Navier-Stokes denklemlerinde viskoz stres tensöründe ikinci terimin fiziksel yorumu nedir?

Bir süredir bu cevabı arıyordum. Çok sayıda metin okudum ve hatta çevrimiçi olarak bazı dersler izledim, ancak çoğu zaman bunun asla açıklanmadığı ve verilmediği zamanlar. Navier-Stokes denklemlerindeki viskoz gerilme terimi

\nabla \cdot τ = \nabla \cdot μ (\nabla \vec{u} + (\nabla \vec{u})^{T})

$\begin{equation} \nabla \cdot \tau = \nabla \cdot \mu \left(\nabla\vec{u} + (\nabla\vec{u})^T\right) \end{equation}$

Şimdi terimi, sadece hız difüzyonu olduğu için anlaşılması kolay, ancak teriminin fiziksel bir yorumuyla karşılaşmakta zorlanıyorum . Bu terimi genişlettikten sonra sona erdi. $\nabla \cdot \mu \nabla\vec{u}$ $\nabla \cdot \mu (\nabla\vec{u})^T$

\nabla \cdot μ (\nabla \vec{u})^{T} = (\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial y} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial z} \nabla \cdot \vec{u} \end{matrix})

$\begin{equation} \nabla \cdot \mu (\nabla\vec{u})^T = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial y} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial z} \nabla \cdot \vec{u} \end{pmatrix} \end{equation}$

bu, bu etkinin, diverjansız bir hız alanında olmadığı anlamına gelir, ancak bu terimin gerçekte ne anlama geldiğiyle ilgili hala herhangi bir fiziksel sezgi bulamıyorum veya bulamıyorum. Bu terimin fiziksel olarak neyi temsil ettiğini bilen var mı?

mechanical-engineering fluid-dynamics fluid-mechanics

— Adam O'Brien
kaynak

Ekleme: Sıkıştırılamaz akışta terimin bulunmadığı konusunda haklısın. Yoğunluktaki gradyanlar nedeniyle momentum difüzyonunu hesaba katar gibi görünüyor. İki bitişik sıvı paritesi aynı hıza sahip olabilir, ancak farklı momentum, aralarında kayma gerilimi yoktur, ancak momentum dağılır.

— Dan

Bu soru Mühendislik için konudur. Bu soru için başka siteler öneren birkaç yorum kaldırdım. Kısmen, denklemin uygulamalı bir şekilde anlaşılmasını talep ettiğim için değil, aynı zamanda bu süreklilik mekaniğinin bir parçası olduğu için. Lütfen sitenizi biraz kıskandırmanın

— GlenH7

İlgili meta tartışma: meta.engineering.stackexchange.com/questions/266/…

— GlenH7

Sıfır olmayan bir yoğunluk gradyanı nedeniyle mevcut olan bir momentum gradyanı noktası iyi bir noktaydı. Herkese cevaplarınız için teşekkür ederiz!

— Adam O'Brien,

Yanıtlar:

$\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T$ $\dot{\gamma}$ $\mu\left(\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)$

$\nabla \vec{u}$

\nabla \vec{u} = \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} + {(\nabla \vec{u})}^{T}) + \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} - {(\nabla \vec{u})}^{T})

$\nabla \vec{u} = \frac{1}{2}\left(\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)+\frac{1}{2}\left(\nabla\vec{u}-\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)$

— Salomon Turgman
kaynak

Buna bakarken bulduğum şey buydu, ancak normal ve transpozisyon matrisini neden içerdiğini anlamak için bir cevaba başlamadan önce gerilme hızı tensörünün bir türevi gibi bir şey bulmaya çalışıyordum.

— Trevor Archibald

Teşekkür ederim, sizin önerdiğiniz gibi geometriden gerilme oranlı tensör türevinden geçtim ve bu bana çok yardımcı oldu.

— Adam O'Brien,

@ Sturgman ile aynı fikirdeyim, bireysel bölümlere bakmamalı, ama onu iç bağlamda anlamaya çalışmalıyım.

Navier-Stokes Denkleminin en temel versiyonuna bakarak ( Einstein-Notation kullanarak ):

ρ \frac{D u_{i}}{D t} = ρ k_{i} + \frac{\partial}{\partial x_{i}} (- p + λ^{*} \frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}}) + \underset{\nabla \cdot (η [(\nabla \vec{u}) + (\nabla \vec{u})^{T}])}{\underset{⏟}{\frac{\partial}{\partial x_{j}} (η [\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}])}}

$\rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} = \rho k_i + \frac{\partial}{\partial x_i} \left( -p + \lambda^*\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right) + \underbrace{\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \eta \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right] \right)}_{\nabla \,\cdot\, (\eta \, \left[ (\nabla\vec{u})+(\nabla\vec{u})^\mathrm{T}\right])}$

Orijinalindeki underbraced kısım yeniden yazılabilir.

\frac{\partial}{\partial x_{j}} (η [\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}]) = η (\frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial x_{j} \partial x_{j}} + \frac{\partial}{\partial x_{i}} [\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}}])

$\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \eta \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right] \right) = \eta \left( \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j \partial x_j} + \frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial u_k}{\partial{x_k}} \right]\right)$

Hangi yol açar:

ρ \frac{D u_{i}}{D t} = \underset{I}{\underset{⏟}{ρ k_{i}}} - \underset{II}{\underset{⏟}{\frac{\partial p}{\partial x_{i}}}} + \underset{III}{\underset{⏟}{(λ^{*} + η) \frac{\partial}{\partial x_{i}} [\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}}]}} + \underset{IV}{\underset{⏟}{η [\frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial x_{j} \partial x_{j}}]}}

$\rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} = \underbrace{\rho k_i}_{\text{I}} - \underbrace{\frac{\partial p}{\partial x_i}}_{\text{II}} +\underbrace{(\lambda^* + \eta)\frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right]}_{\text{III}} + \underbrace{\eta \left[ \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j \partial x_j}\right]}_{\text{IV}}$

Sembolik gösterimde bu şöyle görünmelidir:

ρ \frac{D \vec{u}}{D t} = ρ \vec{k} - \nabla p + (λ^{*} + η) \nabla (\nabla \cdot \vec{u}) + η \nabla \cdot \nabla \vec{u}

$\rho\frac{\mathrm{D}\vec{u}}{\mathrm{D}t} = \rho\vec{k} - \nabla p + (\lambda^* + \eta)\nabla(\nabla\cdot\vec{u}) + \eta\nabla\cdot\nabla\vec{u}$

$\text{III}$ $\lambda^*$ $-2/3 \eta$

$\text{III}$ $\text{IV}$ $\text{III}$

— rul30
kaynak

Üzgünüm :-( Benim niyetim değildi.

— peterh 24:15