Başlangıçta bir sistem kutbunun sonlu adım tepkisi sınırsızdır, bu kritik olarak nasıl kararlıdır?

Bu, öğrencilerimden birinin sınıfta gündeme getirdiği bir soru ve yazmaya değer olduğunu düşündüm.

Doğrusal bir zamanla değişmeyen sistemin kararlılığı göz önüne alındığında, sıfır kutup haritasındaki kutup konumlarına bakmak genellikle yararlıdır. Genellikle bir lisans sistem mühendisliği dersinde öğretilen ilk şeylerden biri, LHS s düzleminde bulunan kutupların sabit olduğu ve RHS s düzleminde bulunan kutupların sabit olmadığıdır. Ayrıca, hayali eksende bulunan direkler "kritik derecede kararlı" olarak kabul edilir.

Bu kadar kritik kararlı sistemlere bir örnek şöyle olabilir:

G_{1} = \frac{Y_{1}}{U_{1}} = \frac{1}{s^{2} + ω_{n}^{2}}

$G_1 = \frac{Y_1}{U_1} = \frac{1}{s^2+\omega_n^2}$

kesin değeri

bu soru için önemli değildir. Kutupları

Aşağıdaki kutup-sıfır harita üzerinde gösterilir.

G_{2} = \frac{Y_{2}}{U_{2}} = \frac{1}{s}

$G_2 = \frac{Y_2}{U_2} = \frac{1}{s}$

ω_{n}

$\omega_n$

G_{1}

$G_1$

G_{2}

$G_2$

Öyleyse kritik olarak kararlı olan bu kutupların davranışlarına bir göz atalım. Sonlu basamak girişi tabi ise, sabit genlikli bir sınırlanmış salınım elde edilir: $G_1$

$G_2$

Sadece dengesiz sistemlerin sınırsız sonlu adım yanıtları olduğunu düşündüm.

Bir LTI sisteminin başlangıçta kutup kutulu sonlu adım tepkisi sınırsızsa, neden sistemin kritik derecede kararlı olduğunu söylüyoruz?

control-theory

— ConjuringFrictionForces
kaynak

Buradaki ana sorun, istikrarın nasıl tanımlandığının yanlış anlaşılmasıdır. Kararlılık adım tepkisi ile tanımlanmaz, bunun yerine başlangıç koşullarına (veya bir dürtü yanıtına) sistem yanıtı ile tanımlanır. Katsuhiko Ogata Modern Kontrol Mühendisliğinden, 5. Baskı. :

Doğrusal bir zamanla değişmeyen kontrol sistemi, eğer sistem başlangıç durumuna maruz kaldığında, sonuçta denge durumuna geri dönerse kararlıdır. Doğrusal zamanla değişmeyen bir kontrol sistemi, çıkışın salınımları sonsuza kadar devam ederse kritik olarak kararlıdır. Sistem başlangıç durumuna tabi tutulduğunda , çıkışın denge durumundan sınırsız olarak sapması durumunda kararsız kalır .

[Vurgu madeni].

Tamamen fiziksel bir bakış açısıyla

Bunu ifade etmenin başka bir yolu şudur: sıfır giriş ve sıfır olmayan başlangıç koşullarının varlığında, sistemin enerjisi zamanla artar, azalır veya sabit kalır mı? Enerji zamanla azalırsa, sistem kararlıdır. Enerji zamanla artarsa, sistem kararsızdır. Sistemin enerjisi zamanla sabit kalırsa, sistem kritik derecede kararlıdır.

$G_1$

m {\ddot{y}}_{1} (t) + k y_{1} (t) = u_{1} (t)

$m\ddot{y}_1(t) + ky_1(t) = u_1(t)$

y_{1}

$y_1$

u_{1}

$u_1$

k

$k$

m

$m$

u_{1} = 0

$u_1=0$

$G_2$

m {\dot{y}}_{2} (t) = u_{2} (t)

$m\dot{y}_2(t)=u_2(t)$

y_{2}

$y_2$

m

$m$

u_{2}

$u_2$ kütleye uygulanan harici bir kuvvettir. Kütle için başlangıç hızını uygularsanız ve sürtünme ya da herhangi bir enerji yayılımı olmazsa ve sistem üzerinde iş yapan harici bir güç yoksa, o zaman sonsuza dek bu hızda kalacaktır. Sistemdeki enerji tamamen kinetiktir ve kütlede depolanır. Hiçbir enerji üretilmez veya dağıtılmaz, bu nedenle kritik derecede kararlıdır.

Sistem mühendisliği perspektifinden

Sistemin dürtü yanıtını kullanarak sıfır olmayan ilk koşulları temsil edebilirsiniz. Dolayısıyla, sistem mühendisliği amaçları için, sistemin dürtü yanıtı sınırlanmışsa, sistem en azından kritik derecede kararlıdır. Sistemin darbe tepkisi sıfıra yaklaşırsa, sistem kararlıdır. Sistemin dürtü yanıtı sınırsız ise, o zaman kararsızdır.

m \dot{y} (t) = u (t)

$m\dot{y}(t) = u(t)$

m (s Y (s) - y (0)) = U (s)

$m(sY(s) - y(0)) = U(s)$

Y (s) = \frac{U (s) / m + y (0)}{s}

$Y(s) = \frac{U(s)/m + y(0)}{s}$

Y (s) = \frac{y (0)}{s}

$Y(s) = \frac{y(0)}{s}$

y (0) = 1

$y(0) = 1$

Y (s) = \frac{1}{s}

$Y(s) = \frac{1}{s}$

m

$m$

u (t) = m δ (t)

$u(t) = m\delta(t)$

δ (t)

$\delta(t)$

Y (s) = \frac{1}{s}

$Y(s) = \frac{1}{s}$

— ConjuringFrictionForces
kaynak