Karmaşık Empedanslar

10

Karmaşık bir empedansa sahip olmak ne anlama geliyor?

Örneğin, bir kapasitörün empedansı (Laplace alanında mı?) 1 / sC (inanıyorum) ile eşittir. $\dfrac{1}{j \cdot 2 \pi \cdot f \cdot C}$ geçici ihmal edildiği yerlerde. Empedansın hayali olması ne anlama geliyor?

Şu anda üniversitedeki Elektrik Mühendisliği 2. sınıfımdayım, bu yüzden eğer mümkünse, çok fazla sorun olmasa bile, çalışma materyali (web ve kağıt kaynakları) idealinin referansı ile matematiksel olarak geçerli ve kapsamlı bir cevabı takdir ediyorum.

Şimdiden teşekkürler.

impedance

— JonaGik
kaynak

7

Kurslarınızda tam olarak bunun üzerinde çalışmıyor musunuz? Şüphesiz, bu konuya ayrıntılı olarak giren bir veya iki ders kitabınız var. Bu, daha spesifik bir soru olmadan cevaplanması zor çok geniş bir konudur.

— Olin Lathrop

Ek bir kaynak

— clabacchio

Bunun varsayalım ders kitapları önceki derslerden zaten biliniyor (ve bunu öğretmedik). Bunun üzerine, öğretim görevlilerim sıralarını karıştırdılar, bu yüzden muhtemelen daha sonra öğretilecek, ama ihtiyacımız olmadan önce değil.

— JonaGik

Görünüşe göre senin couse birçok konuya dokunmadı ve bir mühendislik kursu için çok rahatsız edici görünüyor ...

— clabacchio

10

TL; DR Empedansın hayali kısmı, empedansın reaktif bileşenini anlatır; bu, (diğerleri arasında) akım ve voltaj ile devre tarafından kullanılan reaktif güç arasındaki faz farkından sorumludur.

Temel prensip, herhangi bir periyodik sinyalin, eşit aralıklı frekanslarla harmonikler adı verilen (bazen) sonsuz sinüs dalgalarının toplamı olarak ele alınabilmesidir. Her biri kendi sinyali olarak ayrı ayrı ele alınabilir.

Bu sinyaller için aşağıdaki gibi bir gösterim kullanırsınız:

v (t) = V_{0} \cos (2 π f t + ϕ) = ℜ {V_{0} e^{j 2 π f t + ϕ}}

$v(t) = V_{0} \cos (2 \pi f t + \phi) = \Re \{ V_{0}e^{j 2 \pi f t + \phi} \}$

Ve zaten karmaşık sayılar alanına atladığımızı görebilirsiniz, çünkü dönüşü temsil etmek için karmaşık bir üstel kullanabilirsiniz.

Böylece empedans aktif (direnç) veya reaktif (reaktans) olabilir; birincisi tanım gereği reaktansın sinyal fazını ( ) etkilemez , bu nedenle reaktans tarafından sokulan fazdaki değişimi değerlendirmek için karmaşık sayılar kullanmak mümkündür. $\phi$

Yani şunu elde edersiniz:

V = I \cdot Z = I \cdot | Z | \cdot e^{j θ}

$V = I \cdot Z = I \cdot |Z| \cdot e^{j \theta}$

nerede | Z | tarafından verilen empedansın büyüklüğü:

| Z | = \sqrt{R^{2} + X^{2}}

$|Z|=\sqrt{R^2+X^2}$

ve teta empedans tarafından sokulan fazdır ve şu şekilde verilir:

θ = \arctan (\frac{X}{R})

$\theta = \arctan \left( \frac{X}{R} \right)$

Önceki işleve uygulandığında, şu hale gelir:

v (t) = ℜ {I_{0} | Z | e^{j 2 π f t + ϕ + θ}} = I_{0} | Z | \cos (2 π f t + ϕ + θ)

$v(t) = \Re \{ I_{0}|Z|e^{j 2 \pi f t + \phi + \theta } \} = I_{0} |Z| \cos (2 \pi f t + \phi + \theta )$

İdeal kapasitörü düşünelim: empedans olacak Hayali ve negatif ; trigonometrik çevreye koyarsanız, -90 ° bir faz elde edersiniz, bu da tamamen kapasitif bir yük ile voltajın akımın 90 ° arkasında olacağı anlamına gelir. $\frac{1}{j \omega C} = -\frac{j}{\omega C}$

Peki neden?

Diyelim ki iki empedans, 100 Ohm ve 50 + i50 Ohm (veya karmaşık sayılar olmadan, ) toplamak istiyorsunuz . Sonra karmaşık sayılarla gerçek ve hayali kısmı toplarsınız ve 150 + i50 Ohm elde edersiniz. $70.7 \angle 45 ^\circ$

Karmaşık sayılar kullanmadan, kosinüs ve sinüsleri kullanabileceğinizden (ancak o zaman karmaşık sayıları kullanmakla aynıdır) veya büyüklük ve aşamaların bir karmaşasına girebildiğinizden, şey daha karmaşıktır. Sana kalmış :).

teori

Sorularınızı yanıtlamaya çalışan bazı ek kavramlar:

Sinyallerin harmonik gösterimi genellikle Fourier serisi ayrışması ile ele alınır :

v (t) = \sum_{- \infty}^{+ \infty} c_{n} e^{j n t}, where c_{n} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} v (t) e^{- j n t} d t

$v(t) = \sum_{- \infty}^{+ \infty} c_{n}e^{jnt} , \text{ where } c_{n} = \frac{1}{2 \pi } \int_{-\pi}^{\pi} v(t)e^{-jnt} \, dt$

Karmaşık üstel, Euler formülü ile de kosinüs ile ilişkilidir :

c o s (x) = \frac{e^{i x} + e^{- i x}}{2}

$cos(x) = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

— clabacchio
kaynak

Yanıtınız için çok teşekkürler. V (t) denkleminizle ilgili olarak, sadece açıklığa kavuşturmak için, v (t) = v0 cos (2pi f0 t + phi) + v1 cos (2pi f1 t + phi) + ... + vn cos (2pi fn t + phi) (sinyal farklı frekanslarda muhtemelen sonsuz sayıda sinüzoid olarak gösterilebildiğinden)? O zaman, R (V0 exp (j2pift + phi)) terimini cos (x) = 0.5 exp (ix) + 0.5 exp (-ix) 'den türetiyor musunuz? Bu durumda, 0,5 exp (-2pift ...) terimi nereye gider? Ayrıca, Ohm'un hukuk denkleminde, muhtemelen V (t) gerçek bir ifadeyi değerlendirir, ancak exp (j omega) bunu yapmaz, bu nasıl çalışır? Tekrar teşekkürler.

— JonaGik

MMH birçok soru :). Birincisi hakkında, tam olarak değil: Fourier serisi temsilini kontrol edin, ancak teorik olarak başka ayrışmalar da mümkündür; üstel hakkında, evet, bu Eulero denkliği. Aynı şey son soru için de geçerlidir: karmaşık üstel dönüşü verir, ancak daha sonra sadece gerçek kısım alınır.

— clabacchio

Vay canına, bu hızlı bir yanıt! Neden sadece gerçek kısım alınır? Matematiksel olarak geçerli görünmüyor. Tekrar teşekkürler.

— Mart'ta JonaGik

Eksik olan bu mu? "Aexp (i omega) ... altta yatan bir sinüzoidin genliğini ve fazını kodlayan bir steno gösterimi olarak anlaşılmaktadır." dan en.wikipedia.org/wiki/Phasor#Definition . Karmaşık sayı gösteriminin bir açının (faz) ve bir büyüklüğün gösterimi için kısayol olduğu fikri?

— JonaGik

@JonaGik evet, wiki sayfasının da söylediği gibi sinüzoidal sinyallerin uygun bir temsilidir. Her matematiksel nesnenin gerçek bir problemi temsil etmek veya çözmek için bir kısayol olduğunu söyleyebilirim ...

— clabacchio

4

Bunun tamamen sorunuza cevap vermeyeceğinden eminim, aslında umarım bu ihmal edilmiş gibi görünen cevapları tamamlar: karmaşık sayıların kullanımının arkasındaki konsept (daha önce de belirtildiği gibi, bir tür için süslü bir isimdir) matematik "miktar", eğer).

Burada cevaplamamız gereken ilk ana soru karmaşık sayıların neden olduğudur. Ve bu soruyu cevaplamak için doğaldan gerçek sayılara kadar farklı sayı kümelerinin ihtiyacını anlamamız gerekiyor.

İlk çağlardan itibaren doğal sayılar insanların bir pazardaki elma ve portakalları saymasına izin verdi. Daha sonra "borçlu" kavramını negatif sayılarla ele almak için tamsayılar tanıtıldı (bu, o zaman anlaşılması zor bir kavramdı). Şimdi, rasyonel sayılar ve kesirlerle “miktarları” temsil etme ihtiyacı ile işler daha ilginç hale geliyor. Bu sayılarla ilgili ilginç olan şey, sadece bir değil (doğal ve tamsayı sayılarında olduğu gibi) iki tamsayıya ihtiyacımız var, örneğin 3/8. "Miktarları" temsil etmenin bu yolu, örneğin 5 dilim yendiğinde 8 dilim turta kalan dilim sayısını (3) tanımlamak için çok yararlıdır :) (bunu bir tamsayı ile yapamazsınız!).

Şimdi, irrasyonel ve gerçek sayıları atlayalım ve karmaşık sayılara geçelim. Elektronik mühendisleri, lineer bir devrede (yani dirençler, kapasitörler ve indüktörlerden yapılmış) farklı türde bir "miktar", sinüzoidal voltaj (ve akım) tanımlama ve çalıştırma sorunuyla karşı karşıya kaldılar. Bilin bakalım, karmaşık sayıların çözüm olduğunu buldular.

Mühendisler sinüzoitlerin 3 bileşenle, yani A (genlik), (açısal frekans) ve faz ( ) ile temsil edildiğini biliyorlardı : $\omega$ $\phi$

y (t) = bir \cdot s ben n (ω t + φ)

$y(t) = A \cdot sin(\omega t + \phi)$

$\omega$

$\frac{1}{j \omega C}$

GÜNCELLEME

Michael D. Alder'ın "Mühendisler İçin Karmaşık Analize Giriş" başlıklı okumanızı şiddetle tavsiye ettiğim bazı notlar da var. Bu konuya çok dostça bir yaklaşım. Özellikle ilk bölümü öneriyorum.

— gmagno
kaynak

2

Karmaşık sayılar kullanmak, hem fazda hem de faz dışı bileşenlerin - voltaja göre akımın temsil edilmesinin matematiksel bir yoludur. Hayali empedans, empedansın mevcut olmadığı anlamına gelmez, akım ve voltajın birbiriyle faz dışı olduğu anlamına gelir. Benzer şekilde gerçek bir empedans günlük anlamda gerçek anlamına gelmez, sadece akım gerilim ile fazdadır.

— kırlangıç
kaynak

Bu fikirleri kavramsal olarak anlıyorum, sadece karmaşık bir engelin nasıl çalıştığını merak ediyordum - karmaşık olmasının matematiksel nedeni nedir ve nasıl türetildi?

— Mart'ta JonaGik

@JonaGik cevabım nerede yoktu? Bu matematiksel nedene cevap verdiğini sanıyordum ...

— clabacchio

Bu doğru mu? Karmaşık sayı gösteriminin bir açının (faz) ve bir büyüklüğün gösterimi için kısayol olduğu fikri? Yani karmaşık bir engeli yorumladığımızda bunun sadece faz gecikmesini ve büyüklüğünü temsil ettiğini düşünüyoruz?

— Mart'ta JonaGik

2

RCL bağlamında "karmaşık" niceliklerin ne anlama geldiğini anlamak için SEEK'in altındaki açıklamalar. 'Hayali' bileşenler kavramları, insanları basit altta yatan gerçeklere kör etme eğiliminde olan yararlı bir metafordur.Aşağıdaki metin RC terimleriyle konuşur ve aslında gerçekte daha gizemli olmayan LC'nin gizemlerine dokunmaz.
Başkalarından açıklama istemeden önce bir metin kitabı veya internet arama motoru kullanarak kendinizi yükselttiğiniz noktaların çoğunu ele almak için elinizden gelenin en iyisini yapmak daha yararlı olacaktır, çünkü bu soru reaktif AC devrelerinin temelleri için çok temel bileşenler. Zor sorularla uğraşmak, eğitiminiz boyunca benzer şeylerle nasıl başa çıkacağınıza öncelik verir ve internette muhtemelen bu konuyla ilgilenen milyonlarca sayfa vardır (Gargoyle ~ = 11 milyon diyor ama kim söyleyebilir?). İstediğiniz ayrıntı ve titizlik derecesi "orada" çok miktarda ayrıntı miktarı göz önüne alındığında böyle bir siteden gerçekçi değildir. (Site sahipleri Wikipedia'nın bir alt kümesini çoğaltmaya çalışmadığı sürece).

SO - Kafanızı temellerin etrafına taşımanıza yardımcı olmanın iyi bir fikir olduğunu ve onu buradan alıp onunla çalışabileceğinizi düşünmüyorum. Yani ...

Bir giriş terminalini bir kapasiteye bir seri rezistöre bağlarsanız ve diğer kapasitör "topraklanmışsa" bir seri RC devresi alırsanız:
Vin - direnç - kapasitör - toprak.

Şimdi girişe bir adım gerilimi uygularsanız, kapasitör akımı eşleşecek şekilde adım atar ancak kapasitör, dirençte akım üretmek için bu voltajı kullanarak şarj etmeye başlar. Kondansatöre akan akım Icharge = V / R = (Vin-Vcap) / Rseries ile besleneceğinden voltaj artışı üstel olacaktır. yani Vcap yükseldikçe direnç üzerindeki potansiyel düşer ve akım azalır. Teorik olarak Vcap'ın Vin'e ulaşması sonsuz bir zaman alacaktır, ancak pratikte aşağı yukarı "yaklaşık 3 zaman sabitinde
t = RC = Iin için başlangıç değerinin 1 / e'sine düşmesi için geçen süre. Referansları okuduktan sonra zaten bildiğiniz veya yapacağınız 1 / e teriminin ne ve nedenleri.

ŞİMDİ, kare dalga sinyali uygularsak, kapasitör giriş pozitif olduğunda yukarıdaki gibi şarj olur ve giriş topraklandığında veya negatif olduğunda benzer bir üstel şekilde deşarj olur. Kapasitör akımı Vin'i takip edecek ve Vin yüksek / düşük veya düşük yüksek geçişler yaptığında maksimum olacaktır, ancak yukarıda açıklanan nedenlerle kapasitör voltajı giriş voltajının gerisinde kalacaktır. Kararlı duruma ulaşıldığında, Vcap ve I cap'ı çizerseniz, iki dalga formunu neredeyse 90 dereceye kadar veya bir tam giriş döngüsünün = 360 derece olduğu neredeyse derece kadar ofset bulacaksınız. Kondansatör voltajının akımının ne kadar gerisinde kaldığı, giriş frekansına ve RC zaman sabitine bağlıdır.

Deneyimsiz olanlar için bu, sihir gibi görünebilir (veya tiyotimolin * kullanımı), akım dalga şekli, voltajından önce bir çevrimin 1 / 4'üne kadar meydana gelir, ancak bunun nedeni, bunun mantıklı nedeninin, yukarıda açıklandığı gibi olmamasıdır. denetimde mutlaka sezgisel olarak açıktır.

Kapasitörleri ve dirençleri ve indüktörleri çeşitli şekillerde taramaya başlarsanız, çeşitli dalga formunun bağıl fazlarıyla matematiksel olarak ilgilenebilmeniz gerekir. [İlk girişte fazörler sersemletilmiş gibi görünebilir].

Konuyla ilgili 10 milyon ya da daha fazla web sayfasından bazı yetkili figürler ya da gizli bir bakış, faz ilişkisinde değişen iki dalga formuna sahip olduğunuzda ve karşılıklı üstel ilişkiye dayanan, her dalga formu, [R, Teta] formunun, temsili polar formu yansıtan X ve Y bileşenlerine sahip karmaşık bir sayı olarak temsil edilebilen bir polar temsili ile temsil edilebilir.

Belirli bir durumda voltaj ve akım ilişkisini temsil eden Polar "vektör", referansa göre kol uzunluğu ve faz açısı veren bir döner vektör kol "metafor" kullanır. Bu "metafor", kutupsal formun büyüklüğünün R = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) ile verildiği ve açısı teta tan ^ -1 (X / Y) ile verilen bir X ve Y bileşeni ile değiştirilebilir. ). Bu, aşağıdaki diyagram şeklinde görülebilir.

resim açıklamasını buraya girin

Buradan

UYARI - terminolojiye kanmayın.

"Karmaşık sayı" teriminin basitçe Jargon olduğunu unutmayın. Sqrt (-1) kullanımı, aritmetiğin çalışmasına izin veren metaforun yararlı bir parçasıdır, ancak gerçek miktarlar tamamen gerçek ve "sıradan" dır . İndüktörler ve kapasitörler gibi reaktif elemanlar kullanıldığında, güç artık sadece voltaj ve akım vektörlerindeki büyüklük terimlerinin ürünü olmayacaktır. yani V.sin (fred) x I.sin (Josepine) 'den gelen güç (genellikle) = VI değildir. Bu, ilgili değişkenler hakkında özel, büyülü veya karmaşık veya hayali bir şey anlamına gelmez - sadece zaman varyantıdır ve pik büyüklükleri genellikle çakışmaz.

Ekstra okuma - şiddetle tavsiye edilir:

Elektrik empedansı

RC devresi

LC devresi

Karmaşık empedans hesaplayıcısı

Ben Asimov.

— Russell McMahon
kaynak

@Kortuk - Yukarıdakilerin büyük çoğunluğu ilk yazılı cevabımdan önce yazılmıştı, ancak o aşamada yazmadım, ancak daha iyi kontrol edildiğinde zamanında eklenmiş olabilir. Farkında olacağınız gibi, genellikle ilk gönderilere büyük miktarda malzeme eklerim. Onun durumunda havuç ve çubuk yaklaşımınız (havuç olmadan) oldukça motivasyonel değildi, ancak yanlış yönlendirilmiş motivasyon stillerinin en normal etkilerini elde etmesine izin vermek utanç verici görünüyor. Bazıları kulağın etrafındaki nazik kelepçelere yeterince cevap veriyor, ama çoğu değil, buldum. Burada bazıları katılmıyorum :-).

— Russell McMahon

1

Kapasitans ve endüktansın hayali dirençler olarak ifade edilmesi, dirençler, kapasitörler ve indüktörler ile doğrusal problemleri çözmek için dirençlerle doğrusal problemleri çözmek için iyi bilinen yöntemleri kullanabilmeniz avantajına sahiptir.

Bu tür doğrusal problemler ve bunların iyi bilinen yöntemleri örneğin

Sorun: seri olarak iki direncin direncinin hesaplanması
Yöntem: R = R1 + R2
ayrıca direnç / kapasitör / indüktörün bir başka direnç / kapasitör / indüktör ile seri olarak empedansını hesaplamak için de kullanılabilir
Sorun: İki direncin paralel olarak direncinin hesaplanması
Yöntem: R = R1 * R1 / (R1 + R2)
, başka bir direnç / kapasitör / indüktör ile paralel olarak direnç / kapasitör / indüktör empedansını hesaplamak için de kullanılabilir
Sorun: dirençler, DC voltaj ve DC akım kaynakları içeren bir ağın çözümü
Yöntem: aynı anda doğrusal denklem sistemlerinin
çözülmesi, dirençler, kapasitörler, indüktörler, AC veya DC voltaj ve AC veya DC akım kaynakları içeren bir ağın çözümü için de kullanılabilir
vb.

Gerçek direnç değerleri (sadece dirençler) ve DC kaynakları ile çalışan tüm bu formüller / yöntemler, karmaşık değerler (dirençler, indüktörler, kapasitörler) ve AC kaynakları gibi iyi çalışır.

— Lor
kaynak

0

Faz-içi ve faz-dışı sinyallerin bir kombinasyonunu temsil etmek için karmaşık sayıların kullanılmasının yararlı olması gerektiği sezgisel bir sebep olmamasına rağmen, karmaşık sayılar için aritmetik kuralların gerçek davranışa çok iyi uyduğu ve dirençler, kapasitörler ve indüktörlerin etkileşimi.

Karmaşık bir sayı iki bölümün toplamıdır: gerçek bölüm ve -1 ile karekök olarak tanımlanan, i ile çarpılan gerçek bir sayı ile temsil edilebilen bir "hayali" bölüm . Bir kompleks sayı formunda yazılabilir bir + Bi , her iki ile, bir ve B gerçek sayılar olduğu. Daha sonra , bir değişkeni i değişken olarak tedavi ederek karmaşık sayılar üzerinde hareket etmek için polinom aritmetiği kurallarını kullanabilir , ancak i²'yi -1 ile değiştirebilir (örneğin, Pi × Qi ürünü -P × Q'dur).

Herhangi bir belirli frekansta, dirençler, indüktörler ve kapasitörler ağının, her bir öğenin etkili empedansını hesaplayarak ve ardından seri ve paralel kombinasyonların etkili direncini ve voltaj ve akımları hesaplamak için Ohm yasasını kullanarak nasıl davranacağını belirleyebiliriz. onlar. Ayrıca, dirençler, kapasitörler ve indüktörlerin hepsi doğrusal cihazlar olduğundan, frekans kombinasyonları enjekte edildiğinde ağın nasıl davranacağını her bir frekansla ne yapacaklarını hesaplayarak ve sonra sonuçları toplayarak hesaplayabilir. Filtre gibi şeylerin davranışını analiz etmeye çalışırken karmaşık aritmetik çok yararlı olabilir, çünkü filtrenin çıktısını girdinin bir fonksiyonu olarak hesaplamaya izin verir. bazı gerçek sayı giriş sinyalini v beslervolt bazı frekanslardaf , herhangi bir belirli düğümdeki voltaj veya akımı hesaplayabilir; gerçek kısım enjekte edilen dalga formu ile faz halinde olacak ve hayali kısım faz dışı 90 derece olacaktır. Devre davranışını çözmek için fantezi diferansiyel denklemler kullanmak yerine, karmaşık sayılarla nispeten temel aritmetik yapılabilir.

— SuperCat
kaynak

-2

Karmaşık sayılar, elektrik mühendisliğinde, büyüklüğü ve fazı olan miktarlar için kullanılır. Elektrik empedansı, akımın voltaja oranıdır. AC akımları ve gerilimleri için akım ve gerilim dalga formları fazda olmayabilir; empedansın fazı size bu faz farkını söyler.

— nibot
kaynak

Neden aşağı oy?

— nibot