Hibrit bir analog / dijital örneklenmiş veri sisteminde sıfır dereceli bekletmenin rolü nedir?

İtiraf edeceğim, bu soruyu retorik olarak soruyorum. Bundan hangi cevapların geri geleceğini merak ediyorum.

Buna cevap vermeyi seçerseniz, Shannon-Nyquist örnekleme teoremini iyi anladığınızdan emin olun. Özellikle yeniden yapılanma. Ayrıca ders kitaplarında "gotchas" dikkatli olun. Dirac delta impuls fonksiyonunun mühendislik anlayışı yeterlidir. Tüm "dağıtım" şeyleri hakkında endişelenmenize gerek yok, yeni bir delta işlevi olarak dirac dürtü yeterince iyi:

δ (t) = lim_{τ \to 0} \frac{1}{τ} rect (\frac{t}{τ})

$\delta(t) = \lim_{\tau \to 0} \frac{1}{\tau} \operatorname{rect}\left(\frac{t}{\tau} \right)$

nerede

r e c t (t) ≜ {\begin{cases} 0 & if | t | > \frac{1}{2} \\ 1 & if | t | < \frac{1}{2} \end{cases}

$\mathrm{rect}(t) \triangleq \begin{cases} 0 & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\ 1 & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2} \\ \end{cases}$

Hassasiyet, örnek kelimelerin bit genişliği ve dönüşümde yapılan nicemleme ile ilgili konular bu soru ile ilgili değildir. Ama ölçekleme girişten çıkışa kadar olan ilgili.

Bir başkası doğru ve pedagojik olarak yararlı bir cevap sunmadığı sürece, sonunda kendi cevabımı yazacağım. Hatta bu bir lütuf koymak (ben de ne küçük temsilcisi harcayabilirsiniz).

Sahip olun.

sampling sample-and-hold zoh

— robert bristow-johnson
kaynak

öncelikle diğer adlandırma hakkında bilgi almak ister misiniz?

— deadude

Hayır. Örnekleme Teoreminin tüm kurallarına uyulduğunu varsayıyorum. diğer bir deyişle, sürekli zaman girişinde örnekleme alınırken

veya üstünde hiçbir içerik veya enerji yoktur

\frac{f_{s}}{2}

$\frac{f_\mathrm{s}}{2}$ . şimdi, "takma adlar" ve "görüntüler" arasında bir fark olduğunu unutmayın.

— robert bristow-johnson

hatırladığım kadarıyla, sıfır dereceli bekletme sadece dijital sistemdeki örnekler arasındaki gecikmedir ve açıkçası bir örnek ve sonraki arasındaki şeylerin analog tarafını etkileyebilir

— KyranF

@KyranF, bundan biraz daha fazlası.

— robert bristow-johnson

@ robertbristow-johnson Timo tarafından verilen cevaplar gerçekten düşündüğümden daha dahil görünüyor. Bunda iyi şanslar!

— KyranF

Yanıtlar:

Kurmak

Giriş sinyali olan bir sistemi dikkate alıyoruz $x(t)$ ve netlik için değerlerine $x(t)$ gerektiğinde voltaj olarak atıfta bulunuyoruz . Bizim numune periyodudur $T$ , ve karşılık gelen örnek oranı $f_s \triangleq 1/T$ .

Fourier dönüşümü için, kuralları tercih

X (i 2 π f) = F (x (t)) ≜ \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- i 2 π f t} d t,

$X(i 2 \pi f) = \mathcal{F}(x(t)) \triangleq \int_{-\infty}^\infty x(t) e^{-i 2 \pi f t} \mathrm{d}t,$ Fourier ters dönüşüm veren

x (t) = F^{- 1} (X (i 2 π f)) ≜ \int_{- \infty}^{\infty} X (i 2 π f) e^{i 2 π f t} d f .

$x(t) = \mathcal{F}^{-1}(X(i 2 \pi f)) \triangleq \int_{-\infty}^\infty X(i 2 \pi f) e^{i 2 \pi f t} \mathrm{d}f.$ Bu kurallarda

X

$X$ Laplace değişkeninin

s = i ω = i 2 π f

$s = i \omega = i 2 \pi f$ .

İdeal örnekleme ve rekonstrüksiyon

İdeal örneklemeden başlayalım: Nyquist-Shannon örnekleme teoremine göre , için sınırsız bir sinyal verildi. $x(t)$ ,yani $f < \frac{1}{2} f_s$ daha sonra orijinal sinyal mükemmel yeniden inşa edilebilirörnekleri,. Başka bir deyişle, sinyalin bant genişliği üzerindeki koşul (Nyquist kriteri olarakadlandırılır)göz önüne alındığında,zamanın eşit uzaklık noktalarındaki anlık değerlerini bilmek yeterlidir.

X (i 2 π f) = 0, w h e n | f | \geq \frac{1}{2} f_{s},

$X(i 2 \pi f) = 0,\qquad \mathrm{when }\, |f| \geq \frac{1}{2}f_s,$

x [n] ≜ x (n T)

$x[n] \triangleq x(n T)$

n \in Z

$n\in \mathbb{Z}$

Örnekleme teoremi de yeniden yapılanmanın gerçekleştirilmesi için açık bir yöntem verir. Bize sonra gelende yardımcı olacak şekilde bu haklı edelim: bize Fourier dönüşümü tahmin izin bir sinyal ait onun tarafından Riemann toplamı adım ile : $X(i 2 \pi f)$ $x(t)$ $T$ burada. Yaptığımız hatayı ölçmek için bunu bir integral olarak yeniden :

X (i 2 π f) \sim \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n Δ t) e^{- i 2 π f n Δ t} Δ t,

$X(i 2 \pi f) \sim \sum_{n = -\infty}^\infty x(n \Delta t)e^{-i 2 \pi f n \Delta t} \Delta t,$

Δ t = T

$\Delta t = T$

burada

çarpımıveörnekleme fonksiyonu

üzerindeevrişim teoreminikullandık, örnekleme fonksiyonunun Fourier dönüşümünün

\begin{aligned} \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n T) e^{- i 2 π f n T} T & = \int_{- \infty}^{\infty} \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (t) e^{- i 2 π f t} T δ (t - n T) d t \\ = X (i 2 π f) * F (T \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (t - n T)) \\ (1) & = \sum_{k = - \infty}^{\infty} X (f - k / T), \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{n = -\infty}^\infty x(n T)e^{-i 2 \pi f n T}T &= \int_{-\infty}^\infty \sum_{n = -\infty}^\infty x(t)e^{-i 2 \pi f t}T \delta(t - n T)\mathrm{d}t\\ &= X(i 2 \pi f) * \mathcal{F}(T \sum_{n = -\infty}^\infty \delta(t - nT)) \\ &= \sum_{k = -\infty}^\infty X(f - k/T), \tag{1} \label{discreteft} \end{align}$

x (t)

$x(t)$

\sum_{n = - \infty}^{\infty} T δ (t - n T)

$\sum_{n = -\infty}^\infty T \delta(t - n T)$

ve integralleri delta fonksiyonları üzerinde gerçekleştirdi.

\sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (f - k / T)

$\sum_{n = -\infty}^\infty \delta(f - k/T)$

Sol taraftaki tam olduğuna dikkat burada, olduğu ayrık Fourier dönüşümü karşılık gelen örneklenen sinyalin , ile boyutsuz ayrık zaman frekansı. $T X_{1/T}(i 2 \pi f T)$ $X_{1/T}(i 2 \pi f T)$ $x[n] \triangleq x(n T)$ $f T$

Burada Nyquist ölçütünün arkasındaki temel nedeni görüyoruz: toplamın şartlarının çakışmamasını sağlamak için tam olarak gerekli olan şey budur. Nyquist kriteri ile, yukarıdaki toplam spektrumun aralığından tüm gerçek çizgiye periyodik olarak genişlemesini azaltır . $[-f_s/2, f_s/2]$

deki DTFT, orijinal sinyalimizle aralığında aynı Fourier dönüşümüne sahip olduğu için, dikdörtgen işleviyle basitçe çarpabiliriz) ve orijinal sinyali geri alın. Via evrişim teoremi , Fourier Dirac tarak evriştirerek bu miktarlar eden sözleşmeler olan dikdörtgen fonksiyonu dönüşümü $\eqref{discreteft}$ $[-f_s/2, f_s/2]$ $\mathrm{rect}(f/f_s)$ normalize Sinc fonksiyonuolduğunu

F (r e c t (f / f_{s})) = 1 / T s i n c (t / T),

$\mathcal{F}(\mathrm{rect}(f/f_s)) = 1/ T \mathrm{sinc}(t/T),$

Evrişim daha sonra Dirac tarakındaki her bir Dirac deltasını, delta pozisyonuna kaydırılmış bir iç işlev ile değiştirir ve

BuWhittaker-Shannon enterpolasyon formülüdür.

s i n c (x) ≜ \frac{\sin (π x)}{π x} .

$\mathrm{sinc}(x) \triangleq \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}.$

\begin{matrix} (2) & x (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] s i n c (t / T - n) . \end{matrix}

$x(t) = \sum_{n = -\infty}^\infty x[n] \mathrm{sinc}(t/T - n). \tag{2} \label{sumofsinc}$

İdeal olmayan örnekleme

Yukarıdaki teoriyi gerçek dünyaya çevirmek için, en zor kısım örneklemeden önce yapılması gereken bandlimasyonu garanti etmektir. Bu cevabın amaçları doğrultusunda, bunun yapıldığını varsayıyoruz. Geri kalan görev daha sonra sinyalin anlık değerlerinin örneklerini almaktır. Gerçek bir ADC, numuneye yakınlaştırmayı oluşturmak için sınırlı bir süreye ihtiyaç duyacağından, olağan uygulama, sinyalin değerini, dijital yaklaşımın oluşturulduğu bir örnekle ve tut devresine depolayacaktır.

Bu, sıfır-sıralı bir tutuşa çok benzese de, ayrı bir süreçtir: örnek ve tutmadan elde edilen değer gerçekten de sinyalin sabit kaldığı tahminine kadar tam olarak sinyalin anlık değeridir. kondansatörün numune değerini tutan şarj süresi. Bu genellikle gerçek dünya sistemleri tarafından iyi bir şekilde başarılır.

Bu nedenle, gerçek bir dünya ADC'sinin, bandlizasyon problemini görmezden geldiğini, ideal örnekleme için çok iyi bir yaklaşım olduğunu söyleyebiliriz ve özellikle örnek ve bekletmeden gelen "merdiven", kendi kendine örnekleme .

İdeal olmayan rekonstrüksiyon

Yeniden yapılanma için amaç, ortaya çıkan içtenliklerin toplamını gerçekleştiren bir elektronik devre bulmaktır . Samimin zaman içinde sonsuz bir boyutu olduğu için, bunun tam olarak gerçekleştirilemeyeceği oldukça açıktır. Ayrıca, makul bir yaklaĢım için bile böyle bir sinyalin oluĢturulması çoklu alt devreler gerektirecek ve çabucak çok karmaşık hale gelecektir. Bu nedenle, genellikle çok daha basit bir yaklaşım kullanılır: her örnekleme anında, örnek değerine karşılık gelen bir voltaj verilir ve bir sonraki örnekleme anına kadar sabit tutulur (buna rağmen alternatif bir yöntemin bir örneği için Delta-sigma modülasyonuna bakınız ). Bu sıfır dereceli bekletmedir ve yukarıda kullandığımız içten dikdörtgenin dikdörtgen işleviyle değiştirilmesine karşılık gelir. $\eqref{sumofsinc}$ . Evrişim değerlendirilmesi $1/T\mathrm{rect}(t/T - 1/2)$

(1 / T r e c t (t / T - 1 / 2)) * (\sum_{n = - \infty}^{\infty} T x [n] δ (t - n T)),

$(1/T\mathrm{rect}(t/T - 1/2))*\left(\sum_{n = -\infty}^\infty T x[n] \delta(t - n T)\right),$ delta fonksiyonunun tanımlayıcı özelliğini kullanarak, bunun gerçekten klasik sürekli zaman merdiven dalga formuyla sonuçlandığını görüyoruz. Faktör

iptal etmek için giren

tanıtılan

. Böyle bir faktöre ihtiyaç duyulduğu, dürtü yanıtı birimlerinin 1 / zaman olduğu gerçeğinden de anlaşılmaktadır.

1 / T

$1/T$

T

$T$

(1)

$\eqref{discreteft}$

Vites değiştirme garantisi için basitçe nedensellikle . Bu sadece göre çıktının 1/2 numuneye kaydırılması anlamına gelir (gerçek zamanlı sistemlerde veya harici olaylarla çok hassas senkronizasyon gerektiğinde sonuçları olabilir) ve bunu takip eden şeylerde görmezden geleceğiz. $-1/2 T$ $1/T \mathrm{rect}(1/T)$

İçin geri karşılaştırılması , biz tamamen el değmemiş ana bant sol ve spektrum adlandırılan yüksek frekanslı tüm kopyalarını uzaklaştırıldı frekans alanında, dikdörtgen fonksiyonu yerini görüntü fonksiyonunun Fourier transform ile, . Bu elbette $\eqref{discreteft}$ $1/T \mathrm{rect}(t/T)$

s i n c (f / f_{s}) .

$\mathrm{sinc}(f/f_s).$

Mantığın ideal durumdan biraz ters çevrildiğine dikkat edin: orada, frekans alanında görüntüleri kaldırmak olan amacımızı tanımladık ve sonuçları zaman alanında elde ettik. Burada zaman alanında nasıl yeniden yapılandırılacağını tanımladık (çünkü nasıl yapılacağını bildiğimiz budur) ve frekans alanında sonuçları türettik.

Bu nedenle sıfır sıralı tutmanın sonucu, frekans alanındaki dikdörtgen pencereleme yerine, pencereleme işlevi olarak sinc ile sonuçlanır. Bu nedenle:

Frekans yanıtı artık bant sınırlaması değildir. Daha ziyade olarak bozulur , üst frekanslar orijinal sinyalin görüntüleri olur $1/f$
Baz-bandında, yanıt önce yaklaşık -4 dB ulaşan önemli ölçüde azalır $1/2 f_s$

Genel olarak, sıfır dereceli bekletme, Whittaker-Shannon enterpolasyon formülünde görünen zaman alanı iç fonksiyonunu yaklaşık olarak belirlemek için kullanılır . Numune alırken, benzer görünümlü örnek tutma, sinyalin anlık değerini tahmin etme problemine teknik bir çözümdür ve kendi içinde herhangi bir hata oluşturmaz.

İlk sıfır sıralı bekletmeden sonra her zaman yüksek frekanslı görüntüleri filtreleyebileceğimiz için, yeniden yapılandırmada hiçbir bilginin kaybolmadığına dikkat edin. Kazanç kaybı, DAC'den önce veya sonra ters bir iç filtre ile telafi edilebilir. Bu nedenle, daha pratik bir bakış açısından, sıfır dereceli tutuş, ideal rekonstrüksiyona uygulanabilir bir yaklaşım oluşturmak için kullanılır ve bu daha sonra gerekirse daha da geliştirilebilir.

— Timo
kaynak

ilginç Timo. Vikipedi politikasının bir sonucuyla karşılaşıyorsunuz. kontrol örnekleme teoremi Vikipedi'ye bu eski sürümü . Poisson toplama formülünün arkasına saklanmak yerine, örneklemenin görüntüleri nasıl oluşturduğunu ve orijinal sürekli zaman sinyalini kurtarmak için açıkça neyin gerekli olduğunu gösterir. ve örnekleme fonksiyonunda neden bu

faktörünün olduğunu görebilirsiniz .

T

$T$

— robert bristow-johnson

Wikipedia makalesinin eski versiyonunun bence de daha net olması ilginç. Hesaplama neredeyse tam olarak yukarıda yazdığım şeydir, ancak biraz daha fazla ayrıntı vermesi dışında.

— Timo

T

$T$

T

$T$

T

$T$

T

$T$

d t

$\mathrm{d}t$

T \to 0

$T \rightarrow 0$

T

$T$

Yardımcı olamıyorum ama sadece peşinde olduğunuz yanıtı eklemeniz gerektiğini düşünüyorum. Yorumlar uzun tartışmalar için değildir.

— David

$\mathrm{sinc}$

Anlaşılır olması için, voltaj sinyali olan bir ADC / DAC sistemini düşünürüm. Aşağıdakilerin tümü, uygun birim değişikliği olan tüm örnekleme sistemleri için geçerlidir. Ayrıca, giriş sinyalinin Nyquist kriterlerini yerine getirmek için zaten sihirli bir şekilde sınırsız olduğunu varsayıyorum.

Örneklemeden başlayın: ideal olarak, giriş sinyalinin değeri tek bir anda örneklenir. Gerçek ADC'ler yaklaşık değerlerini oluşturmak için sınırlı bir süreye ihtiyaç duyduklarından, anlık voltaj örnekleme ve tutma tarafından yaklaşık olarak tahmin edilir (anlık olarak kondansatörü şarj etmek için kullanılan anahtarlama süresi ile yaklaşık olarak tahmin edilir). Bu nedenle, temelde tutma, sinyale fonksiyonel bir delta uygulama problemini sabit bir voltaj ölçme problemine dönüştürür.

Burada, ADC'nin sadece anlık voltajları depolayacağı için, giriş sinyali bir dürtü dizisi veya aynı anda uygulanan bir sıfır dereceli tutma ile çarpılan arasındaki farkın sadece bir yorumlama sorunu olduğuna dikkat edin. Biri diğerinden yeniden inşa edilebilir. Bu cevabın amaçları doğrultusunda, örneklenen sinyalin formunun sürekli zaman sinyali olduğu yorumu kabul edeceğim.

x (t) = \frac{Δ t V_{r e f}}{2^{n}} \sum_{k} x_{k} δ (t - k Δ t),

$x(t) = \frac{\Delta t V_\mathrm{ref}}{2^n}\sum_k x_k \delta(t - k \Delta t),$

V_{r e f}

$V_\mathrm{ref}$

n

$n$

x_{k}

$x_k$

Δ t

$\Delta t$

x_{k}

$x_k$

$\Delta t$ $\Delta t$ $f = 0$

\hat{x} (0) = \int_{0}^{Δ t} 1 V d t = 1 V Δ t .

$\hat{x}(0) = \int_0^{\Delta t} 1\mathrm{V}\mathrm{d}t = 1\mathrm{V} \Delta t.$

Δ t

$\Delta t$

$\mathrm{sinc}$ $\mathrm{sinc}$

Bunun yeniden yapılandırılmış sinyal için ne gibi sonuçları olduğunu görmek için, ambarın impuls trenini dikdörtgen fonksiyonuyla kıvırmaya tam olarak eşdeğer olduğunu gözlemliyorum.

{r e c t}_{Δ t} (t) = \frac{1}{Δ t} r e c t (\frac{t}{Δ t}) .

$\mathrm{rect}_{\Delta t}(t) = \frac{1}{\Delta t}\mathrm{rect}\left(\frac{t}{\Delta t}\right).$

V_{1}

$V_1$

{\hat{r e c t}}_{Δ t} (f) = s i n c (π Δ t f) .

$\hat{\mathrm{rect}}_{\Delta t}(f) = \mathrm{sinc}(\pi \Delta t f).$

1

$1$

s i n c

$\mathrm{sinc}$

1 / f

$1/f$

$\mathrm{sinc}$ $\mathrm{sinc}$ $-6\mathrm{dB/octave}$ $\mathrm{sinc}$

Analizde kullanılan impuls dizisini fiziksel olarak üretebilen hayali bir impuls jeneratörünün, görüntülerin yeniden yapılandırılmasında sonsuz miktarda enerji vereceğini unutmayın. Bu aynı zamanda, orijinal sistemle mükemmel şekilde senkronize olmadıkça (çoğunlukla impulslar arasında örnekleme yapacağı sürece) çıktının yeniden örneklenmesi için bir ADC'nin hiçbir şey görmemesi gibi bazı tüylü etkilere neden olur. Bu, çıktıyı tam olarak bandlimize edemesek bile, sinyalin toplam enerjisini fiziksel bir gösterime dönüştürülmeden önce düzenlemek için her zaman yaklaşık bir bandlimasyona ihtiyaç duyulduğunu açıkça göstermektedir.

Özetlemek:

$\mathrm{sinc}$
frekans etki alanı açısından, görüntüleri kaldıran ve dolayısıyla idealize edilmiş dürtü dizisinde bulunan sonsuz enerji miktarını düzenleyen tuğla duvar filtresine bir yaklaşımdır.

$\mathrm{V}\mathrm{s} = \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{Hz}},$ $1/\mathrm{s}$

— Timo
kaynak

when the timer allows me to, i will put a bounty on this, Timo. there are some things that i like: e.g. having the DC gain = 1, which is consistent with Eq. 1 on your maxim citation, but way too many textbooks screw it up with a gain of

T

$T$ that they don't know what to do with. and it appears that you are understanding that the ZOH has nothing to do with any possible S/H at the input of the ADC. that's good. i'll still wait for a little more rigorous answer. and don't worry about

V_{ref}

$V_\text{ref}$ . i am assuming it's the same for the ADC and DAC.

— robert bristow-johnson

@robertbristow-johnson: thanks for the kind words! Can you specify a little in what direction are you looking for more rigor? More details, more maths proof style answer, or something completely different?

— Timo

temiz ve tutarlı matematiksel gösterim ile bir matematiksel tedavi sanırım. Oppenheim ve Wilsky ya da bunun gibi bir şeyle tutarlı olmayı öneririm.

T ≜ \frac{1}{f_{s}}

$T \triangleq \frac{1}{f_\text{s}}$

x [n] ≜ x (n T)

$x[n] \triangleq x(nT)$ belki de Laplace ve Fourier dönüşümleri tutarlı ve uyumlu gösterime sahip olacak

F {x (t)} = X (j 2 π f) ≜ \int_{- \infty}^{+ \infty} x (t) e^{- j 2 π f t} d t

$\mathcal{F}\{x(t)\} = X(j2\pi f) \triangleq \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j2\pi ft} \ dt$ . örnekleme teoreminin ne söylediğini ve bunun gerçekte nasıl farklı olduğunu ve ZOH'ın bunun neresinde ortaya çıktığını tartışın.

— robert bristow-johnson

Tamam, aslında başka bir cevap yazmayı deneyeyim, çünkü bunu düzenlemek istediğiniz gösterimi değiştirmek vb. İçin düzenleme yapmak muhtemelen biraz karışıklık bırakacaktır. Önce bu küçük bir hatayı düzeltirim, çünkü beni rahatsız ediyor ...

— Timo

Ben biraz karışık ve yavaş çekimde ve ödül ödül vermek için lütuf simgesi isabet etmedi. kurallara göre: Ödülünüzü 7 gün içinde (artı ödemesiz dönem) vermezseniz, ödülün minimum 2 puanla başlamasından sonra yaratılan en yüksek oyu veren ödülün yarısını alırsınız. İki veya daha fazla uygun cevap aynı puana sahipse (yani puanları bağlıysa), en eski cevaba ödül verilir. Bu kriterleri karşılayan bir cevap yoksa, ödül kimseye verilmez. - bu kurallara göre bir hafta içinde almalısınız.

— robert bristow-johnson

Fourier Dönüşümü :

X (j 2 π f) = F {x (t)} ≜ \int_{- \infty}^{+ \infty} x (t) e^{- j 2 π f t} d t

$X(j 2 \pi f) = \mathscr{F}\{x(t)\} \triangleq \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x(t) \ e^{-j 2 \pi f t} \ \text{d}t$

Ters Fourier Dönüşümü:

x (t) = F^{- 1} {X (j 2 π f)} = \int_{- \infty}^{+ \infty} X (j 2 π f) e^{j 2 π f t} d f

$x(t) = \mathscr{F}^{-1}\{X(j 2 \pi f)\} = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} X(j 2 \pi f) \ e^{j 2 \pi f t} \ \text{d}f$

Dikdörtgen darbe fonksiyonu :

rect (u) ≜ {\begin{cases} 0 & Eğer | u | > \frac{1}{2} \\ 1 & Eğer | u | < \frac{1}{2} \end{cases}

$\operatorname{rect}(u) \triangleq \begin{cases} 0 & \mbox{if } |u| > \frac{1}{2} \\ 1 & \mbox{if } |u| < \frac{1}{2} \\ \end{cases}$

"Sinc" fonksiyonu ("sinus cardinalis") :

sinc (v) ≜ {\begin{cases} 1 & Eğer v = 0 \\ \frac{günah (π v)}{π v} & Eğer v \neq 0 \end{cases}

$\operatorname{sinc}(v) \triangleq \begin{cases} 1 & \mbox{if } v = 0 \\ \frac{\sin(\pi v)}{\pi v} & \mbox{if } v \ne 0 \\ \end{cases}$

Örnekleme frekansını tanımlar , $f_\text{s} \triangleq \frac{1}{T}$ örnekleme döneminin tersi olarak $T$ .

Bunu not et:

F {rect (\frac{t}{T})} = T sinc (f T) = \frac{1}{f_{s}} sinc (\frac{f}{f_{s}})

$\mathscr{F}\left\{\operatorname{rect}\left( \frac{t}{T} \right) \right\} = T \ \operatorname{sinc}(fT) = \frac{1}{f_\text{s}} \ \operatorname{sinc}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right)$

Dirac tarak (aka "örnekleme fonksiyonu" aka "Sha fonksiyonu") :

{III}_{T} (t) ≜ Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} δ (t - n T)

$\operatorname{III}_T(t) \triangleq \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t - nT)$

Dirac tarak periyodik olarak periyodiktir $T$ . Fourier serisi :

{III}_{T} (t) = Σ_{k = - \infty}^{+ \infty} \frac{1}{T} e^{j 2 π k f_{s} t}

$\operatorname{III}_T(t) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} e^{j 2 \pi k f_\text{s} t}$

Örneklenmiş sürekli zaman sinyali :

\begin{aligned} x_{s} (t) & = x (t) \cdot (T \cdot {III}_{T} (t)) \\ = x (t) \cdot (T \cdot Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} δ (t - n T)) \\ = T Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} x (t) δ (t - n T) \\ = T Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} x (n T) δ (t - n T) \\ = T Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] δ (t - n T) \end{aligned}

$\begin{align} x_\text{s}(t) & = x(t) \cdot \left( T \cdot \operatorname{III}_T(t) \right) \\ & = x(t) \cdot \left( T \cdot \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t - nT) \right) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x(t) \ \delta(t - nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT) \ \delta(t - nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t - nT) \\ \end{align}$

nerede $x[n] \triangleq x(nT)$ .

Bunun anlamı şudur ki $x_\text{s}(t)$ sadece örnekler tarafından tanımlanır $x[n]$ ve örnekleme dönemi $T$ ve değerleri ile ilgili tüm bilgileri tamamen kaybeder. $x(t)$ örnekleme örnekleri arasındaki zamanlar için. $x[n]$ ayrı bir sayı dizisidir ve bir sorta DSP kısayol gösterimidir. $x_n$ . Doğru olsa da, $x_\text{s}(t) = 0$ için $nT < t < (n+1)T$ , değeri $x[n]$ herhangi $n$ bir tamsayı tanımlanmamıştır.

Not: Ayrık sinyal $x[n]$ ve üzerindeki tüm ayrık zamanlı işlemler $\mathcal{Z}$ -Transform , Ayrık zaman Fourier Dönüşümü (DTFT) , Ayrık Fourier Dönüşümü (DFT) , olan "agnostik" örnekleme sıklığı veya numune alma süresi ile ilgili olarak $T$ . Ayrık zamanda olduğunuzda $x[n]$ hakkında bilmiyorsanız (veya önemsemediğiniz) $T$ . Öyle sadece ile Nyquist-Shannon Örnekleme ve Yeniden Teoremi o $x[n]$ ve $T$ bir araya getirilir.

Fourier Dönüşümü $x_\text{s}(t)$ dır-dir

\begin{aligned} X_{s} (j 2 π f) ≜ F {x_{s} (t)} & = F {x (t) \cdot (T \cdot {III}_{T} (t))} \\ = F {x (t) \cdot (T \cdot Σ_{k = - \infty}^{+ \infty} \frac{1}{T} e^{j 2 π k f_{s} t})} \\ = F {Σ_{k = - \infty}^{+ \infty} x (t) e^{j 2 π k f_{s} t}} \\ = Σ_{k = - \infty}^{+ \infty} F {x (t) e^{j 2 π k f_{s} t}} \\ = Σ_{k = - \infty}^{+ \infty} X (j 2 π (f - k f_{s})) \end{aligned}

$\begin{align} X_\text{s}(j 2 \pi f) \triangleq \mathscr{F}\{ x_\text{s}(t) \} & = \mathscr{F}\left\{x(t) \cdot \left( T \cdot \operatorname{III}_T(t) \right) \right\} \\ & = \mathscr{F}\left\{x(t) \cdot \left( T \cdot \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right) \right\} \\ & = \mathscr{F}\left\{ \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} x(t) \ e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right\} \\ & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \mathscr{F}\left\{ x(t) \ e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right\} \\ & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right) \\ \end{align}$

Ölçeklendirme hakkında önemli not: Örnekleme işlevi $T \cdot \operatorname{III}_T(t)$ ve örneklenmiş sinyal $x_\text{s}(t)$ faktörü var $T$ neredeyse tüm ders kitaplarında görmeyeceksiniz. Bu, bu ders kitaplarının yazarlarının birden fazla (ilgili) nedenden dolayı pedagojik bir hatasıdır:

İlk olarak, $T$ örneklenen sinyalin boyutunu değiştirir $x_\text{s}(t)$ örneklenen sinyalin boyutundan $x(t)$ .
o $T$ faktörün sinyal zincirinde bir yere ihtiyaç duyulacaktır . Örnekleme işlevinin dışında bırakan bu ders kitapları, bunu genellikle yeniden yapılandırma filtresinin geçiş bandı kazancı olarak, Örnekleme Teoreminin yeniden yapılandırma kısmına yerleştirir. Bu boyutsal karıştırıyor. Birisi makul bir şekilde şunu sorabilir: "Geçiş bandı kazancı olan bir tuğla duvar LPF'yi nasıl tasarlayabilirim? $T$ ?"
Aşağıda görüldüğü gibi, $T$ Burada, sıfır emri bekletmesinin (ZOH) net transfer fonksiyonu ve net frekans cevabı için benzer bir ölçeklendirme hatası ile sonuçlanır. Gördüğüm dijital (ve hibrit) kontrol sistemlerindeki tüm ders kitapları bu hatayı yapıyor ve ciddi bir pedagojik hata.

DTFT'nin $x[n]$ ve örneklenen sinyalin Fourier Dönüşümü $x_\text{s}(t)$ uygun ölçeklendirme ile neredeyse aynı:

DTFT:

\begin{aligned} X_{D T F T} (ω) & ≜ Z {x [n]} |_{z = e^{j ω}} \\ = X_{Z} (e^{j ω}) \\ = Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] e^{- j ω n} \end{aligned}

$\begin{align} X_\mathsf{DTFT}(\omega) & \triangleq \mathcal{Z}\{x[n]\} \Bigg|_{z=e^{j\omega}} \\ & = X_\mathcal{Z}(e^{j\omega}) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ e^{-j \omega n} \\ \end{align}$

Gösterilebilir ki

X_{D T F T} (ω) = X_{Z} (e^{j ω}) = \frac{1}{T} X_{s} (j 2 π f) |_{f = \frac{ω}{2 π T}}

$X_\mathsf{DTFT}(\omega) = X_\mathcal{Z}(e^{j\omega}) = \frac{1}{T} X_\text{s}(j 2 \pi f)\Bigg|_{f=\frac{\omega}{2 \pi T}}$

Yukarıdaki matematik $x(t)$ "doğru örneklenmiş" veya örneklenmemiş. $x(t)$ "düzgün örneklenmiş" ise $x(t)$ numunelerden tamamen geri kazanılabilir $x[n]$ ve örnekleme hızı veya örnekleme dönemi bilgisi. Örnekleme Teoremi bize iyileşmek veya yeniden yapılandırmak için neyin gerekli olduğunu söyler $x(t)$ itibaren $x[n]$ ve $T$ .

Eğer $x(t)$ olduğu Bantsınırlı bazı bandlimit için $B$ , bunun anlamı

X (j 2 π f) = 0 hepsi için | f | > B

$X(j 2 \pi f) = 0 \quad \quad \text{for all} \quad |f| > B$

Orijinalin kaydırılmış görüntülerinden oluşan örneklenmiş sinyalin spektrumunu düşünün:

X_{s} (j 2 π f) = Σ_{k = - \infty}^{+ \infty} X (j 2 π (f - k f_{s}))

$X_\text{s}(j 2 \pi f) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)$

Orijinal spektrum $X(j 2 \pi f)$ örneklenmiş spektrumdan geri kazanılabilir $X_\text{s}(j 2 \pi f)$ kaydırılan görüntülerden hiçbiri yoksa, $X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)$ , komşu komşularıyla örtüşüyor. Bu, sağ kenarın $k$ -görüntü (ki bu $X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)$ ), (öğesinin sol kenarının tamamen solunda olmalıdır) $k+1$ ) -görüntü (ki bu $X\left(j 2 \pi (f - (k+1) f_\text{s})\right)$ ). Matematiksel olarak yeniden ifade edildi,

k f_{s} + B < (k + 1) f_{s} - B

$k f_\text{s} + B < (k+1) f_\text{s} - B$

eşdeğer

f_{s} > 2 B

$f_\text{s} > 2B$

Bant genişliğinin iki katını aşan bir örnekleme hızında örneklersek, hiçbir görüntü örtüşmez, orijinal spektrum, $X(j 2 \pi f)$ , hangi görüntü nerede $k=0$ -den çıkarılabilir $X_\text{s}(j 2 \pi f)$ orijinal görüntüyü tutan bir tuğla duvar alçak geçiren filtre ile ( $k=0$ ) ölçeklenmemiş ve diğer tüm resimleri atar. Bu, orijinal görüntüyü 1 ile ve diğer tüm görüntüleri 0 ile çarpar.

\begin{aligned} X (j 2 π f) & = rect (\frac{f}{f_{s}}) \cdot X_{s} (j 2 π f) \\ ='H (j 2 π f) X_{s} (j 2 π f) \end{aligned}

$\begin{align} X(j 2 \pi f) & = \operatorname{rect}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right) \cdot X_\text{s}(j 2 \pi f) \\ & = H(j 2 \pi f) \ X_\text{s}(j 2 \pi f) \\ \end{align}$

Yeniden filtre olduğu

'H (j 2 π f) = rect (\frac{f}{f_{s}})

$H(j 2 \pi f) = \operatorname{rect}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right)$

ve acausal dürtü yanıtı vardır :

h (t) = F^{- 1} {'H (j 2 π f)} = f_{s} sinc (f_{s} t)

$h(t) = \mathscr{F}^{-1} \{H(j 2 \pi f)\} = f_\text{s} \operatorname{sinc}(f_\text{s}t)$

Frekans alanında çarpma olarak ifade edilen bu filtreleme işlemi, zaman alanındaki katışmaya eşdeğerdir :

\begin{aligned} x (t) & = h (t) ⊛ x_{s} (t) \\ = h (t) ⊛ T Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] δ (t - n T) \\ = T Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] (h (t) ⊛ δ (t - n T)) \\ = T Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] h (t - n T)) \\ = T Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] (f_{s} sinc (f_{s} (t - n T))) \\ = Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] sinc (f_{s} (t - n T)) \\ = Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] sinc (\frac{t - n T}{T}) \end{aligned}

$\begin{align} x(t) & = h(t) \circledast x_\text{s}(t) \\ & = h(t) \circledast T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t-nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ (h(t) \circledast \delta(t-nT) ) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ h(t-nT)) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \left(f_\text{s} \operatorname{sinc}(f_\text{s}(t-nT)) \right) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}(f_\text{s}(t-nT)) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t-nT}{T}\right) \\ \end{align}$

Bu açıkça orijinal nasıl açıklar $x(t)$ numunelerden yeniden yapılandırılmıştır $x[n]$ ve örnekleme hızı veya örnekleme dönemi bilgisi.

Yani pratik bir Dijital-Analog Dönüştürücüden (DAC) çıktı ne

Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] sinc (\frac{t - n T}{T})

$\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t-nT}{T}\right)$

iyileşmek için ek tedavi gerektirmez $x(t)$ , ne de

x_{s} (t) = Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] T δ (t - n T)

$x_\text{s}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ T \delta(t-nT)$

ideal bir tuğla duvar LPF ile kurtarır $x(t)$ taban bandı görüntüsünü yalıtarak ve koruyarak ve diğer tüm görüntüleri atarak.

Sayısallaştırılmış sinyale herhangi bir işlem veya ölçeklendirme yapılmazsa, geleneksel bir DAC'den çıkan değer $x[n]$ bir sonraki numune verilinceye kadar sabit bir değerde tutulur. Bu parçalı sabit bir fonksiyon ile sonuçlanır :

x_{DAC} (t) = Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] rect (\frac{t - n T - \frac{T}{2}}{T})

$x_\text{DAC}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{rect}\left(\frac{t-nT - \frac{T}{2}}{T} \right)$

Gecikmesine dikkat edin $\frac{1}{2}$ uygulanan örnek süre $\operatorname{rect}(\cdot)$ işlevi. Bu onu nedensel yapar. Bu sadece

x_{DAC} (t) = x [n] = x (n T) ne zaman n T \leq t < (n + 1) T

$x_\text{DAC}(t) = x[n] = x(nT) \quad \quad \text{when} \quad nT \le t < (n+1)T$

Farklı ifade

x_{DAC} (t) = x [n] = x (n T) için n = zemin (\frac{t}{T})

$x_\text{DAC}(t) = x[n] = x(nT) \quad \quad \text{for} \quad n = \operatorname{floor}\left( \frac{t}{T} \right)$

nerede $\operatorname{floor}(u) = \lfloor u \rfloor$ bir zemin işlevi tarif aşmayan, en büyük tam sayıyı olduğu $u$ .

Bu DAC çıkışı doğrudan ideal olarak örneklenmiş sinyali kabul eden doğrusal bir zamanla değişmeyen sistem (LTI) veya filtre olarak modellenmiştir $x_\text{s}(t)$ ve ideal olarak örneklenmiş sinyaldeki her impuls için bu impuls tepkisini verir:

h_{ZOH} (t) = \frac{1}{T} rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T})

$h_\text{ZOH}(t) = \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - \frac{T}{2}}{T} \right)$

Bunu kontrol etmek için takılıyor ...

\begin{aligned} x_{DAC} (t) & = h_{ZOH} (t) ⊛ x_{s} (t) \\ = h_{ZOH} (t) ⊛ T Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] δ (t - n T) \\ = T Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] (h_{ZOH} (t) ⊛ δ (t - n T)) \\ = T Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] h_{ZOH} (t - n T)) \\ = T Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] \frac{1}{T} rect (\frac{t - n T - \frac{T}{2}}{T}) \\ = Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] rect (\frac{t - n T - \frac{T}{2}}{T}) \end{aligned}

$\begin{align} x_\text{DAC}(t) & = h_\text{ZOH}(t) \circledast x_\text{s}(t) \\ & = h_\text{ZOH}(t) \circledast T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t-nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ (h_\text{ZOH}(t) \circledast \delta(t-nT) ) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ h_\text{ZOH}(t-nT)) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - nT - \frac{T}{2}}{T} \right) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{rect}\left(\frac{t - nT - \frac{T}{2}}{T} \right) \\ \end{align}$

DAC çıkışı $x_\text{DAC}(t)$ , dürtü yanıtlı bir LTI sisteminin çıktısı olarak $h_\text{ZOH}(t)$ yukarıdaki parçalı sabit yapı ile hemfikirdir. Ve bu LTI sistemine girdi örneklenmiş sinyaldir $x_\text{s}(t)$ makul şekilde ölçeklendirildi, böylece $x_\text{s}(t)$ örneklenen orijinal sinyalin spektrumu ile tamamen aynı $x(t)$ . Yani

X (j 2 π f) = X_{s} (j 2 π f) için - \frac{f_{s}}{2} < f < + \frac{f_{s}}{2}

$X(j 2 \pi f) = X_\text{s}(j 2 \pi f) \quad \quad \text{for} \quad -\frac{f_\text{s}}{2} < f < +\frac{f_\text{s}}{2}$

Orijinal sinyal spektrumu örneklenen spektrum ile aynıdır, ancak örnekleme nedeniyle ortaya çıkan tüm görüntülerle birlikte atılır.

Adlandırdığımız bu LTI sisteminin transfer fonksiyonu, sıfır dereceli bir tutma (ZOH) , bir Laplace Dönüşümü darbe tepkisinin:

\begin{aligned} {'H}_{ZOH} (s) & = L {h_{ZOH} (t)} \\ ≜ \int_{- \infty}^{+ \infty} h_{ZOH} (t) e^{- s t} d t \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{T} rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T}) e^{- s t} d t \\ = \int_{0}^{T} \frac{1}{T} e^{- s t} d t \\ = \frac{1}{T} \frac{1}{- s} e^{- s t} |_{0}^{T} \\ = \frac{1 - e^{- s T}}{s T} \end{aligned}

$\begin{align} H_\text{ZOH}(s) & = \mathscr{L} \{ h_\text{ZOH}(t) \} \\ & \triangleq \int\limits_{-\infty}^{+\infty} h_\text{ZOH}(t) \ e^{-s t} \ \text{d}t \\ & = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - \frac{T}{2}}{T} \right) \ e^{-s t} \ \text{d}t \\ & = \int\limits_0^T \frac{1}{T} \ e^{-s t} \ \text{d}t \\ & = \frac{1}{T} \quad \frac{1}{-s}e^{-s t}\Bigg|_0^T \\ & = \frac{1-e^{-sT}}{sT} \\ \end{align}$

Frekans tepkisi ikame edilerek elde edilir $j 2 \pi f \rightarrow s$

\begin{aligned} {'H}_{ZOH} (j 2 π f) & = \frac{1 - e^{- j 2 π f T}}{j 2 π f T} \\ = e^{- j π f T} \frac{e^{j π f T} - e^{- j π f T}}{j 2 π f T} \\ = e^{- j π f T} \frac{günah (π f T)}{π f T} \\ = e^{- j π f T} sinc (f T) \\ = e^{- j π f T} sinc (\frac{f}{f_{s}}) \end{aligned}

$\begin{align} H_\text{ZOH}(j 2 \pi f) & = \frac{1-e^{-j2\pi fT}}{j2\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \frac{e^{j\pi fT}-e^{-j\pi fT}}{j2\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \frac{\sin(\pi fT)}{\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}(fT) \\ & = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}\left(\frac{f}{f_\text{s}}\right) \\ \end{align}$

Bu, yarım örnek periyodunun sabit gecikmeli doğrusal faz filtresini gösterir , $\frac{T}{2}$ ve frekans olarak azalan kazanç ile $f$ artışlar. Bu hafif bir düşük geçişli filtre efektidir. DC'de, $f=0$ kazanç 0 dB ve Nyquist'te, $f=\frac{f_\text{s}}{2}$ kazanç -3.9224 dB'dir. Böylece, temel bant görüntüsünün yüksek frekanslı bileşenlerinden bazıları biraz azaltılmıştır.

Örneklenmiş sinyalde olduğu gibi $x_\text{s}(t)$ , örneklenmiş sinyalde görüntüler var $x_\text{DAC}(t)$ örnekleme frekansının tamsayı katlarında, ancak bu görüntüler genlik bakımından önemli ölçüde azalır (temel bant görüntüsüne kıyasla) çünkü $|H_\text{ZOH}(j 2 \pi f)|$ sıfırdan geçer $f = k\cdot f_\text{s}$ tamsayı için $k$ bu 0 değil, bu görüntülerin tam ortasında.

Sonuç:

Sıfır dereceli tutma (ZOH), çıkışı örnek değerinde sabit tutan pratik bir Dijital-Analog dönüştürücü (DAC) tarafından yapılan sinyal rekonstrüksiyonunun doğrusal zamanla değişmeyen bir modelidir, $x[n]$ , sonraki örnek tarafından güncellenene kadar $x[n+1]$ .
Yaygın yanılgının aksine, ZOH'ın, bir Analog-Dijital dönüştürücünün (ADC) önünde bulabileceği numune ve tutma devresi (S / H) ile ilgisi yoktur . DAC, çıktıyı her bir örnekleme periyodu boyunca sabit bir değerde tuttuğu sürece, ADC'nin bir S / H olup olmadığı önemli değildir, ZOH etkisi devam eder. DAC yukarıda gösterildiği gibi parçalı sabit çıkıştan başka bir şey çıkarırsa (dirac impulslarını tahmin etmek üzere tasarlanmış dar darbelerden oluşan bir dizi gibi) $x_\text{DAC}(t)$ , ADC'den önce bir S / H devresi olup olmadığı ZOH etkisi mevcut değildir (bunun yerine başka bir şey vardır).
ZOH'nin net transfer fonksiyonu
${'H}_{ZOH} (s) = \frac{1 - e^{- s T}}{s T}$ $H_\text{ZOH}(s) = \frac{1-e^{-sT}}{sT}$ ve ZOH'ın net frekans cevabı ${'H}_{ZOH} (j 2 π f) = e^{- j π f T} sinc (f T)$ $H_\text{ZOH}(j 2 \pi f) = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}(fT)$ Birçok ders kitabı $T$ transfer fonksiyonunun paydasında faktör ve bu bir hatadır.
ZOH örneklenen sinyalin görüntülerini azaltır $x_\text{s}(t)$ ancak bunları ortadan kaldırmaz. Görüntüleri ortadan kaldırmak için, önceki gibi iyi bir düşük geçiş filtresine ihtiyaç vardır. Brickwall LPF'ler bir idealdir. Pratik bir LPF ayrıca temel bant görüntüsünü (tutmak istediğimiz) yüksek frekanslarda zayıflatabilir ve bu zayıflamanın ZOH'den (3.9224 dB zayıflamasından daha az) kaynaklanan zayıflamada olduğu gibi hesaba katılması gerekir. ZOH ayrıca sinyali, özellikle ZOH bir geri besleme döngüsündeyse, dikkate alınması gereken (örnekleme karşıtı LPF'nin gecikmesi ile birlikte) yarım örnekleme periyoduyla geciktirir.

— robert bristow-johnson
kaynak

Cevabınızın benimkinden daha temiz ve biraz daha kapsamlı olduğunu kabul edeceğim. Hala merak ediyordum, büyük açığa ne oldu? Belki de sıfır dereceli bekletmeyi DAC çıktısının bir modeli olarak vurgulamak istediniz ?

— Timo

cevabınızda bazı hatalar var. örneğin, frekans tepkisinde 1/2 numune gecikmesi göstermez. bizim durumumuzun ( benim ve şimdi senin olması gereken ) klozetten aşağı gittiği için üzgünüm .

— robert bristow-johnson

Peki, (daha uzun olanında) bahsetmeme rağmen, daha sonra halının altında fırçalamama rağmen, çoğunlukla DSP'yi ses açısından düşünmekteyim, 1/2 örnek gecikmesinin önemsiz olduğu durumlarda gecikmemiş bir kopyayı tanıtan başka bir yol var). Temelde faktörü taşımak istemedim

e^{- i π f T}

$e^{-i \pi f T}$ sonuna kadar, bu daha kapsamlı olduğunuzu söylediğim şeyin bir parçası.

— Timo

@Timo, şimdi benim gibi iki katı temsilci var. Ne zaman bir bıçak alabilirim bir ödül yayınlayacaksın ?? :-)

— robert bristow-johnson

Yeterince adil, bir şey düşünmeye çalışmalıyım: D

— Timo

Hibrit bir analog / dijital örneklenmiş veri sisteminde sıfır dereceli bekletmenin rolü nedir?

Kurmak

İdeal örnekleme ve rekonstrüksiyon

İdeal olmayan örnekleme

İdeal olmayan rekonstrüksiyon

sincsinc\mathrm{sinc}

Özetlemek:

$\mathrm{sinc}$