Fourier Serisinin işlevi nedir?

Fourier Serisi nedir? Ne için kullanılır?

Fourier serisi:

$V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t) + b_i cos(i \omega_0 t) ]$

Terimi, sabittir, bu DC seviyesidir. Ayrıca ikiye bölünmeden de yazılabilirdi, ama bu konvansiyon. Sonsuz toplamın terimleri, ağırlıklı sinüs ile aynı frekansta ağırlıklı bir kosinüsün toplamıdır. Bunları karmaşık Argand düzleminde fazörler olarak çizerseniz, sonucun yine bir sinüs olduğunu, ancak farklı bir genliğe sahip olduğunu ve fazın değiştiğini görürsünüz. Bu nedenle denklem şu şekilde de yazılabilir: $\dfrac{a_0}{2}$

$V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t + \phi_i) ]$

Biz sinüs toplamını sahip Yani, temel bir frekans tüm çoklu frekansları kendi genliği ve fazı ile, her biri. $\omega_0$

Fourier, her tekrarlayan işlevi bu şekilde tanımlayabileceğinizi kanıtladı. Bazen dizi sonsuzdur, bazen sınırlı sayıda terimi vardır. Bazen terimler eksiktir, yani genlikleri sıfırdır.

En iyi bilinen Fourier serilerinden biri kare dalgadır:

$V_t = \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\left[\dfrac{sin((2i - 1) \omega_0 t)}{2i - 1} \right]$

veya genişletilmiş:

$V_t = sin(\omega_0 t) + \dfrac{1}{3} sin(3 \omega_0 t) + \dfrac{1}{5} sin(5 \omega_0 t) + \dfrac{1}{7} sin(7 \omega_0 t) + ...$

Yani bu eksik terimleri olan bir seri: kare bir dalganın bile harmonikleri yok. Aşağıdaki görüntü, zaman alanında neye benzediğini gösterir:

Üstteki çizim ilk iki terimin toplamını gösterir, daha sonra üçüncü ve altta dördüncü terim eklenir. Eklenen her terim dalga formunu kare bir dalgaya yaklaştırır ve mükemmel bir kare dalga elde etmek için serinin sonsuzluk sınırına ihtiyacınız olacaktır.

Bazen içindeki temel sinüsü görmek zordur. Örneğin 3Hz sinüs ve 4Hz sinüs toplamını ele alalım. Ortaya çıkan dalga formu saniyede bir tekrarlanır, bu 1Hz'dir. 1Hz, genliği sıfır olsa bile temeldir. Seri şu şekilde yazılabilir:

$V_t = 0 \cdot sin(\omega_0 t) + 0 \cdot sin(2 \omega_0 t) + sin(3 \omega_0 t) + sin(4 \omega_0 t)$

Aşağıdaki terimlerin tümü de sıfır genliğe sahiptir.

Gerçekleştirilebilir her analog sinyal, gerilim ve zaman grafiğine meşru bir şekilde çizebileceğiniz veya çizebileceğiniz her şey, matematiksel olarak farklı frekanslardaki sonsuz sayıda sinüs dalgasının toplamı olarak ifade edilebilir - bu formun bir şey:

any_signal(t) = A*sin(f1*t) + B*sin(f2*t) + C*sin(f3*t) ....

Farklı sinyaller değerleri değiştirilerek inşa edilir A, B, Cvb ve f1, f2ve diğerleri.

Birisi bir Fourier serisine başvurduğunda, dalga formunu yukarıdaki gibi bir dizi ek işlem olarak ifade etmeyi ifade eder.

Gerçekçi olarak her analog sinyal her frekansta BAZI içeriğe sahiptir - genlik .1e-67 olsa bile hala oradadır. İdeal olarak bu böyle değildir - eğer saf bir kare dalga inşa edersem, o zaman biliyorum ki SADECE döneminin garip bir katı olan frekanslardan oluşur. Böylece 1Hz kare dalga, 1Hz sinüs dalgasının artı 3Hz sinüs dalgasının toplamıdır. Üçgen dalgalar ve rampalar gibi diğer iyi bilinen dalga formları için insanlar hangi frekansların mevcut olduğu ve hangi içerikte olduğu konusunda hesaplamalar yaptılar.

Fourier Serisi periyodik bir dalga formunu 'muhtemelen harmonik' sinüzoidal dalga formlarının (muhtemelen sonsuz) toplamı olarak ifade etmenin bir yoludur.

Sinüzoidal dalga formlarının sonsuz toplamı olarak sınırlı (kompakt) bir zaman aralığında bir sinyali ifade etmek için de kullanılır.

Esasen, zaman alanındaki bir sinyal (yani zamanın bir fonksiyonu olarak ifade edilen bir sinyal) ve frekans alanındaki bir eşdeğer bir sinyal (yani, frekansın bir fonksiyonu olarak ifade edilen sinyal) arasındaki ilişkiyi kurarak, Fourier Seri, radyo iletim teorisinin, kodlama teorisinin, kontrol teorisinin, kuantum teorisinin ve diğer pek çok yararlı mühendislik alanının temeli olan sinyallerin ve sistemlerin harmonik analizini sağlar.

Fourier serisi sinyallerin ifadesi ilk başta karmaşık ifadeleri ve 'sonsuz toplamları' içeren bir matematiksel araç olarak daha karmaşık görünse de, mühendislerin kapalı form ifadeleri kullanılarak çözülemeyen sorunları çözmelerini sağlar.

Basitçe ifade etmek gerekirse, bazen uzay ve / veya zamandaki değişimi frekans ve fazdaki bir değişiklik olarak ifade etmek faydalı olabilir. Özellikle periyodik varyasyonlar için. Ancak, varyasyon periyodik olmasa bile, varyasyon uzayda ve / veya zaman içinde bir aralıkla sınırlı kaldığı sürece, aynı zamanda frekansta karşılık gelen bir aralıkla (bant genişliği) sınırlandırılacaktır.

Fourier Serisinin uygulanması, iletişim sistemleri için kanal bant genişliğini anlama, görüntü sıkıştırma algoritmaları geliştirme ve elektrik güç dağıtım sistemi güvenilirliğini artırmada etkili olmuştur.

Yukarıdaki yorumlara biraz pratiklik katmak için, Fourier zaman alanı serisi FFT (Hızlı Fourier Dönüşümü) ve DFT (Ayrık Fourier Dönüşümü) gibi algoritmalar aracılığıyla frekans alanı bileşenlerine ayrılabilir. Algoritmaları uygulayabilmenin önemli bir pratik sonucu, Ar-Ge ve laboratuvar testlerinde, ne kadar saf veya sıklıkla olduğunu görmek için genellikle bir gürültü zemine (örneğin SNR veya Sahte Serbest Dinamik Aralık) karşı sinyallerin spektral saflığını ölçmek istiyoruz. bozulmamış, sinyal içeriğimiz. Bir zaman etki alanı çıktımız varsa (DA dönüştürücü gibi işleyebilir), yalnızca zaman etki alanı yanıtına bakarak bu değerleri tespit edemeyiz, bu yüzden çoğu zaman simülasyon tarafında, dönüştürmek için bir DFT modülü kullanacağız spektral (frekans) alana zaman etki alanı sinyali. Laboratuarda, Osiloskopta, spektral özelliklere bakabilen bazı araçlara ihtiyacımız var (tipik olarak spektrum analizörleri kullanıyoruz). Bu araçların kalbi Fourier analizine ve spektral ayrışma yöntemlerine bağlıdır. Yani orada EE'de Fourier analizinin neden önemli olduğuna dair pratik bir nedeniniz var.