Sinüzoidal girişi olan pasif bir devrede neden tüm voltajlar ve akımlar giriş ile aynı sinüzoidal davranışa sahiptir?

Doğrusal pasif elemanlardan ve sinüzoidal bir girişten oluşan herhangi bir devrede, herhangi bir elemanın içindeki ve üzerindeki tüm voltaj ve akımların, girişle aynı sinüzoidal davranışı ve frekansı göstereceğini biliyorum; pasif filtreler aslında böyle çalışır. Ancak, bunun düz bir gözlem olmasa da, bunun neden olduğuna dair somut / açık bir kanıt bulamıyorum veya bulamıyorum.

Beynimi döküyorum ve sonunda bunu kanıtlamak için güzel bir matematiksel yaklaşım buldum ve kendi sorumu cevaplamaya karar verdim. Böyle bir devrede, herhangi bir bileşen boyunca / üzerinden herhangi bir voltaj / akım için çözme ( diyorum ), her zaman sabit katsayılarla (pasif bileşenlerin doğrusal özellikleri nedeniyle) her zaman doğrusal olan bir diferansiyel denklem oluşturmanıza yol açar. ve homojen olmayan (sinüzoidal girdi nedeniyle). Böyle bir diferansiyel denklem her zaman bu formu alacaktır: a d n$f$buradaa. . . ksabitlerdir (endüktans, direnç vb. kombinasyonları),ndiferansiyel denklemin sırasıdır (devredeki enerji depolama elemanlarının sayısını yansıtır) veCsin(ωt+θ)genelleştirilmiş sinüzoidal bir işlevdir girişi tanımlar. Bu diferansiyel denkleme genel bir çözüm her zaman bu şekli alacaktır:f=

$$a\frac{d^nf}{dt^n}+b\frac{d^{n-1}f}{dt^{n-1}}+...+j\frac{df}{dt}+kf=C\sin{(\omega t+\theta)}$$ $a...k$$n$$C\sin{(\omega t+\theta)}$ burada özel çözüm = Aynı frekansın sinüzoidal fonksiyonu olan bir sin ( ω t + θ ) + B cos ( ω t + θ ) ! Şimdi, AC devre analizinde, homojen çözelti sıfıra yaklaştığında (kaçınılmaz olarak devredeki dirençler nedeniyle olur) devreye sürekli olarak bakıyoruz. $$f=\text{(general homogeneous solution)}+\text{(particular solution)}$$ $=A\sin{(\omega t+\theta)}+B\cos{(\omega t+\theta)}$

Bu sadece LTI (Doğrusal Zamanla Değişmeyen) devreler için geçerlidir. İdeal olmayan bir bileşeniniz varsa (ve hepsi bir dereceye kadar), çıkıştaki giriş frekansının harmoniklerini göreceksiniz. İndüktörler partinin en kötüsü olma eğilimindedir, ancak tüm pasif kısımların böyle bir davranışı vardır. Örneğin, kapasitörler güçlü voltaj katsayısı sergileyebilir ve dielektrik emiliminden dolayı zamanla değişmezler.

Basit (yaklaşık 2 yıllık Üniversite matematik bilgisi varsayar) matematiksel kanıtı için bu Berkeley dersi (EECS20N: Signals and Systems) notlarını okuyabilirsiniz . Sen tüm metni indirebilirsiniz burada .

Bir sinüs dalgasının frekans spektrumunda sadece bir çizgi olması ve doğrusal bir filtre veya amplifikatör kullanarak ne yaparsanız yapın, gerçekleşen tek şey faz veya genliğin değişmesidir.

Bir kare dalga (sonsuz harmonikler) olsaydı, bir filtre uygulamak bazı frekansları diğerlerinden daha fazla zayıflatır ya da hafifletir ve kare dalga tanınan kare şeklini kaybederdi.

Kare dalga harmonikleri: -

Gif kaynağı

Bunun temel nedeni, ideal R, L ve C bileşenlerinin bileşen denklemlerinin doğrusal olması, sadece türevleri ve integralleri içeren (her iki lineer işlem) zamanla değişmeyen denklemlerin olması ve sinüs ve kosinüsün bu tür lineer operatörler üzerinde etkilendiğinde diğer sinüslere ve kosinüslere dönüşmesidir.

Sinüzoidal bir fonksiyonun türevi ve integrali, aynı frekanstaki başka bir sinüzoidal fonksiyondur (sadece genlik ve fazda değişebilir). KCL ve KVL sadece bu tür sinüzoidal fonksiyonların cebirsel toplamlarına yol açabilir ve bu operasyon sadece başka bir sinüzoidal fonksiyon üretebilir. Sonuç olarak, R, L ve C'yi bir ağa bağladığınızda, sinüzoidal bir giriş her zaman sinüzoidal bir çıkışa yol açacaktır.

Diğer cevabımı burada gör .

Bütün bunlar, üstel fonksiyonun kendi kendine benzerliğinin doğrudan bir sonucudur (Euler denklemi ile sinüsler ve kosinüslerle ilişkili). Bunun tam bir açıklaması için Giorgi, Dalgaların Fiziği'nin ilk bölümünü okumak isteyebilirsiniz .

$t=-\infty$$t=+\infty$$A \ x = \lambda \ x$$\lambda$zayıflama ve faz kayması hakkında bilgi taşıyan karmaşık bir skalerdir) sistemlerin karakteristik veya uygun veya öz çözümleri olarak adlandırılır. Diğer (iyi kalpli) işlevlerin bu tür temel tuğlaların genelleştirilmiş bir toplamı olarak ayrıştırılabileceği özelliği ile dikey bir temel oluşturmak için kullanılabilirler - ve bu sizi doğrudan Fourier serisi topraklarına götürecektir, ancak bu başka bir hikaye).

Math SE ile ilgili bu sorunun ilk cevabında kısa bir açıklama verilmiştir: Trig fonksiyonlarını neden diğer periyodik fonksiyonlar yerine Fourier dönüşümlerinde kullanıyoruz?

$e^{iωx}$$S_h$$f(x)$$f(x−h)$$e^{iω(x−h)}=e^{−iωh} e^{iωx}$$x∈R$

Bu sadece pasif elemanları R, L, C ve belki de doğru şekilde sürülen kristallerle kısıtlarken doğrudur - ve o zaman bile iki istisna vardır, aşağıya bakın. Kasıtlı ve kasıtsız diyotlar, varistörler, termal kütleye sahip termistörler ve diğer doğrusal olmayan elemanlar, saf sinüzoidal girişlere hızla bozulmalara neden olabilir. Aşırı yüklenmiş kristaller veya seramik filtreler de doğrusal olmayabilir. Pasif kategoriye negatif dirençli iki terminalli elemanlar (gaz deşarj tüpleri, tünel diyotları) dahil edilirse, daha da fazla olasılık vardır.

İstisnalar:

Gerçek dünyadaki parçalar, bazı doğrusal olmayan elemanlar gibi davranmalarını sağlayan kusurlara sahip olma eğilimindedir. Dirençler "termal kütleye sahip termistör" ve hatta "varistör" davranışına sahip olabilir. Kondansatörler piezoelektrik etkiler, mekanik kuvvet veren elektrik alanları, kimyasal etkiler (elektrolitikte) nedeniyle değerlerinde voltaj bağımlılığına sahip olabilir. Ayrıca, kapasitörler için elektret benzeri bazı etkilerin belgelendiği görülmektedir. Metal-metal derzler diyot benzeri davranışlar geliştirebilir. İndüktörler çekirdek doygunluğu, manyetik alanın yakındaki metal nesnelerle etkileşimi, vb.

Bir akım taşıyan tüm dirençli bileşenler, alt sınırları sert fizik tarafından tanımlanan bazı gürültü üreten davranışlar sergiler.

Tüm gerçek hayatın görünüşte sinüzoidal olmayan, tekrarlayan sinyallerin, farklı frekans ve fazlardaki sinüs dalgalarının bir toplamı olarak mükemmel bir şekilde tanımlanabileceğini unutmayın.

Doğaya olan bağlantıyı aramak çevrelerde olacak: Sinüs dalgaları daireler ve ovaller ve yuvarlak şeyler yapmanın temel bileşenidir, matematik meraklılarına göre (bilgisayarda bir daire çizmek istiyorsanız, genellikle sinüs kullanırsınız) / kosinüs fonksiyonları veya doğrudan bir şekilde pisagor teoremini kullanın ...). Doğa bir çok yuvarlak şey yapar (saç, bitki sapları, kirazlar, kiraz lekeleri, kasırgalar, vb.) Ve bu amaçla bol miktarda sinüs dalgası sağlar.

Bir 'devre' genellikle 'giriş' ve 'çıkış' bağlantı noktasına sahip bir bileşen ağı olarak kabul edilir. Ohm Kanunu gibi ağ teorisi ile çıktıyı girdi olarak tanımlayan bir denklem olan 'transfer fonksiyonu' elde edebilirsiniz. 'Doğrusal' bileşenlerle, her zaman bir 'doğrusal' aktarım işlevi bulacaksınız.

En gibi işlevlerle bazı doğrusal bileşenleri tarif edeyim output = F(input), output2 = G(input2)vb Sonra gibi kombine bir işleve gibi bileşenler potansiyel müşteri kombinasyonu output2 = G(F(input1)). Her iki işlev de formda doğrusal olduğundan, y = a * x + bbu kombinasyonlar da doğrusaldır.

Doğrusal ağa sinüzoidal bir giriş sinyali uygulandığında, çıkış a faktörü ile yükseltilebilir ve gerilim b ile değiştirilebilir. Karmaşık matematik veya diferansiyel denklemler ile 'faz kayması' alabilirsiniz, ancak farklı bir frekans elde edemezsiniz, çünkü sinüsün türevi aynı frekansa sahiptir.

Bunu daha resmi mi istiyorsun?

Öncülünüz yanlış veya sınır koşullarını doğru bir şekilde ifade etmediniz.

Diyot gibi basit bir pasif cihazı düşünün. Belirli bir sinüzoidal olmayan çıkış ile sonuçlanan doğrusal olmayan bir transfer özelliği sergileyecektir

Ayrıca sıfır çıkış ile sonuçlanan, dolayısıyla sinüzoidal olmayan bir transfer fonksiyonuna sahip ideal bir rezonant (LC) devresini düşünün.

Doğrusal zamanla değişmeyen sistemlerin (ve genellikle pasif ağların) özfonksiyonları karmaşık üslüdür ve gerçek üstüstürmeleri keyfi fazın sinoidleridir.

Bir özfonksiyon, bir sistemden geçirildiğinde yalnızca sabit (bu durumda karmaşık) bir faktörle değişecek olan bir fonksiyondur. Doğrusal sistemler, birkaç girişin toplamına karşılık gelen çıktının, ayrı girişlerin çıkışının toplamına karşılık geldiği sistemlerdir, böylece girişlerini her zaman uygun bir toplam olarak ifade ederek analiz edebilirsiniz. Eğer bu toplam dikey bir özfonksiyon esasında ifade edilen bir toplam olabilirse, işler çok daha kolay hale gelir.

Merhaba Fourier analizi.