Örnekleme oranını artırmak neden kenar yumuşatma filtresi uygulamasını kolaylaştırıyor?

Bir cevaptan örnekleme hızı ve kenar yumuşatma filtresi ile ilgili bir soruya aşağıdakileri okudum:

Teorik minimum örnekleme hızına ne kadar yaklaşırsanız, analog filtrenin pratik olarak gerçekleştirilmesi o kadar zorlaşır.

Yanılmıyorsam, örnekleme oranımızın gerekli teorik minimum örnekleme oranımıza yakın olup olmadığını söylüyorsa, analog kenar yumuşatma filtresini tasarlamak daha zor olacaktır.

Eminim birçokları için mantıklı ama burada ne anlama geldiğini ve neden böyle olduğunu anlayamadım. Bu daha basit bir örnekle açıklanabilir mi?

Örnekleme frekansını düşürdükçe, frekans alanındaki görüntüler arasında daha az ayrım olur.

kaynak

Spektrumun tekrarının örnekleme frekansında gerçekleştiğini unutmayın. Görüntüler birbirine daha yakın olduğunda, kenar yumuşatma filtrenizde daha fazla zayıflama elde etmeniz gerekir. Bir sonraki görüntü oluşmadan önce filtrenin geçiş bandından durdurma bandına geçmesi gerekir.

Kaynak gelen bu sunumda

Dijital alemdeki bir sinyali analog alemden yeniden oluşturmak için, analog sinyalde bulunan en yüksek frekansın her döngüsünde en az iki örneğe ihtiyacınız vardır. Örneğin, CD'lerde, 20 kHz ses bandında maksimum frekansı örneklemek için 44.1 kHz kullanırlar. 40 kHz kullanmış olabilirler, ancak bu sınırdadır ve takma ad filtresi imkansızdır.

44.1 kHz örnekleme hızı ile, takma adı olmadan dijital olarak yakalanabilen teorik olarak en yüksek frekanslı ses sinyali 22 kHz olacaktır. Peki, 24 kHz 44.1 kHz dijital örnekleme sistemine beslenirse ne olur?

Bu dijital alanda 20 kHz'lik bir sinyale takma olur ve daha da kötüleşebilir. Sinyal 30 kHz olsaydı ne olurdu? Bu, dijital alanda 16 kHz olacaktı.

Bunun nedeni, alt örneklemenin takma ad çıktısı oluşturmasıdır:

Buradan resim .

Bunu önlemek için 20 kHz ile 24 kHz arasında yeterli zayıflama sağlayan bir filtre kullanırsınız. 24 kHz diyorum çünkü 24 kHz sinyal takma gerçek 20 kHz ses sinyali olma sınırında. Bu nedenle, 20 kHz'e kadar mükemmel işiten insanlar için (artık ben değil), kenar yumuşatma filtresi 20 kHz'de neredeyse sıfır zayıflama ve 24 kHz'de belki 80 dB (veya daha fazla) zayıflama sağlamalıdır.

Bu oldukça yüksek dereceli bir filtredir ve böyle sistemlerle ilgilenen çoğu mühendis, örnekleme hızı için en yüksek analog frekansa 3: 1 gibi bir oranı tercih eder.

Kenar yumuşatma filtrenizin üç bandı vardır

1) DC'den Fwanted'e kadar Passband
2) Fsample-Fwanted'den sonsuza kadar Passband 3) Fwanted'den Fsample-Fwanted'a
geçiş bandı

Bir filtrenin maliyeti (aşama sayısı, bileşen Q, çarpan sayısı), geçiş bandının karşılıklılığı ile kabaca orantılıdır ve durdurma bandının dB derinliğiyle artar.

Daha yüksek Fsample, geçiş bandı daha geniş ve filtre daha ucuzdur

Örnekleme oranınızın olduğunu varsayalım$f_s$

Daha sonra, Nyquist'e göre kadar frekans içeriğine sahip sinyalleri ve doğru bir şekilde yeniden yapılandırmak için örneklenmiş verileri kullanabilirim.$f_s/2$

"durmazsa" , o zaman üzerindeki bu sinyaller örneklemeyi ve yeniden oluşturulmuş sinyalim artık aynı olmaz. Bu etkiye takma ad denir .$f_s/2$$f_s/2$

Bu nedenle, üzerindeki bu sinyallerin bir kenar yumuşatma filtresi kullanılarak filtrelenmesi gerekir.$f_s/2$

Ancak bu filtrenin sinyallerini etkilemesini istemiyoruz !$f_s/2$

Bu nedenle filtrenin ideal olarak şunları yapması gerekir:

olduğunda hiçbir şey$f < f_s/2$

fakat

olduğunda her şeyi engelle$f > f_s/2$

Bunu yapmak imkansız! Yani bir uzlaşma olmalı.

Sinyalinizdeki en yüksek frekans yakın olduğunda, yakın sinyal frekanslarınızı etkilemesine izin vermemek için filtre yapmak imkansız olacaktır.$f_s/2$$f_s/2$

İkimiz de yaparsak işler çok daha kolay hale gelir :

Sinyal frekanslarını çok daha küçük frekanslarla$f_s/2$

veya

Biz artırmak ve böylece örnekleme sıklığı daha yüksek bir frekansta uçları kadar.$f_s/2$

Sonra en yüksek sinyal frekansını ve frekansını " .$f_s/2$

Ardından, filtrenin hiçbir şey yapmaması gereken frekans (en yüksek sinyal frekansı) ve her şeyin engellenmesi gereken frekans ( ) daha fazla olacağı için kenar yumuşatma filtresi için "yer .$f_s/2$

Diyelim ki ilgilendiğiniz bant DC'den 100Hz'e ve sinyalinizde Bant sınırlı beyaz gürültü 10kHz'e sahip. Şimdi diyelim ki 2kHz'de numune almaya karar verdiniz. 20dB / on zayıflama ile güzel bir düşük kutuplu sayım filtresi oluşturabilir ve takma işlemi en aza indirmek için gürültüyü azaltabilirsiniz.

Şimdi, 210Hz'de örneklemek istediğinizi varsayalım. Yeterli zayıflama elde etmek için yüksek dereceli bir filtre oluşturmanız gerekir. Bu tür filtrelerin tasarımı ve yapımı daha zordur ve daha pahalıdır. Doğru yapmayı başarırsanız, geçiş bandında önemli faz bozulması olan bir sinyal alırsınız.

Analog filtre için, filtrenin performansını en yüksek ilgi frekansı aralığında düşünmelisiniz. Genellikle bu, analog filtre için "fc" yi en yüksek ilgi frekansından biraz daha yükseğe ayarlamanız gerektiği anlamına gelir (ve / veya daha keskin bir filtre kullanır).

Takma adı kullanmaktan kaçınmak için, takma sinyalden kaynaklanan kirliliği tolere edebileceğiniz maksimum düzeyde, filtrenizden gelecek en yüksek bileşeninkinden en az iki kat daha sık bir örneklemeniz gerekir. Bu, örnekleme oranının en az iki kat fc olduğu ve genellikle biraz daha yüksek olması gerektiği anlamına gelir.

Yani, geriye doğru çalışmak, daha yüksek bir örnekleme oranı, daha yüksek bir fc'ye sahip olabileceğiniz anlamına gelir ve bu, fc'den daha düşük bir ilgi frekansına kadar düz bir cevaba daha kolay sahip olabileceğiniz anlamına gelir.

Ama . Muhtemelen bildiğiniz gibi, bant genişliği ile gürültü artar. Bu nedenle, düşük gürültülü bir uygulama için filtrenin bant genişliğini konservatif olarak ayarlamanız gerekebilir.