Nyquist oranının altında numuneye ne zaman ihtiyaç duyulur veya izin verilir?

Bu platformda geçmiş soruları ve cevapları araştırdım, ancak hiçbiri bu soruya cevap vermiyor. Bir prof, belirli koşullar altında Nyquist oranının altında örneklemenin mümkün olduğunu söyledi. İlk olarak, bunu yapmak mümkün olup olmadığını bilmek isteyeceğim, eğer öyleyse, ne zaman?

Her şeyden önce, Nyquist oranı yanlış algısından kurtulalım.

İnsanlara genellikle minimum örnekleme frekansının, sinyaldeki en yüksek frekansın iki katı olması gerektiği öğretilir. Bu tamamen yanlış!

Doğru olan, eğer bir "tam" spektrumunuz varsa ve tam olarak, bant genişliğinin alt kenarı ile bant genişliğinin üst kenarı arasındaki tüm frekansları tamamen kullandığını, yani örnekleme frekansına sahip olmanız gerektiği anlamına gelir. bu, sinyalin bant genişliğinin en az iki katıdır.

Yani buradaki resimde, spektrumu elde etmek için örnekleme frekansının en az 2 * (Fh-Fl) olması gerekir.

Ayrıca, örneklemeyi yaptıktan sonra, gerçek frekans hakkındaki tüm bilgilerin örneklenen sinyalde kaybolduğunu da aklınızda bulundurmanız gerekir. Nyquist frekansı hakkındaki tüm hikaye burada devreye giriyor. Örnekleme frekansı sinyalin en yüksek frekansının iki katı ise, o zaman güvenli bir şekilde (genellikle bilinçaltında yapmak için eğitildikçe) örneklenen sinyaldeki tüm frekansların örnekleme frekansının sıfır ile yarısı arasında olduğunu varsayabiliriz.
Gerçekte, örneklenen sinyalin spektrumu Fs / 2 etrafında periyodiktir ve daha düşük örnekleme oranları elde etmek için bu periyodikliği kullanabiliriz.
Aşağıdaki resme bir göz atın:
0 ve Fs / 2 arasındaki alan, ilk Nyquist bölgesi olarak adlandırılır. Burası "geleneksel" örnekleme yaptığımız alandır. Sonra Fs / 2 ve Fs arasındaki alana bir göz atın. Burası ikinci Nyquist bölgesi. Bu alanda herhangi bir sinyalimiz varsa, spektrumları örneklenecek ve spektrumu ters çevrilecek, yani yüksek ve düşük frekanslar ters çevrilecektir. Sonra, Fs ve 3Fs / 2 arasında üçüncü Nyquist bölgesine sahibiz. Buradaki sinyaller, örneklendiğinde, ilk bölgeden gelmiş gibi görünecek ve spektrumları normal olacaktır. Aynı durum diğer tüm bölgeler için geçerlidir, kural tek sayılı bölgelerin spektrumunun normal olması ve çift sayılı bölgelerin spektrumunun ters çevrilmesidir.

Bu, takma adın "geleneksel" kurallarına aykırıdır, çünkü takma ad genellikle sinyallerinizi yutmaya gelen kötü bir canavar olarak öğretilir ve ondan kurtulmak için alçak geçişli kenar yumuşatma filtreleri kullanmanız gerekir. Gerçek hayatta, işler gerçekten böyle çalışmaz. Kenar yumuşatma filtreleri aslında takma adı engelleyemez, sadece artık önemli olmadığı düzeye indirir.
Bunun yerine gerçekten yapmak istediğimiz, ilgilenmeyen Nyquist bölgelerinden gelen güçlü sinyalleri ortadan kaldırmak ve Nyquist bölgesinden bizi ilgilendiren sinyalleri atmaktır. İlk bölgedeysek, düşük geçişli bir filtre iyidir, ancak diğer tüm bölgeler için, o bölgeden yararlı sinyalleri almamıza ve sahip olmadığımız önemsizliği kaldırmamıza izin veren bir bant geçiren filtreye ihtiyacımız var. bunun diğer bölgelerden gelmesine gerek yok.

Şimdi bu örneğe bakalım: Burada üçüncü Nyquist bölgesinde bir bant geçiren filtre tarafından izin verilen bir sinyal var. ADC'mizin, yeniden yapılandırmak için sinyalin bant genişliğinin sadece iki katı örnekleme frekansına sahip olması gerekecek, ancak her zaman bunun, üçüncü bölgeden gelen bir sinyaldir, aklımızdaki frekansları hesaplamamız gerektiğinde sinyali. Bu işleme genellikle bant geçiren örnekleme veya yetersiz örnekleme denir.

Şimdi, tüm bu sergiden sonra, şu soruyu cevaplamak için:
Eh, radyoya, belki de mikrodalga spektrumunda bir şey, belki WiFi'ye bakalım. Tipik bir eski stil WiFi kanalının 20 MHz bant genişliği olabilir, ancak taşıyıcı frekansı 2,4 GHz civarında olacaktır. Dolayısıyla, sinyali doğrudan örneklemek için saf yaklaşımımızı kullanırsak, sadece 20 MHz spektrumla ilgilenmemizle birlikte, sinyalimizi görmek için 5 GHz ADC'ye ihtiyacımız var. 5 GHz analogdan dijitale dönüştürücü çok karmaşık ve pahalı bir şeydir ve çok karmaşık ve pahalı bir tasarım gerektirir. Öte yandan, 40 MHz ADC, 5 GHz ADC kadar "büyülü" olmayan bir şeydir.
Akılda tutulması gereken bir şey, teorik olarak 40 MHz ADC ile sinyal yakalayabilmemize rağmen, çok keskin kenar yumuşatma filtrelerine ihtiyacımız olacağı için pratikte örneklemeyi gerçekten çalıştırmak istemiyoruz frekans, bant genişliğine çok yakın. Göz ardı edilen bir başka şey de, gerçek hayattaki bir ADC'nin devresinin kendi başına bir filtre gibi davranmasıdır. Bant geçiren örnekleme yapılırken ADC'nin filtreleme etkileri dikkate alınmalıdır. Oldukça sık, bant geçişli örnekleme düşünülerek özel olarak tasarlanmış örnekleme oranından çok daha geniş bant genişliğine sahip özel ADC'ler vardır.

Son olarak, hikayenin diğer yanı sıkıştırılmış algılama da denir. Bu konuda uzman değilim ve bu hala biraz yeni bir şey, ancak temel fikir, belirli varsayımlar yerine getirilirse (spektrum seyrek olduğu gibi), bant genişliğinin iki katından daha düşük frekanslarda örnekleme yapabiliriz sinyal.

Yani, profesörler de dahil olmak üzere birçok insan Nyquist oranının ne olduğu konusunda kafası karışık:

Nyquist oranı, takma tarafından zarar görmesini önlemek için bir sinyali örneklemeniz gereken örnek oranıdır

Bunun anlamı, gerçek değerli sinyaller ve gerçek değerli örnekleme için, örnekleme oranının analog sinyalin bant genişliğinin iki katından fazla olması gerektiğidir .

Bu, 6 kHz örnekleme hızında, 3 kHz genişliğindeki herhangi bir bandın% 100 temsilini alabileceğiniz anlamına gelir.

O mu değil örnekleme oranı ihtiyaçları sinyalinde iki kez en yüksek frekans olması anlamına gelir. Örneğin 3 kHz'iniz 9 kHz ile 12 kHz arasındaki bantsa, 2 · 12 kHz = 24 kHz'de örneklemeniz gerekmez ; 6 kHz, sinyali dijital olarak net bir şekilde temsil etmek için tamamen yeterlidir. Daha sonra diğer sinyallerle ilişkilendirmek istiyorsanız, 3 kHz'inizin 10.5 kHz civarında ortalanmış olduğunu bilmeniz gerekir, ancak genellikle bu önemli değildir.

Bu tekniğe örnekleme diyoruz ve güzel çalışıyor ve birçok teknik uygulamayla% 100 standart bir teknik. Bunu, o aracı, yukarıda bahsedilen örnekte - Emin olmak için gereken tek şey her şeyin senin ADC (analog-dijital dönüştürücü) yarısını örnekleme hızına Bantsınırlı görür ise gerekir emin sinyal 9 kHz altında ve hiçbir bulunmamasından kaynaklanıyor 12 kHz üzerindeki sinyal.

karmaşık temel bant

Bunun yalnızca gerçek değerli örnekleme için geçerli olduğuna dikkat edin. Size karmaşık, eşdeğer temel bant sağlamak için IQ demodülatörleri ( doğrudan dönüşüm mikserleri , kareleme demodülatörleri olarak da bilinir) gibi şeyler kullandıysanız , iki senkron örnek akışı elde edersiniz. Bu durumda, 2 faktörü düşer. Bu, yazılım tanımlı radyo için çok önemli bir özelliktir .

çok fazlı yapılar

Bir DSP kursunun sonraki bölümlerinde iseniz, profesörünüz, normalde bir M faktörü ile örneklemek zorunda olduğunuz rasyonel yeniden örnekleyiciler gibi şeyleri uygulayabileceğinizi, ardından tüm görüntüleri silmek için filtre uygulayabileceğinizi ima etmiş olabilir. (filtre giriş hızında · M çalışır), ardından N ile altörneklemeden önce tüm takma adlardan (filtre giriş hızında · M çalışır) kaçınmak için filtreleyin, giriş hızının 1 / N'sinde etkin bir şekilde çalışan tek bir filtreyle -Niist örnekleme. Ama bu temel olarak bir çok fazlı / çok hızlı sistem dersinin en önemli olaylarından biri olacak ve bunu yeni başlayanların dersine sokacağından şüpheliyim - bu çok kafa karıştırıcı.

Asla. Ancak "Nyquist rate" in gerçekte ne olduğunu tam olarak anladığınızdan emin olmalısınız.

Nyquist, sinyalin bant genişliğinin iki katından daha yüksek bir oranda örneklendiği sürece sinyali yeniden oluşturabileceğinizi belirtti . Bu bant genişliği DC'de başlayabilir veya başlamayabilir, ancak bu konudaki birçok kaynak her zaman çalıştığını ve sinyalin en yüksek frekans bileşeninin Nyquist hızını belirlediğini varsayar.

Örneğin, 1 MHz'de ± 10 kHz bant sınırına sahip bir AM yayın sinyaliniz varsa, Nyquist hızı 2 × 20 kHz = 40 kHz, 2 × 1.01 MHz = 2.02 MHz değil.

Bir prof, belirli koşullar altında Nyquist oranının altında örneklemenin mümkün olduğunu söyledi.

İlgilendiğiniz tek şey bir dalga formunun RMS değerini hesaplamaksa, nyquist'in altında örnekleme yapabilirsiniz: -

Mavi dalga formu aynı zamanda orijinal ile aynı RMS değerine sahip bir sinüs dalgasıdır. Kaçınılması gereken şudur: -

Her döngüde tam olarak iki örnek alınır ve takma sinyalin aslında kırmızı dalga formu veya yeşil dalga formu olup olmadığını bilmek imkansızdır.

Nyquist kriteri, bant sınırlı bir sinyali yeniden oluşturmak için ne sıklıkta örnekleme yapmanız gerektiğini gösterir. Bununla birlikte, hiçbir fiziksel sinyal bant sınırlı değildir, bu sadece bir idealdir. Diğer şemalar diğer idealize edilmiş sinyalleri örneklemek için çalışacaktır. Nyquist, bir sinyal hakkında (bant sınırlı olduğunu) önceden bildirerek size birkaç örnekten tüm sinyalin nasıl yeniden yapılandırılacağını anlatır. Size farklı a-priori bilgileri verirsem, nyquist'ten daha iyisini yapabilirsiniz. İşte bir örnek: idealize edilmiş sinyallerim parça bazında lineerdir. Bu sinyallerin sadece bükülme noktalarında örneklenmesi gerekir: bant sınırlı sinyaller için birden fazla örnek. Tüm sinyali yeniden yapılandırmak için, numune noktaları arasında düz çizgiler çizin. Buna "Linequist" kriteri diyebilirsiniz. :)

Periyodik bir sinyal, alt Nyquist örnekleme oranı kullanılarak örneklenebilir. Bu osiloskoplarda iyi sömürülür. Her sinyal tekrarı için bir örnek kaydedilir, ancak dönemin farklı bir pozisyonunda. 512 örneğe mi ihtiyacınız var? daha sonra sinyalin 512 tam kısmı gerekir.

Doğruluk:

Sabit bir sinüs dalgasının bu şekilde yakalanabileceğini görmek kolaydır. Ancak bu 512 örnek sinyali kapsamalıdır. 256 ve üst harmonikler sıfır olarak kabul edilebilirse bu doğrudur.

Bu bazen kasıtlı olarak yapılır, örneğin bir örnekleme osiloskopunda (bir DSO ile aynı değildir, ancak bazı DSO'lar da örnekleme yapmaktadır - ancak bir örnekleme osiloskop tamamen analog bir cihaz olabilir ve 1950'lerden beri inşa edilmiştir), periyodik olarak frekansları yükseltmek veya lineer devrelerle başka türlü tedavi etmek için ekonomik olamayacak kadar yüksek olan sinyaller - 1GHz ham sinyal ile başa çıkabilen (bazıları var!) pek çok osiloskop CRT mevcut değildir (bazıları var!) 1960'ların teknolojisiyle bile yetersiz örnekleme. Sonunda, tüm sistem bir heterodyning alıcısına benzer (özdeş değil) davranır. Sürekli dalga yüksek frekanslı LO olmasa da, kullanılan örnekleme saatinde hala gizli ve kullanılan çok yüksek frekanslı bir bileşen vardır:

Açıkçası, periyodik olmayan bir sinyal bu şekilde incelenemez ve çok daha düşük frekans bileşenleri eklenmiş bir sinyal iyice yanlış ve / veya yanlış yorumlanabilir.

[Rackandboneman] 'ın söylediklerinin profesörün niyeti ile tutarlı olduğunu düşünüyorum. 'Kesin koşul' orijinal sinyalin periyodik olması gerektiğidir.

Örneklenmemiş sinyalden orijinal sinyalin nasıl yeniden yapılandırılacağını gösteren bir kod. Orijinal sinyalin kendine özgü düzenini yeniden oluşturmak için 1/100 örnekleme periyoduna ihtiyacı vardır (temel frekansı 8/100 olmasına rağmen). 1.5 / 100 sn örnekleme periyodu ile örnekleme ile orijinal sinyalin paterni 0.5 / 100 rekonstrüksiyon örnekleme periyodu ile neredeyse mükemmel bir şekilde yeniden oluşturulur. (Kısaca, 1.5 / 100 örnekleme döneminden 0.5 / 100 örnekleme dönemi yapılır.)

dt = 1/1000;
t = 0:1/1000:1.28-1/1000;
x1 = 10000*t(1:20).^2;
x2 = -10000*(t(21:40)-0.04).^2+8;
x3 = 8*ones(1,20);
x4 = -800*t(61:70)+56;
x5 = zeros(1,10);

x = [x1 x2 x3 x4 x5] ; 
x = [x x x x];
x = [x x x x];  % make x to be periodic

dtz = 1.5/100;
tz = 0:dtz:1.28-1/1000;
z = x(1: round(dtz/dt) : end);
figure('Name', 'undersampled signal');
plot(tz,z,'o',t,x,'-')
legend('Under sampled signal', 'The original signal')

figure('Name', 'Reconstructed signal');
plot(t(1:5:160),z(mod((0:31)*11,16)+1), 'o-',t(1:160),x(1:160), '-');
legend('Reconstructed signal', 'The original signal')

S hızında bir sinyal örneklenirse, f frekansına sahip herhangi bir içerik, bir tamsayı N için NS + f veya NS-f frekansına sahip herhangi bir diğer içerikten ayırt edilemez olacaktır.

Belirli bir örnekleme hızının yeterli olup olmadığı, içeriğinin ayırt edilmesi gereken, ancak yapılamayan iki frekans olup olmadığına bağlı olacaktır.

Örneğin, yalnızca 700-800Hz aralığındaki sinyallerle ilgilenilirse, giriş 300Hz altındaki veya 1200'ün üzerindeki içerikten yoksun olacak ve diğer sinyallerin varlığı kırpmaya neden olmayacak, 1000Hz örnekleme hızı önceden toplam bant genişliği 900Hz olan içeriğin varlığına rağmen filtreleme. 300Hz-700Hz aralığındaki içerik, 800Hz-1200Hz aralığındaki içerikten ayırt edilemez, ancak eğer önemli olmayan herhangi bir içerik umursamazsa.