Nyquist Sampling Criterion hakkında kitap yanlış mı?

Bir kitaptan aşağıdaki ifade yanlış mı?

Sinyalin en yüksek frekans bileşeninin iki katı ile örneklemenin, sinyali tamamen kurtarmak için yeterli olacağını düşündüm. Ancak yukarıda iki kez örneklemenin testere dişi benzeri bir dalga yarattığını söylüyor. Kitap yanlış mı?

Sinyalin en yüksek frekans bileşeninin iki katı ile örneklemenin, sinyali tamamen kurtarmak için yeterli olacağını düşündüm. Ancak yukarıda iki kez örneklemenin testere dişi benzeri bir dalga yarattığını söylüyor. Kitap yanlış mı?

Kitap yanlış, ama düşündüğünüz için değil. Örnekleri gösteren noktalara gözlerini kısarsanız, söylediği sıklığın iki katı örnekleme yapar.

Bu yüzden, önce bazı sinyaller çizmeli ve kendiniz örneklemelisiniz (veya kalem ve kağıda değilseniz bir matematik paketi kullanmalısınız).

İkincisi, Nyquist teoremi , sinyal içeriğinin spektrumunun örnekleme oranının kesinlikle 1 / 2'sinden az olduğunu zaten biliyorsanız , bir sinyali yeniden yapılandırmanın teorik olarak mümkün olduğunu söylüyor .

Sinyali düşük geçişli filtreleyerek yeniden yapılandırırsınız. Filtrelemeden önce sinyal bozulabilir, bu nedenle sonucun iyi görünebileceğini görmek için neye baktığınızı bilmeniz gerekir. Dahası, sinyal içeriğinizin spektrumu Nyquist sınırına ne kadar yakınsa, kesmenin kenar yumuşatma ve yeniden yapılandırma filtrelerinizde o kadar keskin olması gerekir. Bu teoride iyidir, ancak pratikte bir filtrenin zaman alanındaki tepkisi, geçiş bandından durdurma bandına ne kadar keskin bir geçiş gösterdiğine orantılı olarak kabaca uzar. Genel olarak, eğer yapabiliyorsanız, Nyquist'in çok üzerinde örnekleme yapabilirsiniz.

İşte kitabınızın söylediklerine uygun bir resim.

Durum A: döngü başına bir numune (örnekler açıkça belirtilmiştir)

Durum B: her kavşakta iki örnek, kavşaklara iniş - bunun her döngü vakası için bir örnekle aynı çıktı olduğunu unutmayın , ancak sadece kavşaklarda ilk örneği örneklediğim için.

Durum C: Yine, döngü başına iki örnek, ancak bu kez uçlarda. Sinyal bileşeni frekansının tam iki katını örneklerseniz, yeniden yapılandıramazsınız. Teoride, oh-so-biraz daha düşük bir örnekleme yapabilirsiniz, ancak yeniden yapılandırmak için sonucun yeterince yayıldığı dürtü yanıtı olan bir filtreye ihtiyacınız olacaktır.

Durum D: Sinyal frekansının 4 katında örnekleme. Noktaları birleştirirseniz bir üçgen dalga elde edersiniz, ancak bunu yapmak doğru değildir - örneklenmiş zamanda, örnekler yalnızca "noktalarda" bulunur. Bunu iyi bir rekonstrüksiyon filtresinden geçirirseniz , bir sinüs dalgası geri alırsınız ve örneklemenizin fazını değiştirirseniz, çıkışın fazda eşit olarak kaydırılacağını, ancak genliğinin değişmeyeceğini unutmayın.

Resim B son derece yanlış. Çıkış sinyalinde çok keskin köşeler bulunur. Çok keskin köşeler, örnek frekansından çok daha yüksek olan çok yüksek frekanslara eşittir.

Nyquist örnek teoremlerini yerine getirmek için, yeniden yapılandırılmış sinyali düşük geçişli filtrelemeniz gerekir. Düşük geçişli filtrelemeden sonra B sinyali giriş sinyali gibi görünecektir, bir üçgen gibi değil (tüm keskin köşeler düşük geçişli filtreyi geçemediğinden).

Kesin olarak, hem giriş sinyalini hem de çıkış sinyalini düşük geçirmeniz gerekir. Daha yüksek frekansları "katlamamak" için giriş sinyalinin örnek frekansının en fazla yarısına kadar düşük geçişli filtrelenmesi gerekir.

Ne yazık ki, örneklemenin nasıl çalıştığının yaygın bir şekilde yanlış temsilidir. Daha doğru bir açıklama, rekonstrüksiyon için sinc fonksiyonunu kullanacaktır (sinc fonksiyonu için bir arama yapılmasını öneririm).

Gerçek dünya uygulamalarında "mükemmel" bir alçak geçiren filtreye sahip olmak imkansızdır (aşağıdaki tüm frekansları geçirerek yukarıdakileri bloke eder). Bu, normal olarak çoğaltmak istediğiniz maksimum frekansın en az 2,2 katı bir frekansta örnek alacağınız anlamına gelir (örnek: 20kHz maksimum frekansa izin vermek için 44,1 kHz'de örneklenmiş CD kalitesi). Bu fark bile analog filtreler oluşturmayı zorlaştıracaktır - çoğu gerçek dünya uygulaması, kısmen dijital alanda alçak geçiren filtre gibi "aşırı örnek".

Örnekleme teoremi, örnekleme frekansı sinyaldeki en yüksek frekans içeriklerinden kesinlikle daha yüksekse sinyalin mükemmel bir şekilde yeniden oluşturulabileceğini belirtir. Ancak bu rekonstrüksiyon, her bir numuneye (sonsuz) samimi nabız atmaya dayanmaktadır. Teorik bir bakış açısından, bu çok önemli bir sonuçtur, ancak pratikte tam olarak elde edilmesi imkansızdır. Kitap sayfasında anlatılanlar, numuneler arasında düz çizgiler çizmeye dayanan, tamamen farklı bir şey olan bir yeniden yapılandırma yöntemidir. Bu yüzden kitabın doğru olduğunu söyleyebilirim, ancak örnekleme teoremiyle hiçbir ilgisi yoktur.

Çok güzel bir genel bakış makalesi Unser: Sampling - Shannon'dan 50 yıl sonra . Sorununuz saf, sonsuz sinüs sinyallerinin Shannon örnekleme teoremi kapsamında olmadığı gerçeğinden kaynaklanmaktadır. Periyodik sinyaller için uygulanabilir teorem, önceki Nyquist örnekleme teoremidir.

Shannon örnekleme teoremi olarak temsil edilebilir fonksiyonlar için de geçerlidir

$x(t)=\int\limits_{-W}^WX(f)e^{i2\pi ft}\,df$

burada X , kare ile entegre edilebilir bir fonksiyondur. Daha sonra bu sinyal ayn ayn numunelerden tam olarak temsil edilebilir.

$x(t)=\sum\limits_{k=-\infty}^\infty x(k\frac{T}2)\frac{\sin(\pi W(t-k\frac{T}2))}{\pi W(t-k\frac{T}2)}$

$T=\frac1{W}$$\frac1t$

Fourier dönüşümü Dirac-delta dağılımlarından oluştuğu için saf sinüs fonksiyonu bu sınıfta yer almaz.

Önceki Nyquist örnekleme teoremi , sinyal T periyodu ve en yüksek frekans W = N / T ile periyodik ise , o zaman trigonometrik bir polinom olduğunu belirtir (veya daha erken bir içgörü yeniden yorumlar)

$x(t)=\sum\limits_{n=-N}^NX_ne^{i2\pi\frac{n}{T}t}$

ile 2N + 1 (non-önemsiz) katsayıları ve bu katsayılar arasından (doğrusal cebir) tarafından yeniden olabilir 2N + 1 döneminde örnekleri.

Saf sinüs fonksiyonu bu sınıfa girer. NT zaman içinde 2N + 1 numuneler alınırsa mükemmel bir rekonstrüksiyon vaat eder .

Kitaptan paylaşılanlar "Nyquist Sampling Criterion" hakkında bir şey söylemiyor - sadece varsayımsal bir ADC ile bir sinüs dalgasının nokta örneklemesinden bahsediyor ve sonra (örtük olarak) bir (belirtilmemiş) kullanarak bir çıkış sinyali oluşturuyor örnek değerler arasında doğrusal enterpolasyon gerçekleştiren basit DAC.

Bu bağlamda, 'ŞEKİL 6.10' tez cümlesi genellikle doğrudur ve iyi bir şekilde gösterilmiştir.

ADC'nin örnekleme frekansı arttıkça, sayısallaştırılmış sinyalin sadakati artar.

İdealleştirilmiş bir yeniden yapılanmanın sadakatinden bahsetmek istiyorsanız , bu tamamen farklı bir konudur. Nyquist oranıyla ilgili herhangi bir tartışma , yine gösterilen şekilde belirtilmeyen iç enterpolasyon kullanımını ima eder .

Bu şekildeki asıl kusur, bir nokta-numunenin mühendislikte anlamlı bir kavram olduğu fikridir. Pratik olarak, bir ADC bir süre boyunca gerçek dünya giriş sinyali biriktirerek çalışan bir sensör bileşenine bağlanacaktır.

Bununla birlikte, şekil "Şekiller" sadece 'C' durumunda bundan etkilenmesine rağmen, şekildeki şemalarda gösterilen spesifik örnekleme frekansları hakkında görünüşte yanlış (iki faktör kapalı) görünüşte yanlıştır .

Yukarıda belirtilen ifadeyi kullanarak, EEG dalga formu işleme hakkında bir tartışmada "Nörofizyolojik İntraoperatif İzlemeye Pratik Bir Yaklaşım" da benzer şekilde bir diyagram buldum. Değeri ne olursa olsun, bu tartışma aşağıdakileri içerir:

Bir ADC'nin analog bir sinyali sadakatle temsil etmesi için gereken minimum örnekleme frekansını tanımlayan teorem Nyquist teoremi olarak bilinir. Bir ADC'nin örnekleme frekansının, bir dalga formunun en hızlı frekans bileşeninin iki katından fazla olması gerektiğini belirtir.