Beton lifler için stokastik diferansiyel denklem modelinin geliştirilmesi

Beton lifleri (metalik lifler) matematiksel bir model olarak modellemek için çalışıyorum. Çalışmam tezim için. Ben sayısal analiz doktora öğrencisiyim, ama gerçek bir tünel projesi üzerinde çalışıyorum.

Betondaki liflerin dağılımı ile ilgili sorunlar yaşadım. Lifler için stokastik bir diferansiyel denklem geliştirmenin bir yolunu bulmaya çalışıyorum.

Aşağıdaki sorularım var:

1. Beton lifi için herhangi bir matematiksel model var mı? (istatistiksel model değil)
2. Beton liflerinin nasıl davrandığına dair herhangi bir teknik bilgi var mı?

İlgili - bir kompozit malzemenin özellikleri için bir tahmin nasıl hesaplayabilirim

Mil El Kitabı 17F'ye referans , s. 213 burada özetlenmiştir:

Etkili elastik modüllerin hesaplanması esneklik teorisinde çok zor bir sorundur ve sadece birkaç basit model kesin analize izin verir. Bir model türü, kare dairesel diziler veya altıgen periyodik diziler gibi aynı dairesel liflerin periyodik dizilerinden oluşur ... Bu modeller, sayısal sonlu fark veya sonlu eleman prosedürleri ile analiz edilir. Kare dizinin, Tek Yönlü Kompozitlerin çoğu için uygun bir model olmadığına dikkat edin, çünkü enine izotropik değildir.

Kompozit silindir düzeneği (CCA) modeli, etkili elastik modüllerin tam analitik olarak belirlenmesine izin verir ... Her biri dairesel bir fiber çekirdeğe ve eşmerkezli bir matris kabuğuna sahip bir kompozit silindir koleksiyonunu düşünün. Silindirlerin boyutu değişebilir, ancak çekirdek yarıçapının kabuk yarıçapına oranı sabit tutulur. Sonra...

(Nerede $V_f$ elyafların toplam malzeme miktarına hacim fraksiyonudur. $X_{m}$ matrisin bir özelliği, $X_{f}$ fiberin bir özelliğidir ve $E, G, k$elastik modülü, kesme modülü ve kütle modülü özellikleridir. Yığın modülü, k, izotropik malzemeler için aşağıdaki gibi hesaplanabilir:$\frac{E}{2(1-\nu-2\nu^2)}$, nerede $\nu$Poisson oranıdır. Aboneliği olmayan G bir yazım hatasıdır ve onunla değiştirilmesi gerekir$G_m$)

Tercih edilen bir alternatif, Genelleştirilmiş Kendini Tutarlı Şema (GSCS) olarak adlandırılan bir yaklaşım yöntemini kullanmaktır. Bu yönteme göre, herhangi bir fiberdeki gerilim ve gerinim, bir kompozit silindirin etkili fiber kompozit malzemeye gömülmesiyle yaklaşık olarak tahmin edilir. Kompozit silindirdeki lif ve matrisin hacim fraksiyonları, tüm kompozitin hacim fraksiyonlarıdır. Böyle bir analiz ... kesme modülü için ikinci dereceden bir denklemle sonuçlanır ...

Net algoritma, etkin yığın modülünü hesaplamaktır $k^*$, 12 Poisson oranı$\nu_{12}^*$ve gençlerin modülü $E_{1}^*$ önce, ikinci kesme modülünü hesaplamak için listelenen ikinci dereceden formülü kullanın, $G_2^*$. kullanma$G_2^*$, $E_2^*$, $\nu_{23}^*$, ve $G_1$hesaplanabilir. Bunlar fiberin yerel koordinat sistemindedir. Global koordinatlara çevirmek için:

Daha sonra, özellikleri keyfi bir yönde bulmak için tek yönlü kompozitin özelliklerini bulmak için lifi döndürebiliriz:

burada Qbar döndürülmüş matristir ve Q orijinal ters matristir. Stokastik bir model için, lifin açısı ve hacim fraksiyonu girişler olabilir ve çıkışlar ortaya çıkan özellikler olacaktır. Tekdüze rastgele bir dağılım için, teta 0'dan 0'a değiştiği için Qbar matrisini entegre etmek mümkündür.$2\pi$, sonra böl $2\pi$simetrik bir matris elde etmek. Bu yöntemin sonuçları, fiberglas endüstrisindeki rasgele fiber malzemeler hakkındaki verilerle iyi eşleşir.

Bir diferansiyel denklem hakkında sorduğunuz gibi, bu noktadan sonra uygun teoriyi gözden geçirmemiz gerekir. Örneğin, klasik plaka denklemi,

$$\nabla^2\nabla^2 = \frac{q}{D}$$ , kısmen çalışır. Başka bir stoacı değişken, bir beton bloğunun içindeki lifin yüksekliğini dahil etmeliyiz. Elyaf tepeye ne kadar yakın olursa, blok bükülme yüküne karşı o kadar sert olacaktır. Blok, muntazam kalınlıkta gelişigüzel bölümlere ayrılabilir ve her bir bölümdeki elyaf hacmi eklenir ve farklı Qbar'lar oluşturulur. Farklı bir dağılım, bloğun farklı özelliklerine neden olur:

ABD matrisi olarak adlandırılan bu matris, plaka denklemini aşağıdaki gibi yeniden tanımlayacaktır:

$$D_{11}\frac{\partial^4 w}{\partial x^4} + 2(D_{12}+2 D_{66})\frac{\partial^4 w}{\partial x^2 \partial y^2} + D_{22}\frac{\partial^4 w}{\partial y^4} = q(x,y)$$

en basit durumlar için (B matrisi ilgisiz, enine yükleme yok, vb ...). Vakalar oradan daha garipleşir, ancak orijinal türevlerden türetilebilir, ancak model stresin lekeyle orantılı olduğunu varsaydığını söylediğinde durur.