t$ Novikov'un durumunu tatmin ediyor,

$$\int_0^T \xi_t dt < \infty \ \text{a.s.} \ \to \ \int_0^T -\xi_t dt < \infty \ \text{a.s.}$$

$$\to L_t := \exp(-\int_0^t (-\xi_s dW_s) - \frac{1}{2} \int_0^t \xi_s^2 ds)$$

bir $(\mathscr F_t, \mathbb P)-$martingale.

Girsanov Teoremi,

$$W_t^{\mathbb Q} \ \text{is standard} \ \mathbb P^{*} \ \text{-Brownian motion, where}$$

$$\frac{d \mathbb P^{*}}{d \mathbb P} := L_T$$

Sanırım bizde var $W_t^{\mathbb Q}$ standart $\mathbb Q$-Brownian Motion bunu gösterebilirsek

$$L_T = \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$$

Notlarımı kaybettim, ama sanırım Ito'nun lemmasını kullanarak

1. $$dL_t = L_t \xi_t dW_t$$

2. $$dM_t = M_t \xi_t dW_t$$

Bunu çıkarımdan

$$d(\ln L_t) = d(\ln M_t)$$

$$\to L_t = M_t$$

$$\to L_T = M_T$$

QED

Bu doğru mu?

(Kullanılan soruya ve gösterime daha yakından bakıldığında, formülasyon birkaç yerde sorunlu görünmektedir.)

Genel Bilgiler

İzin Vermek $W$ filtreleme ile ilgili standart Brown hareketi $( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$. Düşünmek$(L_t)_{t \in [0,T]}$ tarafından tanımlandı

$$\frac{dL_t}{L_t} = \psi_t dL_t, \; L_0 = 1.$$ Genel olarak, $L_t = e^{\int_0^t \psi_s dW_s - \frac12 \int_0^t \psi^2_s ds }$süper bir martingale. Bazı koşullar altında (örneğin Novikov'un durumu),$L_t$ bir martingale ve bir olasılık ölçüsü tanımlanabilir $\mathbb{Q}$ tarafından $$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = L_T.$$ Altında $\mathbb{Q}$, süreç $$W^{\mathbb{Q}}_t = W_t - \int_0^t \psi_s ds$$ filtrasyon açısından standart bir Brownian hareketidir $( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$.

Bunun neden doğru olduğunun gayri resmi bir göstergesi aşağıdaki gibidir. Düşünmek$W^{\lambda}_t = W_t + \int_0^t \lambda_s ds$. Bayes teoremi ile,$W^{\lambda}$ bir $\mathbb{Q}$-martingale sadece ve sadece $L W^{\lambda}$ bir $\mathbb{P}$-martingale. Dan beri

$$\begin{align*} d L W^{\lambda} &= L d W^{\lambda} + W^{\lambda} dL + dL dW^{\lambda}\\ &= L (\psi + \lambda) dt + (\cdots) dW, \end{align*}$$ Biz sahip olmalıyız $\lambda = - \psi$, için $W^{\lambda}$ biri olmak $\mathbb{Q}$-Bahçe hareketi.

Olasılık Yoğunluğu Olarak İndirimli Fiyat

Örtülü varsayımlar, fiyatı temel alınan bir varlık olduğu yönündedir. $S_t$ şu

$$\frac{dS_t}{S_t} = r_t dt + \sigma_t dW_t$$ risk altında tarafsız önlem $\mathbb{P}$. Kısa oran$(r_t)$ ve oynaklık $\sigma_t$süreçler, integrallerin var olması için yeterli düzenlilikle uyarlanır. (Bunun doğru olması için, tarafından üretilen Brownian filtrasyonu$(W_t)$ risk altındaki nötr önlem, fiziksel ölçü altındaki fiziksel Brown hareketi tarafından üretilenle aynı olmalıdır, böylece Martingale Temsil Teoremi geçerlidir.)

Bu Brownian filtrasyon ayarında, her zaman$T$ İddia $X_T$, fiyatının riskten bağımsız dinamikleri $X_t$ formu alır

$$\frac{d X_t}{X_t} = r_t dt + \psi_t dW_t.$$ Süreç $(\psi_t)$ geri dönüşün volatilitesi $X_t$, hem fiziksel hem de risk açısından tarafsız önlem kapsamında.

Başka bir deyişle, indirimli fiyatın riskten bağımsız dinamikleri $M_t = e^{- \int_0^t r_s ds} X_t$ tarafından verildi

$$\frac{d M_t}{M_t} = \psi_t dW_t, \, M_0 = X_0.$$ (Herhangi birinin indirimli fiyatı $T$-İddia, tarafsız bir tedbir altında, tahkim olmaksızın bir martingale uymalıdır.)

Novikov'un durumu geçerliyse, $L_T = \frac{M_T}{M_0}$ Radon-Nikodym yoğunluğunu tanımlar

$$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = L_T.$$ Altında $\mathbb{Q}$, süreç $$W_t - \int_0^t \psi_s ds$$ is a standard Brownian motion with respect to filtration $( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$.

In other words, the discounted payoff $e^{- \int_0^T r_s ds} X_T$ of any $T$-claim $X_T$, normalized by its time-$0$ price $X_0$, can be considered as the Radon-Nikodym density of a measure $\mathbb Q$. Under $\mathbb Q$, the risk-neutral Brownian motion now has drift given by the volatility of return $\frac{d X_t}{X_t}$.

If $(Y_t)$ is the price of a traded asset, then $e^{- \int_0^t r_s ds} Y_t$ is a $\mathbb P$-martingale. This implies that $(\frac{Y_t}{X_t})$ is a $\mathbb Q$-martingale.

Forward Measure

The forward measure is a special case of above where $X_t = P(t,T)$ is the time-$t$ price of the zero coupon bond maturing at $T$. In particular, $X_T = P(T,T) = 1$. In the expression

$$\frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = r_t dt + \xi_t dW_t,$$ $\xi_t$ is the volatility of return on zero coupon bond.

(If $(r_t)$ is deterministic, then $\xi = 0$, and the forward measure is the same as the risk neutral measure. The zero-coupon bond is a risky asset only when the short rate is stochastic.)

The corresponding measure $\mathbb Q$ is defined by

$$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = \frac{e^{- \int_0^T r_s ds} P(T,T)}{P(0,T)} = L_T.$$ Since $$\frac{d L_t}{L_t} = \xi_t dW_t,$$ it follows from general discussion above that, under $\mathbb{Q}$, the process $$W_t - \int_0^t \xi_s ds$$ is a standard Brownian motion with respect to filtration $( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$.

(In the question posted, the martingale $M_t$ should be $\frac{e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T)}{P(0,T)}$. It's the discounted asset prices that are martingales under risk-neutral measure.)

Empirical Comments

The forward measure $\mathbb Q$ has the property that the forward prices form a $\mathbb Q$-martingale.

Suppose $F(t,T)$ is the forward price of the forward contract entered at $t$ with maturity $T$. By no-arbitrage (spot-forward parity, in this case)

$$F(t,T) P(t,T) = S_t$$ which, after discounting, is a $\mathbb P$-martingale. So $F(t,T)$ is a $\mathbb Q$-martingale.

Since the forward price

$$F(t,T) = \frac{S_t}{P(t,T)}$$ moves inversely relative to the $P(t,T)$. The forward measure shifts probability mass toward states where the discounted return of zero coupon bond $$\frac{d \left( e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T) \right)}{ e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T)} = \xi_t dW_t,$$ is high, in such a way that counteracts the movement in $P(t,T)$ and keeps the (conditional) expectation constant.