AC'nin amplitüdünü ve fazını temsil etmek için neden karmaşık sayılar kullanılmalı?

36

AC devrelerinde sinüs dalgalarının kutupsal formda karmaşık bir sayı olarak gösterilmesi nedendir? Fiziksel bir bakış açısıyla neden hayali bir parçanın olduğunu anlamıyorum. Devre analizini kolaylaştırmak tamamen matematiksel bir bakış açısına mı sahip?

ac circuit-analysis

— Prevost
kaynak

Muhtemel kopya: electronics.stackexchange.com/questions/28285/…

— clabacchio

8

Alıntı: "Devre analizini kolaylaştırmak tamamen matematiksel bir bakış açısıyla mı?"

Sorunun bu kısmına yeterince cevap verilip verilmediğinden emin değilim. Bu nedenle: Evet - sinüzoidal sinyalleri tanımlamak için karmaşık matematik kullanmanın doğrudan fiziksel bir ilgisi yoktur. Sadece "analizleri kolaylaştırmak" içindir.

Örnek olarak: Euler'in sinüs sinyalleri için ünlü formülünü Fourier serisine dahil etmek, negatif frekanslara (pozitif frekanslara simetrik) yol açar. Dolayısıyla, soru ortaya çıkar: Gerçekte negatif frekanslar var mı? Cevap hayır! Bu sadece yararlı bir matematiksel araçtır.

— LVW
kaynak

Tam olarak merak ettiğim şey buydu.

— Prevost

83

Aslında motivasyon oldukça basit.

Doğrusal bir devreniz olduğunda ve onu yalnızca bir frekansla uyardığınızda, nereye bakacak olursanız olun, her zaman aynı frekansı bulacaksınız, sadece ölçtüğünüz dalganın büyüklüğü ve fazı değişecektir.

Öyleyse ne yaptığınızı söyleyelim, frekansı unutalım; devrenin etrafındaki voltaj ve / veya akımların amplitüd ve fazlarını takip edersem, fazlasıyla yeterli olacaktır. Fakat bunu nasıl yapabilirsiniz? Genlik ve fazı takip etmenize izin veren herhangi bir matematiksel araç yok mu? Evet, anladın: vektörler. Bir vektörün bir genliği, uzunluğu ve bir ekseni, x ekseni ile oluşturduğu açıdır, ccw yönü pozitiftir.

Şimdi itiraf edebilirsin ok vektörler harika, ama daha serin bir şey yok mu? Ve neden hayali birimi kullanmamız gerekiyor?

İkinci sorunun cevabı kolaydır: vektörlerle hesaplamalar yapmak oldukça acıdır, not alma ağrısıdır:

(\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 \\ 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 10 \end{matrix})

$\pmatrix{2\\3}+\pmatrix{1\\7}=\pmatrix{3\\10}$

Ve bu yalnız eklenmesi! Evet, bu sadece gösterim problemidir, başka bir üssü seçersek, işler daha iyi olabilir ... Ve bu temel gerçekleşir, ancak hayali birim gerektirir . Önceki karışıklık olur: Çok daha kolay değil mi? $\mathbb{R}^2$ $j$

2 + 3 j + 1 + 7 j = 3 + 10 j

$2+3j+1+7j=3+10j$

Tamam, ama gerilimle ortak olarak hayali bir vektör ne var? Gauss düzlemini hayal etmeye çalışın, x ekseni gerçek eksen, y ekseni hayali olandır.

Bir voltaj, menşei merkezli bir vektör ile temsil edilebilir, uzunluğu voltaj değerine eşit , başlangıç açısı faza eşittir. Şimdi sihir numarası: vektörü döndürmeye başlayın, böylece açısal hızı istenen frekansa karşılık gelir: $\omega$

güzel fazör

Bam. Buna fazör diyoruz ve o küçük adam zorlu devrelere karşı sahip olduğunuz en güçlü silah.

Peki bu fazerler neden özel? Bunun nedeni, iki gerçek voltaj : ve bunları toplamak istediğinizde, Karşılık gelen fazerleri toplarsanız ve ardından gerçek alana geri dönerseniz , sonuç aynı olur . Bu, elbette sihir değildir, cosinusoidler ve üstel üstel arasındaki matematik yakınlığına bağlıdır . Sadece inan bana veya bu harika resme inan:

v_{1} (t) = V_{1} \cos (2 π f_{0} t + θ_{1}) v_{2} (t) = V_{2} \cos (2 π f_{0} t + θ_{2})

$v_1(t)=V_1\cos(2\pi f_0t+\theta_1)\\ v_2(t)=V_2\cos(2\pi f_0t+\theta_2)$

görüntü tanımını buraya girin

Ve en iyisi şu ana kadar çalıştığınız tüm gerçek devre analizlerinin fazerler ve karmaşık empedanslarla çalışmaya devam etmesidir. Şöyle ki: Ohm kanunu fazerler ve karmaşık empedanslara sahiptir ve bu, Ohm ve Kirchhoff yasalarına dayanan devreleri çözmek için bir ton aracımız olduğundan ve hala bunları kullanabileceğimiz için harika.

Türev / entegrasyon almak için fazerler ile de son derece kolaydır: bildiğiniz gibi, hep aynı frekansta sinüs ve kosinüslerden bahsettiğimizden, sadece faz kayması meselesidir ve bu sürprizi çok net bir şekilde kullanırsanız, karmaşık üstel temsil.

TL; DR: Sinüsoidler kutup düzleminde dönen vektörler olarak temsil edilir, döndürülerek ve fotoğraf çekerken durma süresi gibi, yani faz ve genlik ilişkilerini hesaplarlar. Sadece wikipedia'daki fazer sayfasını kontrol et . Ve bu diğer özlü cevabı da kontrol edin .

— Vladimir Cravero
kaynak

7

Güzel pwretty beni +1 gibi resimleri

— Andy aka

Kompleks gösterimi ile ilgili hoş olan bir diğer şey: Kompleks bir üstelin türevi, bir faz kayması ile üstel olan bir başka karmaşık. Dolayısıyla sinüs veya kosinüs kullanıp kullanmadığınızı takip etmenize gerek yok. (Tabii ki, tek bir frekans tarafından yönlendirilen bir devre ile ilgili olarak sizin açınızdan örtülüdür, ama bence bunun açık olması güzel bir nokta.)

— Semiclassical

Karmaşık sayıları vektörlerden daha iyi yapan gerçekten harika olan şeyi parlıyorsunuz: E = IR karmaşık sayılarla çalışıyor.

— supercat

Bu sadece tldr bölümünün üstünde ...

— Vladimir Cravero

Güzel (+1). Genlik modülasyonunu göstermek için uçtan uca iki fazör ekleyebilir ve daha sonra FM için 90 derecelik faz kaymasını yapabilir misiniz? (Çoğunlukla yüksek modülasyon indeksinde FM fazör diyagramı görmek istiyorum. Bunu görselleştirmekte zorlanıyorum.)

— George Herold

1

Unutulmaması gereken ana nokta, herhangi bir periyodik sinyalin (pratikte uygulanan veya tam olarak değilse isteğe bağlı bir dereceye uygulanan bazı temel analitik kısıtlamalarla birlikte), çarpımın bir katı olduğu bir sinüs ve kosinüs sinyallerinin toplamı olarak gösterilebileceğidir. sinyalin dönemi.

Şimdi, direk yanıttan (dirençler gibi) saltanattan ayrıldığınızda, enerji depolanabilir ve alınabilir. Bobinler manyetik enerji depolar (gerilim uygular ve akım sadece kademeli olarak başlar, ancak gerilim kesildiğinde devam eder), kapasitörler elektrik enerjisini depolar (akım uygular ve gerilim yalnızca kademeli olarak başlar, ancak akım kesildiğinde devam eder), kütleler kuvveti kademeli olarak kuvvete dönüştürür , yaylar yavaş yavaş dürtüleri harekete geçirir vb.

Birçok iktidar biçimi temel olarak bazı uyarma önlemlerinin karesidir. Şimdi, aynı argümanın sinüs ve kosinüsünün karelerinin toplamının 1 olduğu ortaya çıktı. Bu nedenle, sinüs ve kosinüsler kullanarak enerjinin periyodik dönüşümünü tarif etmekte çok başarılısınız.

Sinüs ve kosinüs kullanan cebirin incelikli olduğu ortaya çıktı. Periyodik sinyalin enerji formunu temsil etmediğiniz hayali bir terim türü eklerseniz ve ilgilenmediğiniz hayali bölümün kalanını atarsanız, cebirsel işlemler karmaşık olan gerçek değişkenlerin pahasına çok daha kolaylaşır. .

— user53147
kaynak

1

İndüktansı olan bir endüktif bobin ile seri bağlanmış voltaj kaynağı olan basit bir . Sonra, $v(t) = Vcos(\omega t + \phi)$ $L$

v (t) = R e {V e^{j (ω t + ϕ)}} = L \frac{d i}{d t} R e {V e^{j (ω t + ϕ)}} d t = L d i \int R e {V e^{j (ω t + ϕ)}} d t = L \int d i R e {\int V e^{j (ω t + ϕ)} d t} = L i (t) R e {\frac{1}{j ω} V e^{j (ω t + ϕ)}} = L i (t) i (t) = R e {\frac{1}{j ω L} V e^{j ϕ} e^{j ω t}}

$v(t) = Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\} = L\frac{di}{dt}\\ Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\}\ dt = L\ di\\ \int Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\}\ dt = L \int \ di\\ Re\{\int Ve^{j(\omega t + \phi)}\ dt\} = L i(t)\\ Re\{\frac{1}{j\omega}Ve^{j(\omega t + \phi)}\} = Li(t)\\ i(t) = Re\{\frac{1}{j\omega L}Ve^{j\phi}e^{j\omega t}\}$

Bu bizi ne satın alıyor? Biz de, sadece bir değer ile bir rezistör gibi bobin tedavi edebilir Daha sonra yerine olabilir sabitiyle . Bu basitleştirilmiş devrede, bulmak için ohm yasasını kullanıyoruz . Sonra gerçek değerini bulmak için biz sadece çarpın ile ve gerçek parçası alır. Bu, tüm pasif bileşenlere genişletilebilir. Bu nedenle tüm değişken miktarları karmaşık sayılarla modelleyebilir , işlemdeki tüm hesaplamaları basitleştirebiliriz. Daha sonra ihtiyaç duyduğumuzda onları karmaşık olmayan biçimlerine dönüştürebiliriz. $j\omega L$ $v(t)$ $v_o = Ve^{j\phi}$ $i_o = \frac{v_o}{R} = \frac{v_o}{j\omega L}$ $i(t)$ $i_o$ $e^{j\omega t}$

— Veritas
kaynak

0

Onların bir AC sinyalini herhangi bir anda, genlikte ve fazda temsil etmek için iki bilgi parçası olduğu konusunda hemfikir olduğumuzu kabul ediyorum, oysa ki bunlar yalnızca DC için genliktir.

Sadece bilgiyi manipüle etmemiz gereken analiz değil, aynı zamanda devre tasarımıdır . Bileşenler empedansa sahiptir ve AC sinyallerini etkiler. Bu nedenle, tasarım yaparken, belirli AC özelliklerine sahip bir devre tasarlamak için empedansları hesaplayabilmemiz gerekir.

Karmaşık sayılar, hem AC sinyallerini hem de empedansı temsil etmek ve hesaplamak için uygundur. İki boyut, uzunluk ve açı, beraberlik ve fazı birlikte hesaplamamızı ve tutarlı kalmamızı sağlar.

— gbulmer
kaynak