Eurokodlarda köprü doğal frekans tahmini için türev

Eurocodes, "sadece bükülmeye tabi basit bir şekilde desteklenen köprü" * tahmin etmek için aşağıdaki denklemi verir:

$$n_0 = \frac{17.75}{\sqrt{\delta_0}}$$

Nerede

• hertz cinsindendoğal frekanstır$n_0$
• mmcinsinden kalıcı eylemler altında orta aralıktaki sapmadır$\delta_0$

Denklem görünüşte ince havadan koparılmış ve 17.75 sabitinin nereden geldiğine dair bir açıklama yok. Bir mühendis olarak anlamadığım bir formül kullanmaktan nefret ediyorum, ancak bunun ötesinde, diğer destek koşullarıyla çalışmanın değiştirilip değiştirilemeyeceğini görebilmem için arkasındaki temelleri öğrenmek faydalı olacaktır.

Herkes bu ilişkiye bir türev / temel köken sağlayabilir mi?

* Tam referans: EN 1991-2: 2003 6.4.4 [Not 8] (Denklem 6.3), eğer yardımcı oluyorsa.

Tüm köprüyü sabit bir kesit boyutuna, dahili sönümlemeye ve sadece küçük dikey sapmalara maruz kalan 2D ince kirişe basitleştirirsek, doğal frekans basit harmonik hareketle belirlenir:

$$n_0 = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{ k } { m } }$$

Burada , doğal frekansı, k onar kuvvet ve bükülmenin (eşdeğer 'yay sertliği') arasındaki orandır m ışın kütle birimi başına uzunluğudur.$n_0$$k$$m$

Bir ışında restoratif kuvvet, saptırılmış şeklin neden olduğu iç kesmedir. Bir kiriş tarafından sergilenen kuvvet sertliği (ilgilidir kesme değişim hızı ile doğru orantılıdır, şöyle ) ve şu değişim hızı o gösterilebilir (not: sapma uzunluğu ile orantılıdır ışın) ki:$EI$

$$k = \alpha \frac{ EI } { L^4 }$$

$E$$I$$L$$\alpha$

Gördüğüm tüm literatür, bunu frekans denklemi için daha uygun bir şekilde ifade ediyor:

$$k = \left( \frac{ K }{L^2} \right)^2 (EI)$$

Tekrar yerine koyma,

$$n_0 = \frac{ K }{ 2 \pi L^2 } \sqrt{ \frac{ EI } {m} }$$

$K$

$K$$EI$$k$

Bunu yapmak için aşağıdaki ilişkiyi kullandılar:

$$\delta_0 = C \frac { w L^4 } { EI }$$

$\delta_0$$C$$w$

$w = gm$$g$

Bu nedenle (yeniden düzenlenmiş :)

$$\sqrt { \frac { EI } { m } } = L^2 \sqrt { 9810 } \frac { \sqrt { C } } { \sqrt { \delta_0 } }$$

Ve bu yüzden:

$$n_0 = \frac { 15.764 K \sqrt { C } } { \sqrt { \delta_0 } }$$

$K$$C$

Basitçe desteklenen bir ışın için:

$$K = \pi ^ 2 \text{ and } C = \frac { 5 } { 384 }$$ $$15.764 K \sqrt { C } = 17.75$$ $$n_0 = \frac{ 17.75 } { \sqrt { \delta } }$$

İşte olası bir cevap.

İlgili bir türetme içeren bu belgeyi (tam kaynağından emin değilim) buldum :

$$n_0=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$$ $k$$m$

$$k=\frac{\text{load}}{\text{deflection}}=\frac{F}{\delta}$$ $F$$\delta$ $$n_0=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{F}{m\delta}}=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{ma}{m \delta}}=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{a}{\delta}}$$ $$n_0=5.03 \sqrt{\frac{a}{\delta}}$$ $a=12.4382$

Bu konuda Ladislav Fryba'nın "Demiryolu Köprülerinin Dinamikleri" (1996) kitabında daha fazla bilgi bulunmaktadır. Bölüm 4'ü okuduysanız, sayfa 92'deki 4.53 formülünü göreceksiniz:

$$f_1 = 17.753 v_{st}^{-1/2}$$

$f_1$$v_{st}$

Bu denklem, düzgün dağılmış bir yük μg ile yüklenen basit bir şekilde desteklenen bir kirişin ortası sapması formülünden gelir.

$$v_{st} = {5 \above 1pt 384} {\mu gl^4 \above 1pt EI}$$

ikame edilen

$$f_j = {\lambda_j^4 \above 1pt l^4} ({EI \above 1pt \mu})^{1/2}$$

verir

$$\lambda_1 = \pi$$

Bu denklemleri g = 9.81 m / s ^ 2 kullanarak birbirlerinin yerine koymak

$$f_1 = {\pi \above 1pt 2} ({5 \above 1pt 384} g)^{1/2} v_{st}^{-1/2}$$

Bu denklemin sayısal değerlendirmesi istenen denklemi verir.

Benim gibi mühendisler için genellikle statikle ilgilenen dinamikler, kolay yapılan hatalar ve yanlış anlamalar ile doludur. Bu formül, basitçe desteklenen kirişler için çok kullanışlıdır, çünkü uygulanan öz ağırlık yükleri ve komplikasyonlara girmek zorunda kalmadan bir miktar canlı yükleme (genellikle% 10) ile hızlı bir şekilde ilişkilendirilebilir.

Ayrıca Konsollar benzer bir sabit kullanabilir (udl ile 19,8, uç nokta yüküyle 15,8). Her şey sürekli kirişler ve çerçevelerle yıkılır.

Bunu takip etmek için tüm ışın tasarımlarıyla doğal bir frekans kontrolü yapıyorum. Örneğin ahşap yapılar için 8Hz hedef ve beton zeminler / 4-6Hz çelik çerçeveler için - ilk geçiş olarak.

Ayrıca, dinamik yanıtları değerlendirmek için kaba ve hazır yöntemler de vardır. Dinamikleri söylemeye gerek yok, hala beni karıştırıyor ve kafam karışıyor ve her zaman olacak! Bu yüzden olabildiğince basit kalıyorum.