S = VI * / 2 türevi

S, V ve I karmaşık fazörler olan karmaşık güç formülü, S = VI * / 2 için türetmeyi nerede bulabileceğimi merak ediyordum.

İnsanların işe yaradığını göstermek için denklemin içine şeyler doldurdukları bir sürü doğrulama gördüm.

Şimdiye kadar bildiğim şey şu: $V=V_{M} ∠ \phi _{V}$ ve $I=I_{M} ∠ \phi _{I}$ ve $S = V_{RMS} \cdot I_{RMS}$ ,
o zaman $V_{RMS}= \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V}}{\sqrt{2}}$ ve $I_{RMS}= \dfrac{I_{M} ∠ \phi _{I}}{\sqrt{2}}$ ve S = Vm∠ø_v * Im∠ø_i / 2 $S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ \phi _{I}}{2}$

power

— user968243
kaynak

S, V, I ve "* /" ne anlama geliyorsa onu tanımlamanız gerekir.

— Olin Lathrop

@OlinLathrop, I * 'nin karmaşık konjugatı için I * (mevcut) ve ikiye bölünür, çünkü her ikisi de günah dalgalarıdır (V ve I *), böylece her ikisinin de RMS dönüşümleri vardır.

— Kortuk

Let V ve ben bir yük anlık voltaj ve akım olun. Gönderen tanımı güç, akım ve gerilim, biz anlık güç için ilişkiyi vardır:

$p(t) = v(t) \cdot i(t)$

Bu, belirli bir anlık gücünün tam olarak o anlık voltaj ve akım ürününe eşit olduğu anlamına gelir . $t$

Fazör temsilinin aslında ne anlama geldiğini bildiğinizi varsayacağım. Sadece kısaca belirtmek gerekirse: bir fazör, belirli bir bilinmeyen frekansta sinüzoidi temsil etmek için matematiksel bir stenondur.

Bu nedenle, , için bir kısayoldur . Benzer şekilde: anlamına gelir $V=V_{M} ∠ \phi _{V}$ $v(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V})$ $I=I_{M} ∠ \phi _{I}$ $i(t) = I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})$ .

Çarpımı herkes için , bize ait dalga biçimini verir anlık güç her için . Bu çarpma üzerinde çalışmak: $v(t) \cdot i(t)$ $t$ $t$

$s(t) = v(t) \cdot i(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V}) \cdot I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})$

Şöyle ,veyukarıdaki denklemi basitleştirebiliriz: $cos(u) \cdot cos(v) = \cfrac{1}{2} \cdot [cos(u-v)+cos(u+v) ]$ $u = \omega t+ \phi _{V}$ $v = \omega t+ \phi _{I}$

$s(t) = v(t) \cdot i(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

Bu dalga formu kendisi için oldukça ilginç: sabit bir değer Sinüsoid ile $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot cos(\phi _{V} - \phi _{I})$ $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$ .

Bu açıkça anlık güç olduğunu göstermektedir değil zamanla sabit .

Bu sonuca dayanarak, ortalama gücün değişken olmayan bileşenine eşit olduğunu görebiliriz (matematiksel olarak, sadece integral çözmek zorunda olduğunu kanıtlamak oldukça basittir. $s(t)$ $\cfrac{1}{T}\int_{t}^{t+T}{s(t)dt}$ )

Bu sonuç ve nin oldukça tatlı geometrik yorumu ile motive olan bu değer gerçek güç , yani aslında yüke verilen güç olarak tanımlanmıştır . Artık bunun gerçek güç denildiğini biliyorsunuz $VIcos(\phi _{V} - \phi _{I})$ yükteki ortalama güçten başka bir şey olmadığını .

Bu konsepte biraz dalmak (burada çizemediğim bir pitty, ama deneyeceğim):

V büyüklükte bir vektör olsun || v || ve faz ve ben büyüklükte bir vektör olacağım || i || ve faz Eğer çarparsanız || i || tarafından sahip v fazla i projeksiyon . Öte yandan, bileşeni olduğu söylenir i içinde kuadratür . $\phi_v$ $\phi_i$ $cos(\phi_v-\phi_i)$ $||i||sin(\phi_v-\phi_i)$ ile v

Artık ortalama gücün neden serin bir geometrik yoruma sahip olduğunu anlayabilirsiniz: ortalama güç, voltajın akımın voltaj üzerindeki fazör boşluğuna yansıtılmasıyla çarpılmasıdır.

Bu, karmaşık güç S'nin yaratılmasını motive etti :

S = P + jQ

Bu tanımla, vektörün gerçek kısmı tam olarak yüke verilen ortalama güçtür ve karmaşık kısım, dördün olduğu söylenen ve reaktif güç olarak adlandırılan güçtür (bu sonucun geometrik yorumunu görmek için Power Triangle için google) .

Tamam, şimdi tanımına geri dönersek, $s(t)$ ve, tanım gereği ve S tanımına uymak, $P = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i)$ $Q$ $\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)$

Yani, başlangıçta kanıtlamak istediğimiz gibi:

$S = P + jQ = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i) + j\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)$

$S = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot [cos(\phi_v - \phi_i) + jsin(\phi_v - \phi_i) ]$

$S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ -\phi _{I}}{2}$

$S = \cfrac{V \cdot I*}{2}$

Yani, işte gidiyorsun, görmek istediklerin;)

edit : Q fiziksel yorum nedir?

Yukarıda karmaşık gücün gerçek kısmının fiziksel yorumunun ne olduğunu gösterdim, P, yani yüke verilen ortalama güç. Ama tam olarak Q nedir, biri nasıl görselleştirebilir? Çünkü cos ve sin diktir ve hesaplamada yer alan iki dalga biçimi dik ise üstüste binme prensibi güce uygulanabilir. Matematiğe gidelim, çünkü gerçekten önemli olan bu.

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

ϕ_{V} - ϕ_{I} = 0

$\phi _{V} - \phi _{I} = 0$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [1 + cos(2(\omega t+ \phi _{V}))]$

Bu merkezli bir sinüzoid $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2}$ $V_{M}I_{M}$

ϕ_{V} - ϕ_{I} = \frac{π}{2}

$\phi _{V} - \phi _{I} = \cfrac{\pi}{2}$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [0 - cos(2(\omega t+ \phi _{V}) - \cfrac{\pi}{2} )]$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [sin(2(\omega t+ \phi _{V}))]$

Bu, ortalama değeri 0'a eşit olan tamamen salınımlı bir dalga biçimidir . Bu sonuca Q diyelim .

ϕ_{V} - ϕ_{I} = θ

$\phi _{V} - \phi _{I} = \theta$

Bu durumda, s (t) tam olarak yukarıdaki tartışmada bulduğumuz genel denklemdir. Ancak, önceki iki vakanın sonucundan yararlanmak için şunu yeniden yazabiliriz:

$\theta$ $\phi_V + \phi_I = \phi_V -\phi_V + \phi_V + \phi_I = 2\phi_V - \theta$ $s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\theta) + cos(2(\omega t+ \phi _{V}) - \theta)]$ $cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$ $x = 2(\omega t+ \phi _{V})$ $y = \theta$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\theta) + cos(\theta)cos(2(\omega t + \phi_V)) + sin(\theta)sin(2(\omega t + \phi_V))]$

Şartları yeniden düzenleme:

$s(t) = cos(\theta) \cdot \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [1 + cos(2(\omega t + \phi_V))] + sin(\theta) \cdot \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} sin(2(\omega t + \phi_V))$

Yukarıdaki ilk iki vakanın sonucunu kullanarak:

$s(t) = cos(\theta)P + sin(\theta)Q$

Harika bir sonuç, değil mi? Bu ne anlama geliyor?

$\phi _{V} - \phi _{I} = \theta$

$s(t) = V_{M}cos(\omega t + \phi_V) \cdot I_{M}cos(\omega t + \phi_I)$

$i(t) = I_{M}cos(\omega t + \phi_I)$ $i(t) = K_1 cos(\omega t + \phi_V) + K_2 sin(\omega t + \phi_V)$

Hadi deneyelim:

$\phi_I = \phi_V - \theta$ $i(t) = I_{M}cos(\omega t + \phi_V - \theta$

$\omega t + \phi_V = u$ $\theta = v$

İlişki ile:

$cos(u-v) = cos(u)cos(v) + sin(u)sin(v)$

Sahibiz:

$i(t) = I_{M}cos(\theta)cos(\omega t + \phi_V) + I_{M}sin(\theta)sin(\omega t + \phi_V)$

İstediğimiz şey, i (t) 'yi iki bileşenin toplamı olarak yeniden yazmak için: biri v (t) ile fazda, diğeri v (t) ile dördüncül!

Şimdi durum 3 sonucu açıklanabilir: yukarıda gösterildiği gibi I (t), iki bileşen olarak ayrışabilir ve I (t) tarafından üretilen güç, bu bileşenlerin her biri tarafından üretilen güç eşittir tek tek . Vay, süperpozisyon gibi ama güç için! ( Bunun sadece doğru olduğunu ve yukarıda kanıtlandığını unutmayın, çünkü cos ve günah diktir )

Dolayısıyla Q , i (t) bileşeninin, v (t) ile dördün olan bileşeninin ürettiği güç miktarıdır. Tamamen salınımlıdır ve ortalama değeri yoktur.

P , i (t) bileşeninin v (t) ile faz halinde oluşturduğu güç miktarıdır. Salınımlıdır, ancak yüke verilen ortalama güce eşit bir ortalama değere sahiptir.

Ve karmaşık güç S , toplam güç, tam olarak bu iki bileşenin toplamıdır

— Castilho
kaynak

- \frac{V_{M} I_{M}}{2} c o s (2 ω t + ϕ_{V} + ϕ_{I})

$-\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})$

Q = | | i | | s i n (ϕ_{v} - ϕ_{i})

$Q = ||i||sin(\phi_v-\phi_i)$

S = \frac{V_{M} I_{M}}{2} \cdot [c o s (ϕ_{v} - ϕ_{i}) + j s i n (ϕ_{v} - ϕ_{i})]

$S = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot [cos(\phi_v - \phi_i) + jsin(\phi_v - \phi_i) ]$

S = \frac{V_{M} ∠ ϕ_{V} \cdot I_{M} ∠ - ϕ_{I}}{2}

$S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ -\phi _{I}}{2}$

\cos (ϕ_{v} - ϕ_{i})

$\cos(\phi_v - \phi_i)$

Evet. haklısın, bu Q DEĞİL. Reaktif güç sadece voltaj ve gerilim arasındaki faz farkı olarak tanımlanır ve bu doğrudan S'nin bir fazör olarak tanımlanmasıyla ilgili bir değerdir. Voltajla karesel olarak akım tarafından iletilecek güçtür. Zamanla değişen bileşen dikkate alınmaz, çünkü bu anlamda gerçekten önemli olan yükteki ortalama güçtür. Değişen kısım EXISTS, gerçekten orada (örneğin, akkor bir ampulü izleyin), ancak zamanla, güç sadece s (t) 'nin statik kısmı ile ilgilidir. ;)

— Castilho

Tamam, bu değişen bölümün özel bir adı var mı? Her neyse, eğer doğru bir şekilde anlarsam, V yönündeki I miktarı gerçek güçtür ve V'ye dik olan I miktarı karmaşık güçtür.

— user968243

neredeyse, V yönündeki V yönündeki I miktarı gerçek güç P'dir, V ile çarpılan V'nin V ile çarptığı miktarın REAKTİF gücü Q, P + jQ karmaşık güç veya görünür güçtür;)

— Castilho

Tamam, bu mantıklı! Aslında önceki yorumumda, bunun adının ne olduğunu soruyordum: −VMIM2cos (2ωt + ϕV + ϕI) Gerçekten reaktif güç olduğunu düşündüm ... Bu arada reples için teşekkürler, minnettarım!

— user968243