Elektronik Sanatı: Emitter-Follower Zout

Ben Elektronik Sanatı ile sinirli bir büyüme yaşıyorum. Bölüm 1'de bu kadar yaklaşılabilir bir kitaptır ve daha sonra Bölüm 2'de yazarlar daha ders kitabı gibi yapmak isterler ve alıştırmalar yerine bilgi bırakmaya başlarlar. Sanırım bu gerçekten kendi kendine çalışma kitabı değil ...

Ne yazık ki kavramları anlamak zorunda olan adamlardan biriyim, sadece bir formülü körü körüne takip edemiyorum. Özellikle yayıcı-takipçisinin çıkış ve giriş empedansını anlamaya çalışıyorum. Metin, giriş empedansının, tabana bakan empedansın nasıl türetildiğine dair iyi bir döküm sağlar. Daha sonra çıktı için formülü aşağı doğru çizer ve bunun da hesaplanabileceğini söyler ... ve sonra birinden bunu kanıtlamasını isteyen bir alıştırma görünür.

$$Zout = \frac{(Zsource)}{(h_{fe} + 1)}$$

Show that the preceding relationship is correct.  
Hint: Hold the sourdce voltage fixed, and find 
the change in output currrent for a given change
in output voltage.  Remember that the source voltage 
is connected to the base through a series resistor.

Nereden başlayacağımı bile bilmiyorum. Birkaç formül yazdım ve değiştirmeye başladım ...

$$\begin{eqnarray*} r_{out} &=& \frac{(\Delta V_{out})}{(\Delta I_{out})}\\ &=& \frac{(\Delta V_e) }{ (\Delta I_e)} \\ &=& \frac{(\Delta V_b - 0.6V) }{ (\Delta I_e)}\\ \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*} I_e &=& I_c + I_b \\ &=& (h_{fe} * I_b) + I_b\\ &=& (h_{fe}+1) * I_b\\ \end{eqnarray*}$$

$\Delta I_e = (h_{fe}+1) * \Delta I_b$

$r_{out} = \frac{(\Delta V_b) - 0.6 V } {(h_{fe} + 1) * \Delta I_b}$

Can I assume that 0.6 V is negligible and can I drop it?  If so,

$$\begin{eqnarray*} r_{out} &=& \frac{(\Delta V_b)}{ (h_{fe} + 1) * (\Delta I_b)}\\ &=& \frac{(\Delta V_b)}{(\Delta I_b)} * \frac{1}{(h_{fe} + 1)} \\ &=& \frac{r_{source} }{ (h_{fe} + 1)} \end{eqnarray*}$$

Türevimde herhangi bir yere yakın mıyım? Varsayımlarım [$V_{out} = V_e$] ve [$I_{out} = I_e$]geçerli? Ve türevimdeki baz-yayıcı bağlantı gerilimi düşüşünü düşürmek kabul edilebilir mi?

Bunu yapmanın standart yolu, küçük sinyalli AC analizi kullanmaktır. Transistörün ileri aktif bölgede eğilimli olduğunu varsayın. Hybrid-pi modelini kullanın. Ardından çıkış düğümüne bir test voltajı / akım kaynağı yerleştirin ve girişi topraklayın. Test kaynağınızın akım / voltajını ölçün ve bu çıkış empedansını gösterir. Giriş empedansını da bu şekilde bulabilirsiniz.

BJT'nin küçük sinyal modelini kullanmanın problemi mekanik olarak yapılması kolay bir doğrusal devre analiz problemine dönüştürmenize izin vermesi dışında, bu temel olarak kitabın size söylediği ile aynıdır.

Türevinizde neyin yanlış olduğundan emin değilim, ancak 0.6V bir şekilde düşmeli, çünkü voltaj ve akımlardaki değişime bakıyorsunuz.

OP'ye daha önce işaret edildiği gibi, bir sabiti "delta" ettiğinizde, iz bırakmadan kaybolur. Ben de öğrenciyim ve aynı kitabın bu kısmı ile mücadele ediyorum. Yazarın neden giriş voltajını sabit olarak ayarlamamızı istediğini anlamıyorum, ancak bunu söndüğümün kanıtına ekleyebilir ve doğru sonucu elde edebilirim.

Elektronik bilginizi 101 önce yayıcı takip devresini paralel olarak iki empedansa sahip olarak görerek kullanabilirsiniz; çıkıştan bakarken, sağa dönün ve transistörün vericisine bakın. Sola dönün ve yayıcı direncine bakın. Sizi karıştırmak için bir voltaj kaynağı ve bir toprak bağlantısı var, ancak empedansları almak için bunlar göz ardı edilebilir. Bunun doğru olduğunu görmek için, örneğin bir direnç ve içindeki bir voltaj kaynağı ile çok basit bir devre yapın, örneğin, seri halde bir voltaj kaynağının direncin empedansını (direncini) değiştirmediğini göstermek için. Empedans tanımı:

$$Z = \Delta V / \Delta I .$$

Yine bu bir direnç için R'dir. Şimdi yayıcı-takipçiye geri dönelim

^{bu devreyi simüle et - CircuitLab kullanılarak oluşturulan şematik}

Bu yüzden transistörün vericisine bakan Z1 empedansı ve Z2 sadece R2'dir ve bunlar paraleldir. "İçine bakmak" mantıklıdır çünkü transistör ile, hangi yöne baktığınıza bağlıdır (örneğin, çıkış ve giriş empedansları farklıdır).

İki paralel direnç için toplam direncin verildiğini unutmayın.

$$1/R = 1/R_1 + 1/R_2 .$$ Ayrıca R, yazılabilecek toplam ürüne eşittir: $$R = R_1||R_2$$ Vout'a bakan empedans $$Z_1||Z_2$$

Z_2 sadece R_2. Transistörün vericisine bakarak empedans Z_1'i bulalım. Yine, empedansın tanımı:

$$Z_1 = \Delta V_e / \Delta I_e$$ Yayıcıdaki voltaj değişimi, Delta V_e sadece Vin'deki değişime artı R1 üzerindeki voltajdaki değişime artı baz yayıcı kavşaktaki voltajdaki değişime eşittir: $$Z_1 = \frac{\Delta V_{in} + \Delta V_{R1} + \Delta V_{be}}{\Delta I_e}$$

Baz yayıcı bağlantı voltajı yaklaşık olarak sabit kaldığı için,

$$\Delta V_{be} \approx 0.6 V - 0.6 V = 0$$

..Ancak transistörün vericisinden çıkan akım, tabanın akımının ~ beta katıdır.

$$\Delta I_e = \Delta I_b(1 + \beta)$$ $$=> Z_1 = \frac{\Delta V_{in} + \Delta V_{R1}}{\Delta I_b(1 + \beta)}$$ Elbette: $$\Delta I_b = \Delta I_{in}.$$

Empedans tanımı başına, giriş empedansına sahibiz:

$$=> Z_1 = \frac{Z_{in} + R_1}{(1 + \beta)}$$

Bunu okuyorsanız, muhtemelen yukarıdaki denklemde görünen bir yayıcı izleyicinin giriş empedansından geçtiniz. Bu kısım beni biraz rahatsız etti, çünkü transistör kısmından (yayıcı direnci, R_2) ayırdığımız yayıcı takipçinin kısmına bağlı. Her neyse, devam ediyor ...

Yayıcı takipçisinin giriş empedansı şu şekilde verilir:

$$Z_{in} = (1+\beta)*R_2$$ Substituting this in: $$Z_1 = \frac{ (1+\beta)*R_2 + R_1}{(1 + \beta)}$$ $$= R_2 + \frac{R_1}{(1 + \beta)}$$ So there's the equation for Z_1. It's in parallel with Z_2, which is R_2, so the total impedance looking into the output of the emitter follower is: $$Z = R_2 || \left (R_2 + \frac{R_1}{(1 + \beta)} \right)$$ Now back to the question. I don't know why the authors want us to do a proof with the input voltage held constant (sorry), but we can do this by taking one of the above equations and setting delta_V to zero: $$Z_1 = \frac{\Delta V_{in} + V_{R1}}{\Delta I_b(1 + \beta)}$$ $$Delta V_{in} = 0$$ $$=> Z_1 = \frac{\Delta V_R1}{\Delta I_b(1 + \beta)}$$ $$=> Z_1 = \frac{R_1}{(1 + \beta)}$$

Now we have:

$$Z = Z_2 || \frac{R_1}{(1 + \beta)}$$

Later in the page the author says:

Strictly speaking, the output impedance of the circuit should also include the parallel resistance of R, but in practice Zout (the impedance looking into the emitter) dominates.

Okay,so leaving out Z_2 we get:

$$Z = \frac{R_1}{(1 + \beta)}$$

In the book Z_1 is called Zout.

I share your frustration. AOA skims over basic tools like small-signal models to get you to the rule-of-thumb result more quickly. If you went through a more standard treatment, this exercise would be as straightforward as they come. But you'd get to this result much later in the course, certainly not at the start of chapter 2. So you get to build a circuit much earlier, It's a trade-off.

Let's look at the hints the exercise gives:

Exercise 2.4. Show that the preceding relationship is correct.
Hint: hold the source voltage fixed and find the change in output
current for a given forced change in output voltage. Remember
that the source voltage is connected to the base through a series
resistor.

There's a straightforward procedure for doing this. It always amounts to finding a Thévenin equivalent between two ports of a linear network. Because AOA hasn't taught you about the small-signal model for a BJT, that (standard) road is closed to you.

Even though they cover Thévenin earlier, IMHO they do a poor job even of that. You really need a far better explanation of how to work with small-signal models in combination with Thévenin's theorem. They gloss over it and then pretend as if it's been properly explained, which is frustrating as hell.

Here's the half-assed small-signal model I think they're hinting it:

• Place a resistor $R_s$ at the Base input which represents the output resistance of the small-signal source.
• zero all independent sources (the base voltage source and VCC) by replacing them with a short to ground.
• Neglect $R$ by simply eliminating it.
• Place a small-signal voltage source instead at the emitter.

Since you've not been shown how to replace the BJT with a linear small-signal model, you're stuck. But here's the trick, we can simply use the fact that the base and emitter voltages track each other in an emitter follower (the book has just covered this at this point).

The argument goes like this:

• a small-signal voltage at the emitter must correspond to the same voltage change at the base. Call it $\Delta v$.
• a change in base voltage must induce a change in base current $\Delta i_b=\frac{\Delta v}{R_s}$.
• By BJT action, the change in base current corresponds to a change in emitter current, $\Delta i_e=(\beta+1) \Delta i_b$.
• Now we know the voltage and current through the voltage source at the emitter, we can find the equivalent impedance it sees "looking in" to the emitter, i.e. the output impedance of the emitter-follower.

Giving us:

$$Z_{output} = \frac{\Delta v}{\Delta i_e} = \frac{R_s \Delta i_b}{(\beta+1) \Delta i_b} = \frac{R_s}{\beta+1}$$

QED.

Note: At this point, you can simply add back $R$ in parallel with $Z_{output}$.

---

If you do know about the standard hybrid-pi small-signal model, you would go through the same exercise, only you'd replace the BJT with an equivalent small-signal linear circuit model and solve it to get this more detailed result:

$$Z_{output} = R_E || r_o || \frac{R_s+r_\pi}{\beta+1}$$

Where

• $R_E$ is the emitter resistor (called just $R$ in the book).
• $R_s$ is output resistance of the small-signal voltage source feeding the base.
• $r_o$ is part of the hybrid-pi model which models the early effect, you can neglect it neglect it by setting $r_o = \infty$.
• $r_\pi$ is part of the hybrid-pi model which depends on the operating point / collector current. $r_\pi/\beta$ is typically on the order of 1-20 ohms.

If you use all the above to simplify the full expression you once again end up with

$$Z_{output} = \frac{R_s}{\beta+1}$$

Either way, you've shown that emitter-follower has the effect of lowering the output impedance of the source, which means it acts more like an ideal voltage source, i.e. there's a smaller drop in output voltage when attaching a load.

This is what I get using a hybrid-pi model with a base resistor of Rin and an emitter load of Re ...

$$v_o=v_{in}-\frac{(v_{in}+i_oR_e)(R_{in}+r_\pi)}{(R_{in}+r_\pi+R_e(1+\beta))}$$ $$\frac{\mathrm dv_o}{\mathrm di_o}=\frac{R_e(R_{in}+r_\pi)}{(R_{in}+r_\pi)+R_e(1+\beta)}$$

Now if $R_e$ is large and $R_{in}$ >> $r_\pi$, this approximates to $\frac{R_{in}}{1+\beta}$

($\beta$ is so much quicker to LaTex than $h_{fe}$ :)

If anyone else comes across this post. This question is answered nicely here:

https://www.pdx.edu/nanogroup/sites/www.pdx.edu.nanogroup/files/2013_Input_output_impedance_9.pdf

What your looking for is in section II.B.2 and II.B.3