Neden integral sıfır

9

Acaba neden varsayım altında $\omega \gg \frac{1}{T}$ sonra $\int_{0}^{T} \sin(\omega t)dt \approx 0$ ?

İntegral, $\frac{\cos(\omega t)}{w}$ den kadar ve takmayı sonra ile sona erecek değerli: $0$ $T$

\frac{- \cos (ω T) + 1}{ω}

$\frac{-\cos(\omega T)+1}{\omega}$

communication digital-communications detection

— user59419
kaynak

9

Ben elektronik ilgilidir ve saf bir matematik tabanlı bir soru değil çünkü konu dışı olarak bu soruyu kapatmak için oy vereceğim, vb ait olmalıdır math.stackexchange.com

— efox29

4

Kesinlikle hayır. Bu tahmin tüm iletişim sisteminde kullanılır ve matematik açısından saf bir matematik sorusu değildir çünkü matematik açısından sadece bu integral her zaman sıfır değildir

— user59419 3:15

Demek istedin

\frac{1}{T} \int . . .

$\frac{1}{T}\int ...$ ?

— Chu

Hayır, yok

\frac{1}{T}

$\frac{1}{T}$ . Eğer

\frac{1}{T}

$\frac{1}{T}$ şu an mantıklı ve çeşitli yerlerde gördüm.

— user59419

6

Telekomünikasyon hakkında konuşuyorsanız, sanırım yüksek frekanslardan bahsediyoruz. Eğer durum buysa:

$\frac{1}{T} = f$
$\omega \gg \frac{1}{T}$

$−\cos(\omega T)+1$ aralığından $0$ için $+2$ , bunu büyük bir sayıya bölerseniz, yaklaşık olarak sıfır alırsınız.
Size bir fikir vermek için: $1\;\text{kHz}$ ( "ultra düşük" olarak kabul edilir ), sonuç MAKSİMUM AT olacak $0.002$ .

— FMarazzi
kaynak

3

Kaba kuvvet yaklaşımımdan çok daha iyi bir açıklama.

— Arsenal

1

Bunun tam cevap olduğunu düşünmüyorum: küçük değerler için bile mümkün

ω

$\omega$ tatmin etmek

ω ≫ \frac{1}{T}

$\omega \gg \frac1T$ , Eğer

T

$T$ yeterince büyük.

— Ilmari Karonen

1

@IlmariKaronen T telekomünikasyonda asla yeterince büyük değildir.

— FMarazzi

4

Frekansı artırarak, entegrasyon aralığına daha fazla salınım periyodu koyarız.

Sinüsün bir periyot üzerindeki integrali sıfır olduğundan, entegrasyon aralığının sonunda sadece "eksik" periyodu düşünmeliyiz.

Sıklığı artırdığımızda, bu eksik dönemin alanı incelir ve incelir ( $\omega$ belirleyicide).

— walljam7
kaynak

3

Bazı değerleri eklersem aşağıdakileri alırım:

$T = 1$

$\omega \rightarrow$ sonuç

$10^0 \rightarrow 0.460$

$10^1 \rightarrow 0.184$

$10^2 \rightarrow 0.001$

$10^3 \rightarrow 4.376E-04$

$10^4 \rightarrow 1.952E-04$

$10^5 \rightarrow 1.999E-05$

$10^6 \rightarrow 6.325E-08$

Şimdi hangi büyüklük sırasından emin değilim $>>$ sonucun ne kadar küçük olması gerektiğini belirtir $\approx 0$ , ancak çok daha büyükse sıfırlama eğilimindedir.

İçin tipik değerler nelerdir $\omega$ ve T bakıyorsun?

Güncelleme (yorumlar nedeniyle):

FMarazzi'nin gayet iyi açıkladığı gibi, davanın bir üst sınırı var. $\cos(\omega T)$ -1, yani $\frac{2}{\omega}$ herhangi bir T için elde edeceğiniz mutlak maksimum değerdir.

Dolayısıyla, T için değeri seçerseniz, belirli bir şekilde maksimum değeri elde edersiniz. $\omega$ tablo şu şekildedir:

$\omega \rightarrow$ olası maksimum değer

$10^0 \rightarrow 2$

$10^1 \rightarrow 0.2$

$10^2 \rightarrow 0.02$

$10^3 \rightarrow 2E-03$

$10^4 \rightarrow 2E-04$

$10^5 \rightarrow 2E-05$

$10^6 \rightarrow 2E-06$

Ve bunun gibi. Yaklaşmanın hangi bağlamda kullanıldığını bilmiyorum, ancak yorumların işaret ettiği gibi, iletişim sistemleri için ve tahminimce bunlar 9600 baud'da bir UART değil, ethernet veya daha hızlı şeyler gibi bir şey. $\omega$ sırasına göre $10^7$ veya daha yüksek, ki bu integralin sonucu küçülür ve muhtemelen diğer ilgi şartlarına katkıda bulunmaz.

— Cephanelik
kaynak

Teşekkürler. Sorunuz kesinlikle mantıklı ve bu benim sorunum çünkü T ve w aralığı verilmiyor ve sadece wT >> 1 olduğu belirtiliyor. T = 1000 ve w = 1 ise integralin sıfır olmadığını düşünüyordum.

— user59419

T keyfi ise, günah (wt) altındaki alan genellikle sıfırdan farklı olacaktır. Başka bir kısıtlama olmalı.

— Chu

@Chu'nun 0 olacağını söylemiyorum, sadece 0'a çok yakın olma eğilimindedir, pratik amaçlar için ihmal edilebilir (bu, insanlar için çözülebilir hale getirmek için ortak bir basitleştirme). FMarazzi aslında sonucun üst sınırının daha iyi bir analizini yaptı.

— Arsenal

1

@Arsenal, ama T için bir değer aldınız. Orijinal soruda böyle bir şartname yok - hem w hem de T dolaşmakta özgürdür. Yani integral sıfırdan uzun bir yol olabilir

— Chu

@Chu evet, bu görüşte biraz kısa görüşlüydü. Konuyu netleştirmek için cevabımı güncelledim. Daha yüksek omegas için sıfırdan uzun bir yol olamaz.

— Arsenal

0

Denklemde yazılı olarak daha büyük $\omega$ ortalama olarak integralin daha küçük bir değeri ile $T$ olmaz.

Ne anlama geldiğini anlamak için daha fazla içeriğe ihtiyaç olduğundan şüpheleniyorum.

Özellikle tam olarak ne demek istediğimizi düşünmeliyiz " $\approx 0$ "." $\approx 0$ "muhtemelen" önemsiz "olarak yorumlanmalıdır, ancak" önemsiz "ifadesinin anlamı büyük oranda bağlama bağlıdır. $T$ o zaman integralin sonucu büyük olduğunda olabilir $T$ büyük ama $\omega$ küçük hala ihmal edilebilir olarak kabul edilebilir.

— Peter Green
kaynak