Adım yanıtı aşılmayan nedensel olmayan düşük geçişli filtre için en keskin frekans yanıtı nedir?

Butterworth, Bessel, Chebychev ve samimi alçak geçiren filtreler, eşit olarak azalan bir frekans yanıtı, düzgün bir faz yanıtı, dik bir kesme veya "tuğla duvar" yanıtı arasında farklı dengesizliklerin olduğu çeşitli durumlarda kullanılır. Bu tür filtrelerin bazı durumlarda adım tepkilerini aşabileceğine inanıyorum, yani dürtü tepkileri bazı yerlerde olumsuz.

Darbe tepkisinin hiçbir yerde negatif olmaması tek kısıtlaması olan bir filtrede en uygun frekans tepkisi ne olabilir veya ne tür frekans tepkileri mevcut olabilir? Elbette, böyle bir kısıtlamayı karşılayan düşük geçişli bir filtreye sahip olmak mümkündür, çünkü temel bir RC filtresi bunu yapacaktır (bu tür bir filtrenin tepkisi biraz kırışık olsa da). Optimal dürtü yanıtı normal bir dağılım eğrisi mi yoksa başka bir şey mi?

Ben "aşmayan filtreler" bir grup listesi olacak. Umarım bu kısmi cevabı cevap vermekten daha iyi bulacaksınız. Umarım "aşmayan bir filtre" arayan kullanıcılar bu filtrelerin bu listesini yararlı bulacaktır. Belki de bu filtrelerden biri, henüz matematiksel olarak optimum filtreyi bulamasak bile uygulamanızda yeterli şekilde çalışacaktır.

birinci ve ikinci dereceden LTI nedensel filtreler

Birinci dereceden bir filtrenin ("RC filtresi") adım yanıtı asla aşılmaz.

İkinci dereceden bir filtrenin ("biquad") adım yanıtı asla aşmayacak şekilde tasarlanabilir. Bir adım girişini aşmayan bu ikinci dereceden filtre sınıfını tanımlamanın birkaç eşdeğer yolu vardır:

• kritik olarak sönümlenir veya aşırı hasar görür.
• eksik hasarlı değildir.
• sönüm oranı (zeta) 1 veya daha fazla
• kalite faktörü (Q) 1/2 veya daha azdır
• bozulma oranı parametresi (alfa) en azından sönümsüz doğal açısal frekanstır (omega_0) veya daha fazla

Özellikle, eşit kapasitörlere ve eşit dirençlere sahip bir birlik kazancı Sallen-Key filtre topolojisi kritik olarak sönümlenir: Q = 1/2 ve bu nedenle bir adım girişini aşmaz.

İkinci dereceden bir Bessel filtresi biraz yetersiz kalıyor: Q = 1 / sqrt (3), bu yüzden biraz aşıldı.

İkinci dereceden Butterworth filtresi daha az hasar görüyor: Q = 1 / sqrt (2), bu yüzden daha fazla aşımı var.

Nedensel olan ve aşılamayan tüm olası birinci dereceden ve ikinci dereceden LTI filtrelerinden "en iyi" (en dik) frekans yanıtına sahip olan "kritik olarak sönümlenmiş" ikinci dereceden filtrelerdir.

yüksek dereceli LTI nedensel filtreler

Asla olumsuz olmayan (ve bu nedenle adım girişine asla aşılmayan) dürtü yanıtı olan en yaygın kullanılan yüksek dereceli nedensel filtre, "vagon filtresi" veya " hareketli ortalama filtresi " olarak da adlandırılır. ".

Bazı insanlar verileri bir vagon filtresi ile çalıştırmayı ve bu filtreden çıkan çıkışı başka bir vagon filtresine aktarmayı sever. Bu tür birkaç filtreden sonra, sonuç Gauss filtresinin iyi bir yaklaşımıdır. (Basamak ne kadar çok filtre uygularsanız, merkezi sınır teoremi nedeniyle hangi araba ile başlarsanız başlasın, şanzıman, üçgen, birinci dereceden RC veya diğer herhangi bir filtre olursa olsun, nihai çıktı bir Gauss'a yaklaşır).

Pratik olarak tüm pencere fonksiyonlarının hiçbir zaman negatif olmayan bir dürtü yanıtı vardır ve bu nedenle prensipte hiçbir zaman bir adım girişini aşmayan FIR filtreleri olarak kullanılabilir. Özellikle, sinc () fonksiyonunun (ve o lobun dışında sıfır) merkezi (pozitif) lob olan Lanczos penceresi hakkında iyi şeyler duyuyorum . Birkaç puls şekillendirme filtresinin asla negatif olmayan bir dürtü yanıtı vardır ve bu nedenle adım girişine asla aşmayan filtreler olarak kullanılabilir.

Bu filtrelerden hangisinin uygulamanız için en iyi olduğunu bilmiyorum ve matematiksel olarak optimum filtrenin herhangi birinden biraz daha iyi olabileceğinden şüpheleniyorum.

doğrusal olmayan nedensel filtreler

Medyan filtresi adım fonksiyon girişi üzerine çıkana asla popüler bir doğrusal olmayan filtredir.

EDIT: LTI nedensel olmayan filtreler

Sech (t) = 2 / (e ^ (- t) + e ^ t) işlevi kendi Fourier dönüşümüdür ve herhalde a. adım girişi.

(Sinc (t / k)) ^ 2 dürtü yanıtı olan nedensel olmayan LTI filtresinin "abs (k) * üçgen (k * w)" frekans yanıtı vardır. Bir adım girişi verildiğinde, çok fazla zaman alanı dalgalanması vardır, ancak asla nihai yerleşim noktasını aşmaz. Bu üçgenin yüksek frekanslı köşesinin üstünde, mükemmel durdurma bandı reddi (sonsuz zayıflama) verir. Böylece, durdurma bandı bölgesinde, bir Gauss filtresinden daha iyi frekans tepkisine sahiptir.

Bu yüzden Gauss filtresinin "optimal frekans yanıtı" verdiğinden şüpheliyim.

Tüm olası "aşmayan" filtreler kümesinde, tek bir "optimal frekans yanıtı" olmadığından şüpheleniyorum - bazıları daha iyi durdurma bandı reddine sahipken, diğerleri daha dar geçiş bantlarına sahip.

Dijital dünyada kullanılan filtrelerin çoğu, analog muadilinin sadece örneklenmiş halidir. Bunun en büyük nedeni, dijital gelmeden önce analog filtrelemede çok fazla iş yapılmasıydı, bu yüzden tekerleği yeniden icat etmek yerine, en yeni kullanılan tasarımlar. Dijitalin avantajı, analog dünyada olduğundan daha yüksek bir filtrenin daha kolay elde edilebilmesidir. Tasarıma her sipariş eklediğinizde karmaşık bir devrenin alındığını hayal edin.

Bir tuğla duvar tipi filtre için gidiyorsanız Gauss eğrisi başlamak için oldukça iyi bir yerdir. Time Domain <-> Frequency Domain hakkında bilginiz varsa; bir Gauss, diğer alanda bir Gauss'a dönüşür. Birinde sarıldıkça diğerinde daralır. Bu yüzden frekans alanında mükemmel bir artış elde etmek için sonsuz miktarda örneğe ihtiyacınız olacaktır.

Matlab'ı kullanıma hazır hale getirdiyseniz, yerleşik filtre tasarım araçlarından bazılarına göz atmalısınız. Butterworth ve Bessel hakkında konuşan bir link . Tasarım araçları filtrenin belirli yönlerini belirlemenizi sağlar. Bu yönler her filtre türü için değişir, ancak bazı örnekler Passband, stopband, dalgalanma vb .'dir. Tasarımcıya istediğiniz kısıtlamaları verirseniz, size bir hata verir (yani, bu filtreyi o filtre türüyle yapamaz. ) veya spesifikasyonları karşılamak için gereken minimum siparişe sahip bir filtre verecektir.