Kutuplar ve Bode Grafikleri

Uzun süredir beni rahatsız eden üç sorum var:

1. Bir Bode grafiğinde, bir kutupla karşılaşıldığında her on yılda 20 dB'lik bir kazanç düşüşü olduğunu söylüyoruz. Fakat kutuplar , transfer fonksiyonunu sonsuz yapan değerleri olarak tanımlanmamış mı? Öyleyse, kazanç neden bu noktada düşmek yerine yükselmiyor?$s$

2. Bir sistemi kutup frekansıyla beslediğimizde fiziksel olarak ne olur?

3. Ayrıca, aktarım işlevini göz önünde bulundurun . Sistemde s = ( - 2 + j 0 ) konumunda kutup vardır . Yani, kutup için σ = - 2 ve ω = 0 . Fakat girişine sinüzoidal bir sinyal uygulayıp Bode grafiğini çizdiğimizde, neden 2 rad / sn'de bir kutup olduğunu söylüyoruz (kutup için ω = 0 ve σ = - 2 olsa da )?$1/(s+2)$$s=(-2+j0)$$\sigma=-2$$\omega=0$$\omega=0$$\sigma =-2$

Bode grafiği, transfer fonksiyonunu ( ) s'ye karşı çizen bir grafik değildir . H ( s ) karmaşık bir fonksiyondur ve büyüklüğü grafiği aslında Kartezyen koordinat sistemindeki bir yüzeyi temsil eder. Ve bu yüzey, şekilde gösterildiği gibi her kutuplarda sonsuzluğa ulaşacak zirvelere sahip olacaktır:$H(s)$$s$$H(s)$

Bode arsa ilk ikame ile elde edilir olarak H ( lar ) ve daha sonra, polar bir şekilde bunu temsil H ( j ω ) = | H ( ω ) | ∠ $s= j\omega$$H(s)$ . H ( ω ) , büyüklük bode grafiğini verir ve ϕ ( ω $H(j\omega) = |H(\omega)|\angle\phi(\omega)$$H(\omega)$$\phi(\omega)$ faz bode grafiğini verir.

(Bode büyüklükte arsa transfer fonksiyonunun büyüklükte asimptotik bir tahmindir ) radyan olarak frekans logaritmasına karşı / sn ( log 10 | Q'dan | ) ile | H $|H(\omega)|$$\log_{10}|\omega|$ekseni ve log 10 üzerinde (dB ile ifade edilir) | ω | x ekseni üzerinde.$|H(s)|$$\log_{10}|\omega|$

Sorulara geliyor:

1. Kutuplarda, karmaşık yüzeyi sonsuzluk zirveleri değil | H ( ω ) | .$|H(s)|$$|H(\omega)|$

2. Bir sistem kutup frekansıyla beslendiğinde, eşzamanlı çıktı aynı frekansa sahip olacak, ancak genlik ve faz değişecektir. Değer, radyan / saniye cinsinden frekans yerineve ϕ ( ω ) .$|H(\omega)|$$\phi(\omega)$

3. -2 rad / sn ve 2 rad / sn'deki bir direk . Ve bizim ilgimiz frekans tepkisi. Yani bunun sadece olumlu bir kısmına ihtiyacımız var.$|H(\omega)|$

$s$$j\omega$

1. $s_{\infty}=-2$$s_0=\infty$

   $$H(s)=\frac{1}{s+2}\Longrightarrow \left|H(j\omega)\right|^2=\frac{1}{\omega^2+4}=\frac14\frac{1}{\left(\frac{\omega}{2}\right)^2+1}$$ In decibels we get $$10\log_{10}\left|H(j\omega)\right|^2=-10\log_{10}(4)-10\log_{10}\left[\left(\frac{\omega}{2}\right)^2+1\right]\tag{1}$$ For $\omega\gg 2$ the second term on the right-hand side of (1) can be approximated by $$-10\log_{10}\left(\frac{\omega}{2}\right)^2=-20\log_{10}(\omega/2)$$ which is a straight line with a slope of $-20\,\text{dB}$ per decade.

2. When you excite a system with a signal corresponding to one of its poles, then this input signal is "amplified" compared to input signals with other frequencies. Note, however, that for a stable system the output signal will always decay. E.g. if you excite the system with transfer function $H(s)=\frac{1}{s+2}$ with an input signal $x(t)=e^{-2t}$, then the output will be $y(t)=te^{-2t}$, where the factor $t$ corresponds to the system's "amplification" of the input signal. However, the exponential factor will make the signal approach $0$ for large values of $t$.

3. In short, we don't say that there's a pole at $2$ rad/s, because there isn't. What is indeed the case is that the cut-off frequency is determined by the real part of the pole, i.e. the starting point of the line with negative slope in the Bode plot is determined by the value $2$. This is the example I gave in point 1 above, where the straight line approximation with $-20$ dB per decade is valid for $\omega\gg 2$. The value $2$ is not determined by the pole frequency (which is zero) but by the real part of the pole.

The graph shows the difference between the natural frequency in the complex $s$-plane (infinite) and the corresponding magnitude peak along the $j\omega$ axis which can be observed during measurements: The graph belongs to a natural frequency of $\omega_p=1000$ rad/s and a pole quality factor $Q_p=1.3$ (which is a measure of the observable gain peaking). This plot visualizes a 2nd-order Chebyshev characteristics with 3 dB ripple in the passband.

The "s" in your equations is the constant in the function exp(s*t). So, when s is a real number, this time function is an exponentially growing or falling function. Your example with s=-2 is an exponentially falling function. For any pole "number", the output will grow when you apply an input at that "number". If you apply an exponentially falling signal to your example circuit, the output signal will go to infinity. (Note, however, that it is not possible to generate a signal that is always exponentially falling, because such a signal is very large at times in the past). When you talk of frequencies like 2 radians/sec, you are speaking of poles at j*2, not 2, so those signals are sinusoidal. It is possible to generate signals that are sine waves (at least for a pretty long time). You will get infinities out if you apply this sine wave signal to a system with a pole at +-j*2, but not if you apply it to a system with a pole at -2.