Fourier, Laplace ve Z dönüşümleri arasındaki ilişki ve fark

Bu konular hakkında biraz kafam karıştı. Hepsi bana aynı bakmaya başladı. Doğrusallık, kayma ve onlarla ilişkili ölçekleme gibi aynı özelliklere sahip görünüyorlar. Onları ayrı koymak ve her dönüşümün amacını belirlemek gibi görünmüyorum. Ayrıca bunlardan hangisi frekans analizi için kullanılıyor?

Bu soruna hitap eden tam bir cevap (Google ile) bulamadım. Bunları aynı sayfada görmeyi çok isterdim, böylece biraz netleşebilirim.

Laplace ve Fourier dönüşümleri sürekli fonksiyonların sürekli (integral) dönüşümleridir.

Laplace dönüşümü bir işlev haritalar bir fonksiyonu kompleksi değişken bölgesinin s , .$f(t)$$F(s)$$s = \sigma + j\omega$

türevi ye , lineer bir diferansiyel denklemin Laplace dönüşümü bir cebirsel denklemdir. Bu nedenle, Laplace dönüşümü, diğer şeylerin yanı sıra, doğrusal diferansiyel denklemleri çözmek için kullanışlıdır.$\dot f(t) = \frac{df(t)}{dt}$$sF(s)$

S karmaşık değişkeninin gerçek kısmını sıfıra ayarlarsak , , sonuç, nin frekans alanı temsili olan Fourier dönüşümü (bunun sadece doğru olduğuna dikkat edin bu değeri için nin Laplace dönüşümünü elde etmek için formül mevcutsa, yani sonsuzluğa gitmez).$\sigma = 0$$F(j\omega)$$f(t)$$\sigma$$f(t)$

Z dönüşümü böylece çözme yararlı olabilir, esas olarak Laplace dönüşümü ayrı bir sürümüdür ve fark denklemleri, ayrık versiyonu diferansiyel denklemler. Z dönüşümü, bir dizisini , karmaşık değişkeninin sürekli bir fonksiyonuna eşler .$f[n]$$F(z)$$z = re^{j\Omega}$

Biz büyüklüğünü ayarlamak Eğer z birlik, , sonuç Ayrık zaman Fourier (DTFT) Transform olan esas frekans etki alanı gösterimi olan .$r = 1$$F(j\Omega)$$f[n]$

Laplace dönüşümleri CTFT için süper ayarlanmış olarak düşünülebilir. Bir ROC'de, transfer fonksiyonunun kökleri hayali eksene uzanırsa, yani önceki yorumlarda belirtildiği gibi s = σ + jω, σ = 0 için Laplace dönüşümleri problemi Sürekli Zaman Fourier Dönüşümü'ne indirgenir. Biraz geri sarmak için, Fourier Dönüşümleri varken Laplace dönüşümlerinin neden ilk sırada geliştiğini bilmek iyi olurdu. Görüyorsunuz, fonksiyonun (sinyal) yakınsaklığı, bir Fourier Dönüşümünün var olması için zorunlu bir koşuldur (kesinlikle toplanabilinir), ancak fiziksel dünyada bu tür yakınsak sinyallere sahip olmanın mümkün olmadığı sinyalleri de vardır. Ancak, onları analiz etmek gerektiğinden, onları monoton bir şekilde azalan üssel e üss ile çarparak birleştiririz, bu da onların doğası ile birleşmelerini sağlar. Bu yeni σ + jω, nedensel LTI sistemlerinin sinüzoidal sinyalleri için sıklıkla “jω” olarak değiştirdiğimiz yeni bir 's' adı verilir. S-düzleminde, bir Laplace dönüşümünün ROC'si hayali ekseni kapsıyorsa, sinyal birleştiği için Fourier Dönüşümü her zaman var olacaktır. Bu hayali eksende e ^ jω = cos ωt + j sin ωt (Euler tarafından) sinyallerinden oluşan bu sinyallerdir.

Aynı şekilde, z-dönüşümü, yaşamlarını çok daha kolay hale getirmek için, öncelikle onları birleştirmek için, DTFT'nin bir uzantısıdır. Ae ^ jω'den (ayar r, daire ROC yarıçapı gibi) daha az ile başa çıkmak kolaydır.

Ayrıca, nedensel olmayan sinyaller için Laplace'den bir Fourier Dönüşümü kullanmanız daha muhtemeldir, çünkü Laplace dönüşümleri Tek Taraflı (Tek taraflı) dönüşümler olarak kullanıldığında hayatları çok daha kolaylaştırır. Bunları her iki tarafta da kullanabilirsiniz, sonuçta bazı matematiksel varyasyonlarla aynı sonuç verilecektir.

Fourier dönüşümleri, frekans alanındaki zamanla değişen bir fonksiyonu dönüştürmek / temsil etmek içindir.

Bir laplace dönüşümü "integral alan" da zamanla değişen bir işlevi dönüştürmek / temsil etmek içindir

Z-dönüşümleri laplace'e çok benzer, ancak dijital uygulamalar için daha yakın olan zaman aralıklı dönüşümlerdir.

Hepsi aynı görünür çünkü dönüştürmek için kullanılan yöntemler çok benzerdir.

Laplace ve Fourier dönüşümü arasındaki farkı elektrik devrelerine dayalı bir örnekle açıklamaya çalışacağım. Öyleyse, bilinen bir diferansiyel denklem ile tanımlanmış bir sistemimiz olduğunu varsayalım, örneğin ortak bir RLC devresine sahip olduğumuzu varsayalım. Ayrıca devreyi AÇIK veya KAPALI konuma getirmek için ortak bir anahtarın kullanıldığını varsayalım. Şimdi, eğer sinüzoid sabit durumdaki devreyi incelemek istiyorsak, Fourier dönüşümünü kullanmak zorundayız. Aksi takdirde, analizimiz anahtarı AÇIK veya KAPALI konuma dahil ediyorsa, diferansiyel denklemler için Laplace dönüşümünü uygulamamız gerekir.

Başka bir deyişle, Laplace dönüşümü, sistemin ilk durumdan son sinüzoid kararlı duruma olan yanıtının geçici gelişimini incelemek için kullanılır. Yalnızca sistemin ilk durumundan gelen geçici olayı değil, aynı zamanda son sinüzoid kararlı halini de içerir.

Farklı işler için farklı araçlar. On altıncı yüzyılın sonunda gökbilimciler kötü hesaplamalar yapmaya başladılar. Logaritmalar ilk önce çarpma ve bölmeyi daha kolay toplama ve çıkarma işlemlerine dönüştürmek için hesaplandı. Benzer şekilde, Laplace ve Z dönüşümleri kötü diferansiyel denklemleri çözme şansınız olan cebirsel denklemlere dönüştürür. Fourier serisi başlangıçta tuğlalardaki ve diğer kısmi diferansiyel denklemlerdeki ısı akışını çözmek için icat edildi. Titreşimli tellere, organ borularına ve zaman serisi analizlerine uygulama daha sonra yapıldı.

Transfer fonksiyonunu hesaplamak için herhangi bir LTI sisteminde, fourier veya z dönüşümü yerine sadece laplace dönüşümü kullanırız, çünkü fourier'de sınırlı çıktısı alırız, sonsuza kadar gitmez. Ayrık sinyaller için z dönüşümü kullanılır, ancak LTI sistemleri sürekli sinyallerdir, bu nedenle z dönüşümü kullanamayız. Bu nedenle laplace dönüşümü kullanarak herhangi bir LTI sisteminin aktarım fonksiyonunu hesaplayabiliriz.