11

Evet, bu pedagojik bir soru. Yakın zamanda başka bir soruyu cevaplarken, OP'yi devreleri çözmek için süperpozisyon kullanma talimatlarını kısaca anlatmak istedim. İnternette kolayca bulunan tüm kaynakların biraz eksik olduğunu gördüm. Tipik olarak, üst üste binme devresinin ne tür devreler için geçerli olduğu ya da üst üste binme teoremini bir devre problemine uygulamak için gerçek yöntem hakkında belirsizlerdi. Yani,

Süperpozisyon ile ne tür devreler çözülebilir?

Süperpozisyonla çözülürken farklı kaynaklar nasıl ele alınır?

Süperpozisyon teoremini kullanarak bir devreyi çözmenin adımları nelerdir?

circuit-analysis

— Foton
kaynak

Bu, işaret etmek için bir yer olması gerektiğinden, bir topluluk wiki yanıtına ne dersiniz?

— Caveman

10

Süperpozisyon teoremi
" Elektrik devreleri için süperpozisyon teoremi, doğrusal bir sistem için, birden fazla bağımsız kaynağa sahip olan bir ikili doğrusal devrenin herhangi bir dalındaki yanıtın (voltaj veya akım), tek başına hareket eden her bağımsız kaynağın neden olduğu yanıtların cebirsel toplamına eşit olduğunu belirtir diğer tüm bağımsız kaynakların yerini iç empedansları alır . "

Süperpozisyon ile ne tür devreler çözülebilir?

Aşağıdaki bileşenlerden herhangi birinden yapılmış devreler, süperpozisyon teoremi kullanılarak çözülebilir

Bağımsız kaynaklar
Lineer pasif elemanlar - Direnç, Kondansatör ve İndüktör
transformatör
Doğrusal bağımlı kaynaklar

Süperpozisyon teoremini kullanarak bir devreyi çözmenin adımları nelerdir?

Algoritmayı izleyin:

Cevap = 0;
İlk bağımsız kaynağı seçin.
Seçilen devre dışındaki orijinal devredeki tüm bağımsız kaynakları dahili empedansıyla değiştirin.
İlgilenilen miktarı (voltaj veya akım) hesaplayın ve Cevaba ekleyin.
Bu son bağımsız kaynaksa çıkın. Else Sonraki kaynağı seçerek 3. adıma geçin.

Bir voltaj kaynağının iç empedansı sıfırdır ve bir akım kaynağının empedansı sonsuzdur. Bu nedenle yukarıdaki algoritmada 3. adımı yürütürken voltaj kaynağını kısa devre ve akım kaynağını açık devre ile değiştirin.

Süperpozisyonla çözülürken farklı kaynaklar nasıl ele alınır?

Bağımsız kaynaklar yukarıda açıklandığı gibi ele alınmalıdır.

Bağımlı kaynaklar olması durumunda bunlara dokunmayın.

— nidhin
kaynak

5

Süperpozisyon yalnızca tamamen doğrusal bir sisteminiz olduğunda geçerlidir, yani:

\begin{aligned} F (x_{1} + x_{2}) & = F (x_{1}) + F (x_{2}) \\ F (bir x) & = bir F (x) \end{aligned}

$\begin{align*} F(x_1 + x_2) &= F(x_1) + F(x_2)\\ F(a x) &= a F(x) \end{align*}$

Devre analizi bağlamında, devre N bağımsız kaynaklarla doğrusal elemanlardan (kapasitörler, indüktörler, doğrusal transformatörler ve dirençler) oluşmalı ve çözdüğünüz şey voltaj veya akım olmalıdır. Doğrusal olmayan (örn. Bir dirençte dağıtılan güç) diğer miktarları bulmak için voltaj / akıma süper empoze edilmiş bir çözüm alabileceğinizi, ancak daha büyük bir çözüm bulmak için doğrusal olmayan miktarları üst üste koyamayacağınızı (ekleyemeyeceğinizi) unutmayın. sistemi.

$i$

\begin{aligned} U = J R, = R, (Σ_{ben = 1}^{N-} J_{ben}) = Σ_{ben = 1}^{N-} R, J_{ben} = Σ_{ben = 1}^{N-} U_{ben} \end{aligned}

$\begin{align*} U = J R = R \left(\sum_{i=1}^N J_i\right) = \sum_{i=1}^N R J_i = \sum_{i=1}^N U_i \end{align*}$

Böylece, herhangi bir kaynaktan bağımsız olarak her kaynaktan mevcut katkıyı toplayarak bir direnç üzerindeki voltajı bulabilirim. Benzer şekilde, dirençten akan akımı bulmak için:

\begin{aligned} J = \frac{U}{R,} = \frac{1}{R,} Σ_{ben = 1}^{N-} U_{ben} = Σ_{ben = 1}^{N-} \frac{U_{ben}}{R,} = Σ_{ben = 1}^{N-} J_{ben} \end{aligned}

$\begin{align*} J = \frac{U}{R} = \frac{1}{R} \sum_{i=1}^N U_i = \sum_{i=1}^N \frac{U_i}{R} = \sum_{i=1}^N J_i \end{align*}$

Ancak, iktidara bakmaya başlarsam, süperpozisyon artık geçerli değildir:

\begin{aligned} P = J U = (Σ_{ben = 1}^{N-} J_{ben}) (Σ_{j = 1}^{N-} U_{j}) \neq Σ_{ben = 1}^{N-} J_{ben} U_{ben} = Σ_{ben = 1}^{N-} P_{ben} \end{aligned}

$\begin{align*} P = J U = \left(\sum_{i=1}^N J_i\right) \left(\sum_{j=1}^N U_j\right) \neq \sum_{i=1}^N J_i U_i = \sum_{i=1}^N P_i \end{align*}$

Süperpozisyon kullanarak bir devrenin çözümü için genel süreç:

$i$ $F_i$
$F_i$

örnek 1

Bu devreyi iki kaynaktan alın:

şematik

^{bu devreyi simüle et - CircuitLab kullanılarak oluşturulan şematik}

R1'den akan mevcut J için çözmek istiyorum.

Kaynak 1 olarak V1'i ve kaynak 2 olarak I1'i seçin.

$J_1$

şematik

^{bu devreyi simüle et}

$J_1 = 0$

$J_2$

şematik

^{bu devreyi simüle et}

$J_2 = I_1$

\begin{aligned} J = J_{1} + J_{2} = 0 + {ben}_{1} = {ben}_{1} \end{aligned}

$\begin{align*} J = J_1 + J_2 = 0 + I_1 = I_1 \end{align*}$

ÖRNEK 2

şematik

^{bu devreyi simüle et}

$J$

\begin{aligned} J_{1} & = - \frac{V_{1}}{{R,}_{1} + {R,}_{2} + {R,}_{5} + {R,}_{4}} \\ J_{2} & = \frac{V_{2}}{{R,}_{2} + {R,}_{1} + {R,}_{4} + {R,}_{5}} \\ J_{3} & = - {ben}_{1} \frac{{R,}_{2} + {R,}_{5}}{{R,}_{1} + {R,}_{4} + {R,}_{2} + {R,}_{5}} \end{aligned}

$\begin{align*} J_1 &= -\frac{V_1}{R_1 + R_2 + R_5 + R_4}\\ J_2 &= \frac{V_2}{R_2 + R_1 + R_4 + R_5}\\ J_3 &= -I_1 \frac{R_2 + R_5}{R_1 + R_4 + R_2 + R_5} \end{align*}$

\begin{aligned} J & = J_{1} + J_{2} + J_{3} = \frac{V_{2} - V_{1}}{{R,}_{1} + {R,}_{2} + {R,}_{4} + {R,}_{5}} - {ben}_{1} \frac{{R,}_{2} + {R,}_{5}}{{R,}_{1} + {R,}_{2} + {R,}_{4} + {R,}_{5}} = \frac{(V_{2} - V_{1}) - {ben}_{1} ({R,}_{2} + {R,}_{5})}{{R,}_{1} + {R,}_{2} + {R,}_{4} + {R,}_{5}} \end{aligned}

$\begin{align*} J &= J_1 + J_2 + J_3 = \frac{V_2 - V_1}{R_1 + R_2 + R_4 + R_5} - I_1 \frac{R_2 + R_5}{R_1 + R_2 + R_4 + R_5} = \frac{(V_2 - V_1) - I_1 (R_2 + R_5)}{R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \end{align*}$

Süperpozisyonun gücü "bir kaynak eklemek / çıkarmak istiyorsam ne olur?" Diyelim ki, geçerli bir kaynak I2 eklemek istiyorum:

şematik

^{bu devreyi simüle et}

Baştan başlamak yerine, şimdi yapmam gereken tek şey yeni kaynak I2 için çözüm bulmak ve eski çözümüme eklemek:

\begin{aligned} J_{4} & = {ben}_{2} \frac{{R,}_{1} + {R,}_{2} + {R,}_{5}}{{R,}_{1} + {R,}_{2} + {R,}_{5} + {R,}_{4}} \\ J & = Σ_{ben = 1}^{4} J_{ben} = \frac{(V_{2} - V_{1}) - {ben}_{1} ({R,}_{2} + {R,}_{5}) + {ben}_{2} ({R,}_{1} + {R,}_{2} + {R,}_{5})}{{R,}_{1} + {R,}_{2} + {R,}_{4} + {R,}_{5}} \end{aligned}

$\begin{align*} J_4 &= I_2 \frac{R_1 + R_2 + R_5}{R_1 + R_2 + R_5 + R_4}\\ J &= \sum_{i=1}^4 J_i = \frac{(V_2 - V_1) - I_1 (R_2 + R_5) + I_2 (R_1 + R_2 + R_5)}{R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \end{align*}$

— helloworld922
kaynak

Ben yararlı olacağını umuyoruz birkaç yorum var: 1. U ve J kullanarak biraz kafa karıştırıcı, V ve ben daha iyi buluyorum; 2. U için ilk denklem sadece i. Kaynak için olduğu gibi bir özetleme olmamalıdır; 3. Diğer özetler, sanırım, i = N değil, i = 1'den N'ye alınmalıdır; 4. Devre teorisinde süperpozisyon sadece akım ve gerilim için kullanılır, bu yüzden iktidar üzerine tartışmayı metnin ilerleyen bölümlerinde taşıyacağım; 5. I1 ve R1'in basit olanını izleyen örnekte, I1 J3'ün ters yönünde hareket ettiğinden J3 = -I1 (...) olmamalıdır?

— Chu

1. U ve J'yi kullanmayı seçtim çünkü kaynakları V ve I ile etiketledim ve

I_{3} = I_{1} \cdot (blah)

$I_3 = I_1 \cdot (\textrm{blah})$ . Karışıklığı sınırlama umuduyla U ve J'nin ne olduğunu açıkça belirtiyorum. 2. Evet, gösterimi toplama değişkeni ve başlangıç indeksi için daha açık hale getirdim. 4. Benim fikrim, ne zaman üst üste binme teorisine ilişkin temel bilgileri örneklerden önce koymaktı. Örnek bölümlerini ikisini ayırmak için daha net hale getirdim. 5. Evet, bu benim hatamdı.

— helloworld922

Bir devreyi çözmek için süperpozisyonu nasıl kullanırım?

örnek 1

ÖRNEK 2