Bir üçgen dalgasının sonlu ya da sonsuz sinüzoidal bileşenleri olur mu?

Bir süreksizlik sonsuz sinüzoidal bileşenlere sahip bir sinyale neden olur, ancak bir üçgen dalgası süreklidir, ben bir eğitmenin üçgen dalgası sürekli olduğu için sınırlı sayıda sinüs bileşeniyle temsil edilebileceğini ve ayrıca bir saf üçgen dalga şeklini vermiş olan çoklu sinüs frekanslarının sonlu eklenmesi.

Aklımdaki tek sorun, bir üçgen dalganın türevinin bir kare dalga olduğu için sürekli olmadığı ve bu nedenle sonsuz bir sinüzoit toplamına ihtiyaç duyması gerektiğidir; bu nedenle eğer biri bir üçgen dalganın Fourier serisinin formülünün iki tarafını da türetirse sonlu sayıda sinüzoidlerin toplamı olarak gösterilen kare bir dalga elde ederiz. Bu yanlış olmaz mı?

bir üçgen dalga süreklidir

Buradan alıntı : -

Üçgen dalganın süreksiz atlamaları yoktur, ancak eğim döngü başına sürekli olarak iki kez değişir

Eğim değişiminin süreksiz olarak olması da sonsuz bir sinüzoidal bileşen aralığı anlamına gelir.

Örneğin, bir kare dalgayı zamanla birleştirdiyseniz, bir üçgen dalgası üretirsiniz, ancak orijinal kare dalganın tüm somunları hala zaman entegrasyonundan sonra mevcuttur: -

Eğitmen, üçgen dalgasının sürekli olduğu için sınırlı sayıda sinüsle temsil edilebileceğini söyledi.

Ya bunu doğru anlamadın ya da eğitmen yanlış konuştu. Sinyalin sürekli olması yeterli değildir, ancak tüm türevlerin de sürekli olması gerekir. Herhangi bir türevde herhangi bir süreksizlik varsa, o zaman tekrar eden sinyal sonsuz bir harmonik serisine sahip olacaktır.

Bir üçgen süreklidir, ancak ilk türevi sürekli olmayan kare bir dalgadır. Bu nedenle, bir üçgen dalgasının sonsuz bir harmonik serisi vardır.

Matematik kanıtı:

Sonlu bir sinüs / kosinüs bileşen serisinin ağırlıklı toplamından oluşan bir işlevi alın.

Türevi aynı zamanda sonlu bir sinüs / kosinüs serisi serisinin ağırlıklı toplamıdır. Aynı sayıda kez türetirseniz aynı.

Sinüs ve kosinüs sürekli olduğundan, fonksiyon ve tüm türevleri süreklidir.

Bu nedenle, herhangi bir türevinde süreksizliğe sahip olan bir fonksiyon, sınırlı bir sinüs / kosinüs serisi ile oluşturulamaz.

Buradaki iyi cevaplar boldur, ama bu sizin "temsil edilebilir" ifadesine bağlıdır .

Üçgen bir dalganın gerçekte var olamayacak teorik bir matematiksel yapı olduğunu anlamak gerekir.

Matematiksel olarak konuşursak, saf bir üçgen dalgası elde etmek için sonsuz sayıda harmonik sinüs dalgasına ihtiyacınız olacaktı, ancak bu bileşenlerin çoğunun önemi olmayacak kadar küçük olan bir üçgen dalgasının temsilini almak için sistem veya artık bu kadar yüksek bir frekansta bulunmuyor.

Bu nedenle, pratikte, kullanılabilir bir sunum elde etmek için yalnızca sınırlı bir sayıya ihtiyacınız vardır. Bu temsilin ne kadar iyi olmasını istediğiniz, kaç harmonik kullanmanız gerektiğini belirler.

Başka bir yaklaşım.

Diyelim ki x (t) üçgen dalgasını ve y (t) türevini seçelim ki bu kare dalgadır, dolayısıyla süreksizdir.

Eğer x (t) sinüzoidal sinyallerin sonlu bir toplamı olsaydı, bunun türevi, bu işlemin doğrusallığı ile sinüzoidal sinyallerin türevlerinin sınırlı bir toplamı olurdu, yani yine sinüzoidal sinyallerin sınırlı bir toplamı olurdu.

Fakat bu ikinci sinyal y (t) kare dalgası olamaz, çünkü sinüzoidal sinyallerin sınırlı bir toplamı süreklidir. Dolayısıyla bir çelişki var.

Bu nedenle x (t) sonsuz Fourier bileşenlerine sahip olmalıdır .

Uygulamada kullanılacak daha basit bir test öneriyorum. Dalga keskin köşelere sahipse, inşa etmek için sonsuz sinüsiodal bileşen gerektirir.

Niye ya? Çünkü sınırlı bir sinüs serisi, keskin bir köşe yapamaz. Bu, toplamların ayrıştırma kuralındaki indüksiyondan kanıtlanmıştır (yani, tüm sonlu toplamlar ve tüm koşulsuz yakınsak toplamlar için Σ (a + b) = Σ a + Σ b).

Sonlu Fourier serileri tarafından anlaşılabilen fonksiyonlar kümesi:

Endeksleri tüm sonlu kümeler için N . Terim-dönem farklılaşması, türevinin (1) sürekli ve (2) F de olduğunu gösterir . Üçgen dalganın türevi sürekli olmadığından, üçgen dalganın fonksiyonu F cinsinden değildir .

Bu kanıt süreksizlikten kaynaklanmaktadır, ancak sürekli işlevlerin çoğu F'ye de ait değildir . Hiçbir polinom veya üstel fonksiyon sınırlı bir sinüs ve kosinüs toplamı olarak ifade edilemediğinden, F'nin tek üyeleri açıkça yukarıdaki şekilde yazılanlardır.