RMS voltaj sürelerinin RMS akımının ortalama güç verdiğini gösteren matematiksel kanıt

10

Bunun doğru olduğunu biliyorum çünkü saygın bir kaynakta okudum. Ayrıca sezgisel olarak, gücün dirençli bir yük için gerilim veya akım karesiyle orantılı olduğunu ve RMS'deki "S" nin "kare" olduğunu anlıyorum. Zor bir matematiksel kanıt arıyorum.

Let anda olduklarını belirtmek , ve benzer şekilde, o andaki gerilim gösterir. Tüm anlıklarda voltaj ve akımı ölçebilirsek ve anlık varsa, görünür güç şu şekildedir : $I_i$ $i$ $V_i$ $n$

P = \frac{1}{n} Σ_{ben = ben}^{n} {ben}_{ben} V_{ben}

$P = \frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$

Zarif bir matematiksel kanıt nedir

P = {ben}_{R, M S} V_{R, M S}

$P = I_{RMS} V_{RMS}$

dirençli yükler için aynı sonucu elde eder?

power math rms

— Phil Frost
kaynak

Doğru hatırlarsam, RMS'nin ilgili zaman süresindeki bir sinyalin gerçek değerinin en yakın yaklaşımı olduğunu gösteren bir kanıt olmalıdır. Bunu kullanarak, muhtemelen . Ne yazık ki, bunun kanıtı olan kitabı kaybettim. :(

P = I_{r m s} V_{r m s} = \frac{1}{T 2 - T 1} \int_{T 1}^{T 2} V (t) I (t) d t

$P=I_{rms}V_{rms}=\frac{1}{T2-T1} \int_{T1}^{T2}V(t)I(t)dt$

— AndrejaKo

RMS akım süreleri RMS voltajı ortalama güce eşit değildir. Görünen güce eşittir (ortalama). Dirençsiz yükleriniz varsa, bu bir fark yaratabilir.

— SomeoneSomewhereSupportsMonica

16

Ohm yasası

1 : V (t) = I (t) R

$1: V(t) = I(t)R$

Anlık güç kaybı voltaj ve akım ürünüdür

2 : P (t) = V (t) I (t)

$2: P(t) = V(t)I(t)\\$

Voltaj veya akım açısından bir direnç üzerinden anlık güç elde etmek için 1'i 2'ye değiştirin:

3 : P (t) = I^{2} (t) R = \frac{V^{2} (t)}{R}

$3: P(t) = I^2(t)R = \frac{V^2(t)}{R}\\$

Ortalama güç, bir dönem boyunca anlık gücün ayrılmaz bir parçasıdır ve o döneme bölünür. Gerilim ve akım açısından ortalama güç elde etmek için 3'ü değiştirin.

4 : P_{a v g} = \frac{\int_{0}^{T} P (t) d t}{T} = \frac{R \int_{0}^{T} I^{2} (t) d t}{T} = \frac{\int_{0}^{T} V^{2} (t) d t}{R T}

$4: P_{avg}=\frac{\int_0^T{P(t)dt}}{T}=\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}\\$

RMS akımının tanımı Her iki tarafı da kare Ortalama güç için denklem 4'ü bulmak için R ile çarpın RMS voltajı tanımı Her iki tarafı da kare Ortalama güç için denklem 4'ü bulmak için R'ye bölün Ortalama güç için 7 ve 10 ifadelerini çarpın Her iki tarafın karekökü

5 : {ben}_{R, M S} = \sqrt{\frac{\int_{0}^{T} {ben}^{2} (t) d t}{T}}

$5: I_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}}\\$

6 : {ben}_{R, M S}^{2} = \frac{\int_{0}^{T} {ben}^{2} (t) d t}{T}

$6: I_{RMS}^2 =\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}\\$

7 : {ben}_{R, M S}^{2} R, = \frac{R, \int_{0}^{T} {ben}^{2} (t) d t}{T} = P_{bir v g}

$7: I_{RMS}^2R =\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=P_{avg}\\$

8 : V_{R, M S} = \sqrt{\frac{\int_{0}^{T} V^{2} (t) d t}{T}}

$8: V_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}}\\$

9 : V_{R, M S}^{2} = \frac{\int_{0}^{T} V^{2} (t) d t}{T}

$9: V_{RMS}^2=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}\\$

10 : \frac{V_{R, M S}^{2}}{R,} = \frac{\int_{0}^{T} V^{2} (t) d t}{R, T} = P_{bir v g}

$10: \frac{V_{RMS}^2}{R}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}=P_{avg}\\$

11 : P_{bir v g}^{2} = V_{R, M S}^{2} {ben}_{R, M S}^{2}

$11: P_{avg}^2=V_{RMS}^2I_{RMS}^2\\$

12 : P_{bir v g} = V_{R, M S} {ben}_{R, M S}

$12: P_{avg} = V_{RMS}I_{RMS}\\$ QED

— Stephen Collings
kaynak

6

Çok basit kanıt (sorudaki ayrık örnekleme durumunda), RMS denklemindeki I yerine E / R'nin ikame edilmesidir.

x_{r m s} = \sqrt{\frac{1}{n} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x + \dots + x_{n}^{2})} .

$x_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac1n(x_1^2+x_2^2+x+\cdots+x_n^2)}.$

ve çok basit cebir.

Ve evet, bu doğrudur, çünkü tamamen dirençli bir yükümüz olduğu belirtilmiştir, bu nedenle faz açısı sorunu yoktur ve I'de E'de bulunmayan harmonik yoktur.

DÜZENLE

ayrık noktalar için RMS tanımı (Wikipedia'dan):

x_{r m s} = \sqrt{\frac{1}{n} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2})}

$x_{\mathrm{rms}} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \right) }$

böylece

V_{R, M S} = \sqrt{\frac{1}{n} (V_{1}^{2} + V_{2}^{2} + \dots + V_{n}^{2})}

$V_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$

ve

{ben}_{R, M S} = \sqrt{\frac{1}{n} ({ben}_{1}^{2} + {ben}_{2}^{2} + \dots + {ben}_{n}^{2})}

$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( I_1^2 + I_2^2 + \cdots + I_n^2 \right) }$

ve Ohm Yasası ile ikamesi:

{ben}_{ben} = V_{ben} / R,

$I_i = V_i/R$

{ben}_{R, M S} = \sqrt{\frac{1}{n} ((V_{1} / R,)^{2} + (V_{2} / R,)^{2} + \dots + (V_{n} / R,)^{2})}

$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( (V_1/R)^2 + (V_2/R)^2 + \cdots + (V_n/R)^2 \right) }$

sonra:

{ben}_{R, M S} = \sqrt{\frac{1}{n} (V_{1}^{2} / {R,}^{2} + V_{2}^{2} / {R,}^{2} + \dots + V_{n}^{2} / {R,}^{2})}

$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2/R^2 + V_2^2/R^2 + \cdots + V_n^2/R^2 \right) }$

1 / R ^ 2'yi dışarı çekme

{ben}_{R, M S} = \frac{1}{R,} \sqrt{\frac{1}{n} (V_{1}^{2} + V_{2}^{2} + \dots + V_{n}^{2})}

$I_{RMS} = \frac{1}{R}\sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$

yani:

V_{R, M S} * {ben}_{R, M S}

$V_{RMS} * I_{RMS}$ :

1 / R, (\frac{1}{n} (V_{1}^{2} + V_{2}^{2} + \dots + V_{n}^{2}))

$1/R( \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right))$

1 / R'nin dağıtılması:

(\frac{1}{n} (V_{1}^{2} / R, + V_{2}^{2} / R, + \dots + V_{n}^{2} / R,))

$( \frac{1}{n} \left( V_1^2/R + V_2^2/R + \cdots + V_n^2/R \right))$

Ohm Yasası ikamesini tekrar kullanmak:

(\frac{1}{n} (V_{1} {ben}_{1} + V_{2} {ben}_{2} + \dots + V_{n} {ben}_{n}))

$( \frac{1}{n} \left( V_1I_1 + V_2I_2 + \cdots + V_nI_n \right))$

hangisi:

\frac{1}{n} Σ_{ben = ben}^{n} {ben}_{ben} V_{ben}

$\frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$

— George White
kaynak

Cebir basitse, bize gösterebilir misiniz? Matematiği ayarlamak için LaTeX işaretlemesini kullanabilirsiniz.

— Phil Frost

4

Teşvik için teşekkürler. 1983'ten beri LaTex'i kullanmamıştım.

— George White

0

Anahtar, dirençli bir yük için voltaj ve akımın fazda olmasıdır.

Gerilim ve akımın her ikisi de , ürünleri eşittir . Güç, yaklaşık oranında salınan sinyalin iki katı olan bir sinüs dalgasıdır . Bu zaman içindeki ortalamasıdır ("kare" nin "ortalaması"). Ortalama karenin kökü . İşte o sihirli numarayı elde ederiz. $\sin(t)$ $\sin^2(t) = 1/2 + 1/2 \sin(2t)$ $1/2$ $\sqrt{1/2} = 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2 \approx 0.707$

Kök ortalama kare voltajı veya akımı, zaman içinde aynı güç dağılımını üretecek DC eşdeğer voltajı ve akımıdır . Ortalama güç kaybı W ise, böyle bir güç dağılımı VDC ile A DC ile çarpılarak sabit olarak üretilebilir . $1/2$ $\sqrt{2}/2$ $\sqrt{2}/2$

Akım ve voltaj 90 derece faz dışındaysa (saf reaktif yük), birini ve diğerini olarak düşünebiliriz . Geçerli eşitlik . Güç dalga formu artık yaklaşık oranında salınım yapmak üzere "önyargılı" değildir ; ortalaması sıfırdır: güç dalga formu pozitif ve negatif sallandığından güç alternatif yarım döngülerde yükün içine ve dışına akar. $\cos(t)$ $\sin(t)$ $\sin(t)\cos(t) = 1/2 \sin(2t)$ $1/2$

Bu yüzden soruyu cevaplamak için RMS voltajı ve akımı ortalama güce dayanarak tanımlanır: her biri ortalama gücün kare kökünden türetilir. Ortalama gücün karekökünden elde edilen iki değerin birlikte çoğaltılması, ortalama gücü kurtarır.

— Kaz
kaynak

Bence Stephen Colling'in cevabı en iyisi. Dalga formunun ayrıntılarına güvenmez ve sürekli durumu kapsar. Ayrıca, "Kök ortalama kare voltajı veya akımı, zaman içinde aynı güç dağılımını üretecek DC eşdeğer voltajı ve akımıdır" sorusunu, yanıtı varsayarak ve ardından cevabı almak için bir daireye giderek yanıtlıyor gibi görünüyor.

— George White

-2

Matematik olmadan bu sorunu daha basitleştirelim. 10 saniyelik bir periyotla kare dalga formu üreten bu basit devreyi kullanın.

resim açıklamasını buraya girin

Gerilim böyle

resim açıklamasını buraya girin

ve akım

resim açıklamasını buraya girin

Sonra güç dalga formu

resim açıklamasını buraya girin

Anahtar açıkken, dirence güç verilmez, böylece toplam enerji 10 watt X 5 saniye = 50 Joule'dur ve 10 saniyede 5 watt uyguladığımızla aynıdır. resim açıklamasını buraya girin

ve bu ortalama güçtür. Ortalama voltaj 5 volt ve ortalama akım 0,5 amperdir. Basit bir hesaplama yaparak, ortalama güç 2.5Watt veya 25 Joule doğru değil.

Şimdi bu siparişi bu siparişle yapalım:

İlk voltajı (ve akımı) kare yapın
İkinci kare ortalamasını almak
Sonra ortalamanın karekökünü alın

Gerilim dalga formunun karesi

resim açıklamasını buraya girin

Ve ortalama 50V ^ 2'dir (50 ^ 2 volt değil). Bu noktadan sonra dalga formunu unutun. Sadece değerler. Yukarıdaki değerin karekökü 7.071… volt RMS'dir. Akıma aynısını yapmak 0,7071..A RMS ve ortalama güç 7.071V x 0,7071A = 5 Watt olacaktır.

RMS gücü ile aynısını yapmaya çalışırsanız sonuç ortalama 7,071 Watt olacaktır.

Yani tek eşdeğer ısıtma gücü ortalama güçtür ve hesaplamanın tek yolu voltaj ve akımın rms değerlerini kullanmaktır

— GR Tech
kaynak

Bir dirençte dağıtılan ortalama gücü anlık gücün ortalaması olarak hesaplayamıyor muyuz? OP'nin talep ettiği matematiksel kanıt nerede?

— Joe Hass

Rota dışı bazı karmaşık dalga formları için, kesin ortalama değerler için sıfıra yakın zaman aralıklarını kullanarak bunları entegre etmeliyiz. Herhangi bir matematik kullanmaktan kaçınıyorum, bu yüzden ortalamanın anlamını görmek çok kolay olan kare dalgayı kullanıyorum. RMS de ortalama bir değerdir.

— GR Tech

Bana öyle geliyor ki, gerçek ortalama gücün 5 watt olduğunu ve RMS V * RMS I = 5 watt olduğunu, bu durumda OP'nin doğru olduğunu gösteriyor. Ayrıca, bu durumda, ortalama V * ortalama I = 2,5 watt olduğunu da gösterirsiniz.

— George White

Tamam anlıyorum. Dil sorunu tekrar. Söylemeye çalıştığım şey Vavg x Iavg hesaplamasının doğru olmadığı. Beni caydırdığın için teşekkürler!

— GR Tech

Eğer "RMS de ortalama bir değer" ise, güç hattı voltajının RMS değeri neden ortalama değer gibi 0,0V'a eşit değildir?

— Joe Hass