Radyal dönüşlü iki boyutlu plastiklik

Not - Bu, hiç dikkat çekmemiş Fizik üzerine sorduğum sorunun bir kopyası .

Düzlem gerilme 2B'deki sapma streslerini verim yüzeyine geri ölçeklendirmenin uygun yöntemi nedir?

2B'de düz gerilme koşullarında istenen sonuçları elde etmek için radyal dönüş yöntemini alamıyorum . Bunu, hatamın ortaya çıkması umuduyla hem 3B hem de 2B'de bir örnek kullanarak göstereceğim.

Üç boyut

Keyfi bir deneme düşünün Cauchy Stress tensörü :

$\sigma_{tr} = \begin{bmatrix} 90 & 20 & 0 \\ 20 & 90& 0 \\ 0 & 0& 0 \end{bmatrix}$

Daha sonra hidrostatik bileşeni ile verilir: $\sigma_{tr,hyd} = \begin{bmatrix} 50 & 0 & 0 \\ 0 & 50& 0 \\ 0 & 0& 50 \end{bmatrix}$

Ve sapma bileşeni : $\sigma_{tr,dev} = \begin{bmatrix} 40 & 20 & 0 \\ 20 & 10& 0 \\ 0 & 0& -50 \end{bmatrix}$

Streslerin hala verim yüzeyinde olup olmadığını belirlemek için Von Mises kriterini kullanacağız. Bu (genel düzlem gerilimi için) olarak hesaplanır:

$\sigma_v = \sqrt{\sigma_{11}^2-\sigma_{11}\sigma_{22}+\sigma_{22}^2+3\sigma_{12}^2} = 86.6025$

Argüman uğruna, verim stresini varsayalım . Bu durumda, sapma gerilimlerinin faktörü ile tekrar ölçeklendirilmesi gerekir . Bu yüzden yeni sapkınlık stresi şöyle verilir: $\sigma_y=80$ $\alpha={\sigma_y}/{\sigma_v}=0.9238$

$\sigma_{dev}=\alpha*\sigma_{tr,dev} = \begin{bmatrix} 36.95 & 18.48 & 0 \\ 18.48 & 9.24& 0 \\ 0 & 0& -46.19 \end{bmatrix}$

Ve geri ölçeklenmiş

$\sigma=\sigma_{tr,hyd}+\sigma_{dev} = \begin{bmatrix} 86.95& 18.48 & 0 \\ 18.48 & 59.24& 0 \\ 0 & 0& 3.81 \end{bmatrix}$

Karşılık gelen Von Mises stresini hesaplarsak , ölçeklemenin doğru olduğunu belirten değerini alırız . $\sigma_{v}=80$

İkili boyutlar

Burada kısalık için metnin çoğunu tekrarlamadım. Sayfa 157 Kontrol burada 2D hidrostatik stres onay, bu sadece . Sonra uçak gerilmesi varsayarak: $(\sigma_{11}+\sigma_{22})/2$

$\sigma_{tr} = \begin{bmatrix} 90 & 20 \\ 20 & 90 \\ \end{bmatrix}$ $\sigma_{tr,hyd} = \begin{bmatrix} 75 & 0 \\ 0 & 75 \\ \end{bmatrix}$ $\sigma_{tr,dev} = \begin{bmatrix} 15 & 20 \\ 20 & -15 \\ \end{bmatrix}$ $\sigma_v = 86.6025$

Sorun, sapma streslerinin ölçeklendirilmesinin ( öncekiyle aynı olması) sonuçlanmasıdır: $\alpha$

$\sigma_{dev}=\alpha*\sigma_{tr,dev} = \begin{bmatrix} 13.86 & 18.48 \\ 18.48 & -13.86 \\ \end{bmatrix}$

Ve sonra:

$\sigma=\sigma_{tr,hyd}+\sigma_{dev} = \begin{bmatrix} 88.86& 18.48 \\ 18.48 & 61.14 \\ \end{bmatrix}$

Von Mises stresini hesaplamak, verim yüzeyinin dışında olan değerini verir . Burada problem nedir? Sapkınlık gerilmelerini 2B olarak verim yüzeyine geri ölçeklemenin uygun yöntemi nedir? $\sigma_{v}=85$

Güncelleme Yavaş yavaş bu radyal dönüş yönteminin yalnızca tam 3B veya düzlem gerilimi için uygun olduğu (bu durumda ) idealine doğru geliyorum . Bunun da Sayfa 25'in böyle olduğunu gösterdiği görülüyor, ancak hala emin değilim. $\sigma_{33}\neq0$

modeling stresses

— 1QuickQuestion
kaynak

Görünüşe göre iyi bir soru soruyorsun - belki terminolojiyi özlüyorum, ama tam olarak 'radyal dönüş' nedir? Ne demek istediğini açıklayan bir referans var mı?

— NamesCross

Olumlu oylar sayesinde bağlantıları geri yükleyebildim. İşte basit bir radyal dönüş algoritmasını açıklayan .

— 1Hızlı Soru 31

Bu probleme matematiksel olarak bir la Simo bakalım.

Let gerilme tensörü ( ) ve saptırma ( düzlem gerilme alanı) olarak $\boldsymbol{\sigma}$ $\boldsymbol{s}$ olduğuna dikkat edin. Olsa, biz göz ardı edebilirsiniz çünkü.

σ = {[σ_{11} σ_{22} σ_{12}]}^{T} ve s = {[s_{11} s_{22} s_{12}]}^{T}

$\boldsymbol{\sigma} = \left[\sigma_{11}\, \sigma_{22}\, \sigma_{12}\right]^T \quad \text{and} \quad \boldsymbol{s} = \left[s_{11}\, s_{22}\, s_{12}\right]^T$

σ_{33} = σ_{13} = σ_{23} = s_{23} = s_{13} = 0

$\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = s_{23} = s_{13} = 0$

s_{33} \neq 0

$s_{33} \ne 0$

s_{33}

$s_{33}$

s_{11} + s_{22} + s_{33} = 0

$s_{11} + s_{22} + s_{33} = 0$

Let alır matris için , diğer bir deyişle $\bar{\mathsf{T}}$ $\boldsymbol{\sigma}$ $\boldsymbol{s}$ . Ayrıca düzlem gerilme gerilmelerini ( ) ve sapmalarını ( )yazma konvansiyonunu hatırlayın: $\boldsymbol{s} = \bar{\mathsf{T}}\,\boldsymbol{\sigma}$ $\boldsymbol{\varepsilon}$ $\boldsymbol{e}$ Sen gösterebilir, bazı cebir sonra ve gerilme tensörlerinin kongre biz biraz değiştirilmiş bir sürümünü kullanıyorsanız bu, saygı emin (diyelim ):

ε = {[ε_{11} ε_{22} 2 ε_{12}]}^{T} ve e = {[e_{11} e_{22} 2 ε_{12}]}^{T}

$\boldsymbol{\varepsilon} = \left[\varepsilon_{11}\,\varepsilon_{22}\, 2\varepsilon_{12}\right]^T \quad \text{and} \quad \boldsymbol{e} = \left[e_{11}\, e_{22}\, 2\varepsilon_{12}\right]^T$

\bar{T}

$\bar{\mathsf{T}}$

T

$\mathsf{T}$

verim durumu ve düzlem gerilmesi için akış kuralı için nispeten basit ifadeler alabiliriz.

T = \frac{1}{3} [\begin{matrix} 2 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{matrix}]

$\mathsf{T} = \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}$

Von Mises plastikliği için 3B'deki verim işlevi (tensör notasyonu ile) Düzlem gerilmesinde ve daha önce tanımladığımız matrisleri (ve bir miktar cebir) kullanarak verim fonksiyonununolarak yazılabileceğini gösterebilirsiniz.

f = \sqrt{\frac{3 s : s}{2}} - σ_{Y}

$f = \sqrt{\frac{3\, \boldsymbol{s}:\boldsymbol{s}}{2}} - \sigma_Y$

Deneme stres değerlerinizi elde edeceksiniz.

f = \sqrt{\frac{3 σ^{T} T σ}{2}} - σ_{Y}

$f = \sqrt{\frac{3\, \boldsymbol{\sigma}^T\,\mathsf{T}\,\boldsymbol{\sigma}}{2}} - \sigma_Y$

{\dot{ε}}^{p} = \dot{λ} T σ nerede ε^{p} = {[ε_{11}^{p} ε_{22}^{p} 2 ε_{12}^{p}]}^{T}

$\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}^p = \dot{\lambda}\,\mathsf{T}\,\boldsymbol{\sigma} \quad \text{where} \quad \boldsymbol{\varepsilon}^p = \left[\varepsilon_{11}^p\,\varepsilon_{22}^p\, 2\varepsilon_{12}^p\right]^T$

Güncelleme

σ = C ε^{e}

$\boldsymbol{\sigma} = \mathsf{C}\,\boldsymbol{\varepsilon}^e$

C

$\mathsf{C}$

3 \times 3

$3\times 3$

σ_{n + 1} = {[C^{- 1} + Δ λ T]}^{- 1} C^{- 1} σ_{n + 1}^{Deneme}

$\boldsymbol{\sigma_{n+1}} = \left[\mathsf{C}^{-1} + \Delta\lambda\mathsf{T}\right]^{-1} \mathsf{C}^{-1} \boldsymbol{\sigma_{n+1}}^{\text{trial}}$

Δ λ = \dot{λ} Δ t

$\Delta\lambda = \dot{\lambda} \Delta t$

f (σ_{n + 1}) = 0

$f(\sigma_{n+1}) = 0$

Δ λ

$\Delta\lambda$

— Biswajit Banerjee
kaynak

T σ = [s_{11} s_{22} 2 s_{12}]^{T}

$T \sigma = [s_{11}\ s_{22} \ 2s_{12}]^T$

f = \sqrt{σ_{11}^{2} - σ_{11} σ_{22} + σ_{22}^{2} + 3 σ_{12}^{2}} - σ_{Y}

$f = \sqrt{\sigma_{11}^2-\sigma_{11}\sigma_{22}+\sigma_{22}^2+3\sigma_{12}^2} - \sigma_Y$

α = σ_{Y} / σ_{V M}

$\alpha = \sigma_Y / \sigma_{VM}$

\bar{T}

$\bar{T}$

T

$T$

σ_{n + 1}

$\sigma_{n+1}$

f (σ_{n + 1}) = 0

$f(\sigma_{n+1})=0$

\dot{λ}

$\dot{\lambda}$

n + 1

$n+1$

\sqrt{\frac{3 σ_{n + a}^{T} T σ_{n + 1}}{2}} = σ_{y}

$\sqrt{\frac{3\sigma_{n+a}^TT\sigma_{n+1}}{2}}=\sigma_y$