Bu denklem analitik olarak nasıl çözülür? [kapalı]

Bir sonraki denklemi çözmem ve bulmam gerekiyor : $x_1$

\frac{d (x_{0} x_{1})}{d z} = - β \frac{d x_{0}}{d z} \frac{1}{r - z (r - 1)}

$\dfrac{d(x_0x_1)}{dz}=-\beta\dfrac{dx_0}{dz}\dfrac{1}{r-z(r-1)}$

burada , , değişkendir ve , sabittir. $x_0$ $x_1$ $z$ $r$ $\beta$

Bu noktada tüm denklemi ile çarpmak mümkün , nedeniyle bazı bilgileri kaybedecek miyim ? $dz$ $\dfrac{1}{r-z(r-1)}$

Diğer tarafta, ifadesi var , bağlı : $x_0=f(z)$ $z$

$x_0=\left(1+\dfrac{\beta}{r-1}\left( 1-\dfrac{1}{(r-z(r-1))^3} \right)\right)^{0.5}$

Bu denklemi entegre etmek için hangi tarafta gitmem gerekiyor?

fluid-mechanics fluid

— Takma ad
kaynak

Notun çok net değil. Mı sabit veya değişken? Değişken ise, zincir kuralını kullanarak ...

x_{1}

$x_1$

d (x_{0} x_{1}) / d z = x_{1} d x_{0} / d z + x_{0} d x_{1} / d z

$d(x_0x_1)/dz = x_1\,dx_0/dz + x_0\, dx_1/dz$

— alephzero 21:18 '

Soruyu düzenledim ve ilk denklemden sonra bilgi ekledim.

— nick_name 21:18

Bir taraf seçmeniz gerektiğini düşünmenize neden olan nedir? Son ifaden için ne istiyorsun? Örneğin, veya veya mısınız? Benzer şekilde, bir düzlem üzerinde bir mermi ile, genellikle yüksekliğini konumunun bir işlevi olarak bulmak istiyoruz .

x_{o} (x_{1}, z)

$x_o(x_1, z)$

x_{1} (x_{o}, z)

$x_1(x_o, z)$

z (x_{o}, x_{1})

$z(x_o, x_1)$

z

$z$

x, y

$x, y$

— Jeffrey J Weimer

Tanımla . Sonra, asıl denklem nerede (1) 'i çözerek analitik olarak bulmak istiyoruz . $\alpha := r - 1$

(1) \frac{d x_{1}}{d z} = [x_{1} + \frac{β}{r - α z}] [- \frac{1}{x_{0}} \frac{d x_{0}}{d z}]

$(1) \quad \dfrac{dx_1}{dz} = \left[x_1+\dfrac{\beta}{r-\alpha z}\right]\left[-\dfrac{1}{x_0}\dfrac{dx_0}{dz}\right]$

(2) x_{0}^{2} = [1 + \frac{β}{α}] - [\frac{β}{α} \frac{1}{(r - α z)^{3}}]

$(2) \quad x_0^2 = \left[1 + \dfrac{\beta}{\alpha}\right] -\left[\dfrac{\beta}{\alpha}\dfrac{1}{(r-\alpha z)^3} \right]$

x_{1}

$x_1$

(2) 'nin farklılaşması . (1) 'deki son faktör olarak yazılabilir Şimdi, (2) kullanarak, Artık (4) yazabiliyoruz.

(3) \frac{d x_{0}}{d z} = - \frac{1}{2 x_{0}} \frac{3 β}{(r - α z)^{4}}

$(3) \quad \dfrac{dx_0}{dz} = -\dfrac{1}{2x_0}\dfrac{3\beta}{(r-\alpha z)^4}$

(4) - \frac{1}{x_{0}} \frac{d x_{0}}{d z} = \frac{3}{2} \frac{β^{2}}{x_{0}^{2} (r - α z)^{4}}

$(4) \quad -\dfrac{1}{x_0} \dfrac{dx_0}{dz} = \dfrac{3}{2}\dfrac{\beta^2}{x_0^2(r-\alpha z)^4}$

\begin{aligned} \frac{x_{0}^{2} (r - α z)^{4}}{β^{2}} & = \frac{1}{β^{2}} (1 + \frac{β}{α}) (r - α z)^{4} - \frac{β}{α} (r - α z) \\ = \frac{r - α z}{α β^{2}} [(α + β) (r - α z)^{3} - β] \end{aligned}

$\begin{align} \frac{x_0^2(r-\alpha z)^4}{\beta^2} & = \frac{1}{\beta^2} \left(1 + \dfrac{\beta}{\alpha}\right)(r-\alpha z)^4 - \dfrac{\beta}{\alpha}(r-\alpha z) \\ & = \dfrac{r-\alpha z}{\alpha\beta^2} \left[\left(\alpha + \beta\right)(r-\alpha z)^3 - \beta\right] \end{align}$

(5) - \frac{1}{x_{0}} \frac{d x_{0}}{d z} = (\frac{3 α β}{2}) (\frac{β}{r - α z}) [\frac{1}{(α + β) (r - α z)^{3} - β}]

$(5) \quad -\dfrac{1}{x_0} \dfrac{dx_0}{dz} = \left(\dfrac{3\alpha\beta}{2}\right) \left(\dfrac{\beta}{r-\alpha z}\right) \left[\dfrac{1}{\left(\alpha + \beta\right)(r-\alpha z)^3 - \beta}\right]$ Eklenti (5) (1) 'e ulaşmak için ifadesini tanımlayarak değişkenleri değiştirin . Ardından Şimdi yazalım (6).

(6) \frac{d x_{1}}{d z} = \frac{3 α β}{2} [x_{1} + \frac{β}{r - α z}] (\frac{β}{r - α z}) [\frac{1}{(α + β) (r - α z)^{3} - β}]

$(6) \quad \dfrac{dx_1}{dz} = \dfrac{3\alpha\beta}{2}\left[x_1+\dfrac{\beta}{r-\alpha z}\right] \left(\dfrac{\beta}{r-\alpha z}\right) \left[\dfrac{1}{\left(\alpha + \beta\right)(r-\alpha z)^3 - \beta}\right]$

y := r - α z

$y := r - \alpha z$

\frac{d x_{1}}{d z} = \frac{d x_{1}}{d y} \frac{d y}{d z} = - α \frac{d x_{1}}{d y}

$\frac{dx_1}{dz} = \frac{dx_1}{dy} \dfrac{dy}{dz} = -\alpha \frac{dx_1}{dy}$

(7) \frac{d x_{1}}{d y} = - \frac{3 β}{2} [x_{1} + \frac{β}{y}] [\frac{β}{(α + β) y^{4} - β y}]

$(7) \quad \dfrac{dx_1}{dy} = -\dfrac{3\beta}{2}\left[x_1+\dfrac{\beta}{y}\right] \left[\dfrac{\beta}{\left(\alpha + \beta\right)y^4 - \beta y}\right]$ veya ODE'yi artık standart yaklaşımları kullanarak çözebilirsiniz, örneğin, http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/Linear.aspx . Çözelti, kare köklerin, kütüklerin ve arktanların karmaşık bir karışımıdır.

(8) \frac{d x_{1}}{d y} = - \frac{3 β^{2}}{2} [\frac{x_{1}}{(α + β) y^{4} - β y} + \frac{β}{(α + β) y^{5} - β y^{2}}]

$(8) \quad \dfrac{dx_1}{dy} = -\dfrac{3\beta^2}{2}\left[\dfrac{ x_1}{\left(\alpha + \beta\right)y^4 - \beta y} + \dfrac{\beta}{\left(\alpha + \beta\right)y^5 - \beta y^2}\right]$

— Biswajit Banerjee
kaynak

Köşeli parantez içindeki terimlerden ve terimlerini çıkarmaya çalıştım ve sonra bütünledik, ancak işe yaramıyor, çünkü her zaman bu terimlerin bir kısmı kalıyor? Başka bir tavsiyen var mı, bu sadece bağlantıdan anladığım şey mi?

x_{1}

$x_1$

\frac{1}{y}

$\dfrac{1}{y}$

— nick_name

ODE, . Sıradan diferansiyel denklemleri çözmekte yabancı olabilirsiniz (veya unutmuş olabilirsiniz), cevabımdaki linkte açıklanan yaklaşımları incelemenizi öneririm. Analitik çözüm çok sayıda adım gerektirir.

d x / d y + a (y) x + b (y) = 0

$dx/dy + a(y) x + b(y) = 0$

— Biswajit Banerjee,