“J” hayali birimi hakkında teorik soru (AC devre analizi)

AC ağ analizini öğrenmeye başladım ve hayali birim olan "j" (veya hesap makinemdeki "i") hakkında bazı sorularım var. Kitabım bununla ilgili pek bir şey yapmıyor ve doğrudan formüllere ve ikamelere atlıyor (teorik değil, daha pratik yaklaşım). Peki, J tam olarak neyi temsil ediyor?

Görüyorum ki, karmaşık bir düzlem çizersem (y ekseni hayali, x ekseni gerçek) ve üzerine bir birim daire , 90 ° 'lik bir açı , "j" olur. Bu ikameyi fazör formunda, örneğin, içinden geçen akım bilindiğinde bir kapasitördeki voltajı çözdüğümde kullanabileceğimi görüyorum:$\sqrt{-1}$

Birisi bunu anlamama yardımcı olabilir mi?

Dürüst olmak gerekirse, bu soru oldukça belirsizdir, çünkü J'nin ne olduğunu nasıl soracağımdan bile emin değilim; bu benim için yabancı. AC devre analizinde anlamının ve amacının sağduyulu bir açıklamasını (büyük resim) istiyorum. Mutlaka titiz bir matematiksel açıklama aramıyorum (gerekli herhangi bir matematiksel açıklama hoş geldiniz).

"5" sayısının önüne eksi işareti koyarsanız "-5" olur.

Buna farklı bakmaya çalışın. "5" sayısını (5 uzunluğundaki bir dizeyle başlangıç ​​noktasına bağlı) "-5" olmak için 180 derece döndürdüğünü düşünün.

Tamam çok uzak? Negatif işaretler 180 derece döndürmeyle aynıdır ...

Neden bunu 90 dereceye döndüren pozitif bir sayının önüne "yapıştırabileceğiniz" bir şeyi üretmek için daha fazla genişletmiyoruz - EE'de buna genellikle "j" denir ve bir değeri (başlangıç ​​noktası hakkında) 90 dereceye kadar döndürür saat yönünün tersine yani iki kez (j * j) yaparsanız 180 derece ("-") elde edersiniz.

Bu bilgi hazinesinden j * j = -1 diyebilirsiniz, bu nedenle j =$\sqrt{-1}$

Nasıl bir eksi işareti herhangi bir pozitif değeri 180 derece döndürebilirse, herhangi bir vektörü veya fazörü 180 derece döndürebilir. Aynısı j operatörü için de geçerlidir - herhangi bir vektörü veya fazörü saat yönünün tersine 90 derece döndürür.

EDIT - sorunun bir kısmını unuttum: -

j'yi bir kapasitörün empedansına ikame etmek. Bir kondansatörün temel formülünün Q = CV olduğunu ve bu nedenle elde ettiğimiz değişkenleri ayırt ettiğini unutmayın: -

$I = \dfrac{dQ}{dt} = C\dfrac{dV}{dt}$

Bu bize bir kapasitör boyunca sinüs dalgası uygulanan bir voltaj için akımın da bir sinüs dalgası olacağını ancak bunun gibi bir kosinana farklılaşacağını söyler:

VI ilişkisinden bir kapasitörün empedansını (V / I) hesaplamaya çalışırsanız, sorun yaşarsınız çünkü sıfırdan geçerken V sıfır DEĞİL, böylece sonsuzluk elde edersiniz. Öte yandan, gerilimle faza akım getirmek için bir "j" uygularsanız matematik iyi çalışır - gerilim ve voltaj V / I anlık değerlerine dayalı olarak hizalanır ve empedans mantıklıdır.

Yeni başladığınızın farkındayım, bu yüzden bunu hem doğru hem de basit tutmaya çalıştım (belki bazıları için çok basit?).

İndüktöre bakarsanız, "j" akımla hizalamak için voltaja uygulanabilir, bu nedenle "j" endüktif reaktans için paydadır ve j kapasitif reaktans için paydadadır. Burada daha fazla bilgi edindikçe mantıklı olacak incelikler var - aslında empedanslar söz konusu olduğunda "j" nin omega'yı "takip ettiği" bir tesadüf değil - açıklamam bunu kapsamıyor ve sorunuz da yok!

Saf matematikte $i$ asal kare kökünü temsil etmek $-1$.

Diğer kare kökü $-1$ olmak $-i$.

Gerçek sayıların yatay olarak yerleştirildiği bir sayı satırı hayal ediyorsanız. Artık sanal sayıları içeren dikey olarak giden ikinci bir sayı satırı ekleyebiliriz.

Şimdi, uçaktaki her noktanın gerçek ve hayali bir bölümle temsil edildiği bir kompleks sistemi oluşturduk; $4 + 3i$ gerçek eksen boyunca 4 birim ve hayali eksende 3 birim olan bir noktayı temsil eder.

İki boyutlu uzayda bir nokta artık tek bir sayı olarak gösterilebildiğinden, 2 boyutlu vektörleri içeren hesaplamalar basitleştirilmiştir.

Elektronikte, tek bir frekans sinüs dalgası tarafından sağlanan sistemleri düşünürken, öncelikle fazör diyagramları çizmemiz öğretilir. Daha sonra bu problemlerle başa çıkmak için karmaşık sayılar kullanın.

Ayrıca $j$ onun yerine $i$ama anlamı aynı. Sadece karışıklıktan kaçınmak çünkü elektronikte$i$ akım için sıklıkla kullanılır.

Biraz daha fazla bilgi edinmek isterseniz şu soruya göz atın: Hayali sayılar nedir? dan Matematik Stack Exchange sitesinde.

Veya buraya bir göz atın: Hayali Sayılar için Görsel, Sezgisel Bir Kılavuz .

Matematikte birisi şu soruyu sordu:

X ^ 2 = -1'in çözümü nedir?

Bir numara icat ettiler ve "j" diyelim.

Bunu yapmanın sonuçları üzerinde çalıştılar. Mevcut matematik alanında herhangi bir çelişkiye yol açmadığını buldular.

"Tamam, neden çözülemeyen bir şeyiniz olduğunda neden sadece bir harf sunmuyorsunuz?"

Dene. Her zaman işe yaramaz çünkü mevcut aritmetik kuralları bozulur. Örneğin, 1/0 = f tanımlamanın, 1 = 2 veya 1 = 3, ...

Matematiksel olarak çalışıyor ve herhangi bir çelişkiye yol açmadı. Aniden, karmaşık bir sayıyı temsil edebilmeniz nedeniyle iki bilgiyi tek bir sayıya "paketlemek" için bir yolumuz var: gerçek / hayali bir düzlemde. Aniden, hem büyüklük hem de faz içeren bir NUMBER değerini "normal sayılar" üzerinde yaptığımız gibi değiştirebiliriz. Bu oldukça faydalı.

Elektronikte, iki bilgiyi tek bir numarada toplayabilmek oldukça uygundur. Bu nedenle karmaşık sayıları kullanmak oldukça uygun. Hepsi bu kadar. Hem büyüklük hem de bir fazı takip etmek istiyoruz - birçok yönden sadece ince havadan icat edilmiş ancak herhangi bir kuralı çiğnemeyen bu matematik aracı sadece bunu yapmamıza izin veriyor. Hadi kullanalım.

Matematikte hayali birim 2'den yüksek dereceden denklemleri çözmek için kullanılan çok yararlı bir sayıdır. Teste sadece .... tanıtıldı ve bugüne kadar güzel çalışıyor. Bu, her polinomda en az bir kök elde edilmesini sağlar.

Elektronikte hayali birim, devremizde depolanan enerjiyi temsil eder. Yani, kapasitörde, içinde depolanan enerjidir. Ayrıca sinüzoidal sinyallerle uğraşırken devrede faz kaymasını temsil eder.

Sanırım sorunuzu daha doğru bir şekilde belirlemelisiniz veya sadece sizi rahatsız eden sorular yazmalısınız.

Örneğin ... Devrenizin empedansı gerçek değil, sadece hayali birimle temsil edilecekse, enerji faturanız ... sıfır olacaktır.