Genel olarak reynold sayı hesaplamalarında karakteristik uzunluk nasıl belirlenir?

Reynolds sayısının ifadesi ile verildiğini anlıyorum , burada yoğunluk, sıvı hızı ve dinamik viskozitedir. Herhangi bir akışkan dinamiği problemi için , ve önemsiz olarak verilir. Peki karakteristik uzunluk tam olarak nedir? Tam olarak nasıl hesaplarım? Karakteristik uzunluğu otomatik olarak belirlemek için belirli bir problemden ne kullanabilirim?$Re=\frac{\rho v L}{\mu}$$\rho$$v$$\mu$$\rho$$v$$\mu$$L$

Bu soruya bazı yorumlarda ve cevaplarda tartışıldığı gibi verimli olabilecek matematiksel bir bakış açısıyla yaklaşmak istiyorum. Verilen cevaplar yararlıdır, ancak eklemek istiyorum:

1. Genel olarak mevcut en küçük uzunluk ölçeği karakteristik uzunluk ölçeğidir.
2. Bazen (örneğin dinamik sistemlerde) karakteristik uzunluk ölçeği olarak seçilecek sabit uzunluk ölçeği yoktur. Bu gibi durumlarda genellikle dinamik bir uzunluk ölçeği bulunabilir.

Karakteristik uzunluk ölçekleri:

TL, DWTR: için,karakteristik uzunluk ölçeği; için,karakteristik uzunluk ölçektir. Bu, daha küçük uzunluk ölçeğinin (genellikle) karakteristik uzunluk ölçeği olduğunu gösterir.$R/L\ll1$$R$$R/L\gg1$$L$

Diğer cevaplarda tartışılan boru akış durumunu düşünün; yarıçapı aynı zamanda borunun uzunluğu da vardır . Genellikle boru çapını karakteristik uzunluk ölçeği olarak alırız, ancak bu her zaman böyle midir? Buna matematiksel açıdan bakalım; boyutsuz koordinatları tanımlayalım: $R$$L$

$$\bar{x}=\frac{x}{L} \quad \bar{y}=\frac{y}{R} \quad \bar{u}=\frac{u}{U} \quad \bar{v}=\frac{v}{V} \quad \bar{p}=\frac{p}{\rho U^2}$$

Burada, , , , olan - koordinatı ve hız terazi ancak zorunlu karakteristik ölçekler. basınç ölçeği seçiminin sadece için geçerli olduğunu . Vaka bir yeniden skalalanmasına gerektirir.$L$$R$$U$$V$$x$$y$$P=\rho U^2$$\mathrm{Re}\gg1$$\mathrm{Re}\ll1$

Süreklilik denklemini boyutsuz miktarlara dönüştürme:

$$\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{u}=0 \rightarrow \partial_{\bar{x}}\bar{u}+\partial_{\bar{y}}\bar{v}=0$$

yalnızca veya varsaydığımızda bu durum söz konusu olabilir . Bunu bilerek, Reynolds sayısı yeniden tanımlanabilir:$\frac{U}{V}\frac{R}{L}\sim1$$\frac{V}{U}\sim\frac{R}{L}$

$$\mathrm{Re}=\frac{UR}{\nu}=\frac{U}{V}\frac{R}{L}\frac{VL}{\nu}=\frac{VL}{\nu}=\hat{\mathrm{Re}}$$

Benzer şekilde, Navier-Stokes denklemlerini dönüştürelim ( sadece kısa tutmak için bileşeni): Burada Reynolds sayısının, ölçekleme işlemi. Ancak, geometrik oranına bağlı olarak , denklemler yeniden ölçeklendirmeyi gerektirebilir. İki durumu düşünün:$x$

$$\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{\nabla u}=-\frac{1}{\rho}\boldsymbol{\nabla}p+\nu\triangle\boldsymbol{u}$$ $$\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\left[\frac{R}{L}\partial_{\bar{x}}^{2}\bar{u}+\frac{L}{R}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}\right]$$ $R/L$

• Boru yarıçapı boru uzunluğundan çok daha küçüktür (yani ):$R/L\ll1$

  Dönüştürülen denklem şu şekildedir: Burada bir sorunumuz var çünkü terimi çok büyük olabilir ve uygun şekilde ölçeklendirilmiş bir denklemin sadece veya daha küçük katsayıları olabilir . Bu yüzden koordinatı, hız ve basıncı:

  $$\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{L}{R}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}$$ $\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{L}{R}$$O(1)$$\bar{x}$$\bar{v}$$\bar{p}$ $$\hat{x}=\bar{x}\left(\frac{R}{L}\right)^{\alpha}\quad\hat{v}=\bar{v}\left(\frac{R}{L}\right)^{-\alpha}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{R}{L}\right)^{\beta}$$ Bu yeniden ölçeklenmiş miktar seçimi, süreklilik denkleminin şu biçimde kalmasını sağlar: Navier-Stokes yeniden ölçeklenen miktarlar açısından denklemler: hangi uygun bir şekilde tartılır değerlerini aldığımızda veya daha küçük katsayıları . Bu, basınç ölçeğinin herhangi bir yeniden ölçeklendirmeye ihtiyaç duymadığını, ancak uzunluk ve hız ölçeklerinin yeniden tanımlandığını gösterir: $$\partial_{\hat{x}}\bar{u}+\partial_{\bar{y}}\hat{v}=0$$ $$\bar{u}\partial_{\hat{x}}\bar{u}+\hat{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\hat{x}}\hat{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}$$ $O(1)$$\alpha=-1,\,\beta=0$ $$\hat{x}=\bar{x}\frac{L}{R}=\frac{x}{R}\quad\hat{v}=\bar{v}\frac{R}{L}=\bar{v}\frac{V}{U}=\frac{v}{U}\quad\hat{p}=\bar{p}=\frac{p}{\rho U^{2}}$$ ve bunun için karakteristik uzunluk ve hız ölçek sırasıyla görüyoruz ve değildir ve başlangıçta varsayıldığı gibi fakat ve .$x$$v$$L$$V$$R$$U$

• Boru yarıçapı boru uzunluğundan çok daha büyüktür (yani )$R/L\gg1$ :

  Dönüştürülen denklem şu şekildedir: Önceki duruma benzer şekilde, çok büyük olabilir ve yeniden ölçeklendirme gerektirir. Bu süre dışında koordinatı, hız ve basıncı: Bu yeniden ölçeklendirilmiş miktar seçimi, süreklilik denkleminin formda kalmasını sağlar:

  $$\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{R}{L}\partial_{\bar{x}}^{2}\bar{u}$$ $\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{R}{L}$$\bar{y}$$\bar{u}$$\bar{p}$ $$\hat{y}=\bar{y}\left(\frac{R}{L}\right)^{\alpha}=\frac{y}{L}\quad\hat{u}=\bar{u}\left(\frac{R}{L}\right)^{-\alpha}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{R}{L}\right)^{\beta}$$ $$\partial_{\bar{x}}\hat{u}+\partial_{\hat{y}}\bar{v}=0$$ Yeniden ölçeklendirilen miktarlar cinsinden Navier-Stokes denklemleri şunu verir: , katsayılarıyla düzgün bir şekilde ölçeklendirildi veya değerlerini aldığımızda daha küçük olur . Bu uzunluk, hızlar ve basınç ölçeklerinin yeniden tanımlandığını gösterir: $$\hat{u}\partial_{\bar{x}}\hat{u}+\bar{v}\partial_{\hat{y}}\hat{u}=-\partial_{\bar{x}}\hat{p}+\frac{1}{\mathrm{\hat{\mathrm{Re}}}}\partial_{\bar{x}}^{2}\hat{u}$$ $O(1)$$\alpha=1\,\beta=-2$ $$\hat{y}=\bar{y}\frac{R}{L}=\frac{y}{L}\quad\hat{u}=\bar{u}\frac{L}{R}=\bar{u}\frac{U}{V}=\frac{u}{V}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{L}{R}\right)^{2}=\bar{p}\left(\frac{U}{V}\right)^{2}=\frac{p}{\rho V^{2}}$$ ve sırasıyla karakteristik uzunluğu, hız ve basınç ölçekler görüyoruz , ve değildir , , başlangıçta ama en varsayıldığı gibi , ve .$x$$v$$p$$R$$U$$\rho U^{2}$$L$$V$$\rho V^{2}$

Tüm unutmuş olmanız durumunda: , karakteristik uzunluk ölçeğidir; için , karakteristik uzunluk ölçektir. Bu, daha küçük uzunluk ölçeğinin (genellikle) karakteristik uzunluk ölçeği olduğunu gösterir.$R/L\ll1$$R$$R/L\gg1$$L$

Dinamik uzunluk ölçekleri:

Bir türün yarı sonsuz alana yayılmasını düşünün. Bir yönde sonsuz olduğu için sabit uzunluk ölçeği yoktur. Bunun yerine, alana yavaşça nüfuz eden 'sınır tabakası' tarafından bir uzunluk ölçeği oluşturulur. Karakteristik uzunluk ölçeği olarak adlandırılan bu 'penetrasyon uzunluğu' bazen şöyle verilir:

$$\delta\left(t\right) = \sqrt{\pi D t}$$

burada difüzyon katsayısı ve zamandır. Görüldüğü gibi, tamamen sistemin difüzyon dinamikleri tarafından belirlendiği için uzunluk ölçeği yoktur . Böyle bir sistem örneği için bu soruya verdiğim cevaba bakınız .$D$$t$$L$

Bu pratik, ampirik bir sorudur, matematik tarafından “çözülebilen” teorik bir soru değildir. Buna cevap vermenin bir yolu, Reynolds sayısının fiziksel olarak ne anlama geldiğinden başlamaktır: akış alanındaki "tipik" atalet kuvvetleri ile viskoz kuvvetler arasındaki oranı temsil eder.

Böylece, tipik bir akış düzenine bakarsınız ve bu kuvvet oranını temsil etmek için en iyi uzunluk ölçümünü seçersiniz.

Örneğin, dairesel bir borudan geçen akışta, viskoz (kesme) kuvvetleri, borunun ekseninden duvarlara doğru hız profiline bağlıdır. Borunun ekseni boyunca hız aynı kalırsa, yarıçapı ikiye katlamak, eksen ile duvarlar arasındaki kesme hızını yarıya indirir (hızın sıfır olduğu yerde). Yarıçap veya çap, karakteristik uzunluk için iyi bir seçimdir.

Açıkçası yarıçapı veya çapı seçerseniz Re farklı olacaktır (2 faktörü ile), bu yüzden pratikte herkes aynı seçimi yapar ve herkes laminardan türbülanslı akışa geçiş için aynı kritik Re değerini kullanır. Pratik bir mühendislik bakış açısından, bir borunun boyutu çapıyla belirlenir, çünkü ölçülmesi kolay olan şeydir, bu nedenle Re için de çapı kullanabilirsiniz.

Yaklaşık dairesel olan bir boru için, borunun çevresinin gerçekten en önemli uzunluk olduğuna (benzer bir fiziksel argümanla) karar verebilir ve bu nedenle sonuçları "eşit çaplı" kullanarak tanımlanan dairesel borularla karşılaştırabilirsiniz. (çevre / pi).

Öte yandan, borunun uzunluğu sıvı akış modeli üzerinde çok fazla etkiye sahip değildir, bu nedenle çoğu amaç için Re için karakteristik uzunluk için zayıf bir seçim olacaktır. Ancak, uzunluğun çaptan çok daha az olduğu çok kısa bir "borudaki" akışı düşünüyorsanız, uzunluk, akışı tanımlayan parametre olarak kullanılacak en iyi sayı olabilir.

Hangi terim gruplarının (sadece uzunluk veya zaman ölçeklerinden daha genel) ilgili olduğunu belirlemenin üç ana yolu vardır. Birincisi, bir problemin veya benzer veya uygun bir problemin analitik olarak çözülmesini ve hangi terimlerin ortaya çıktığını görmeyi ve işleri uygun şekilde basitleştiren seçimler yapmayı içerebilen matematiktir (aşağıda daha fazlası). İkinci yaklaşım az ya da çok deneme yanılma yöntemidir. Üçüncüsü, genellikle geçmişte birileri bu problemde veya ilgili problemlerde daha önce bahsedilen analizlerin bir çeşitini yapmışsa emsaldir.

Teorik analiz yapmanın birkaç yolu vardır, ancak mühendislikte yararlı olanlardan biri boyutsallaştırıcı olmayan yönetim denklemleridir. Bazen, bir boru akışında olduğu gibi karakteristik uzunluk açıktır. Ancak diğer zamanlarda, serbest kesme akışlarında veya bir sınır tabakasında olduğu gibi belirgin bir karakteristik uzunluk yoktur . Bu durumlarda, karakteristik uzunluğu serbest bir değişken haline getirebilir ve sorunu basitleştiren bir uzunluk seçebilirsiniz . Aşağıda, karakteristik olmayan zaman ve uzunluk ölçeklerini bulmak için aşağıdaki önerilere sahip olan boyutsuzlaştırmayla ilgili bazı iyi notlar verilmiştir :

1. (daima) Boyutsuz sabitleri olabildiğince eşit yapın.
2. (genellikle) Başlangıç ​​veya sınır koşullarında görünen sabitleri bire eşit yapın.
3. (genellikle) Eğer sıfıra eşit olacak olursak, sorunu önemli ölçüde basitleştirecek, özgür kalmasına izin verecek ve daha sonra ne zaman küçük yapabileceğimizi görecek boyutsuz bir sabit varsa.

Diğer ana yaklaşım bir problemi tamamen çözmek ve hangi terim gruplarının ortaya çıktığını görmektir. Genel olarak, bu tür bir teorik analizden terim alıyorsanız, ilgili uzunluk açıktır, ancak bu tür bir analiz genellikle söylenenden daha kolaydır.

Fakat teorik bir analiziniz yoksa nasıl iyi bir uzunluk elde edersiniz? Genellikle, hangi uzunluğu seçtiğinizin çok fazla önemi yoktur. Bazı insanlar bunun kafa karıştırıcı olduğunu düşünüyor gibi görünüyor, çünkü türbülans geçişinin 2300'de (bir boru için) veya 500.000'de (düz bir plaka için) gerçekleştiği öğretildi . Boru durumunda, çapı veya yarıçapı seçmenin önemli olmadığını unutmayın. Bu, kritik Reynolds sayısını iki faktörle ölçeklendirir. Önemli olan, kullandığınız kriterlerin kullandığınız Reynolds sayısının tanımı ve çalıştığınız problemle tutarlı olmasını sağlamaktır . Çapı boru akışları için kullandığımızı belirleyen bir gelenek.$Re$

Ayrıca, genel olarak, analiz veya deney, başka bir sayı önerebilir, diyelim ki içinde bir "karakteristik uzunluk" olan Biot numarası. Bu durumda prosedürler, daha önce belirtilen prosedürlerle aynıdır.

Bazen ilgili uzunluğu belirlemek için sezgisel bir analiz yapabilirsiniz. Biot numarası örneğinde, bu karakteristik uzunluk genellikle bir nesnenin hacmi, yüzey alanına bölünmesiyle verilir, çünkü bu, ısı transferi problemleri için mantıklıdır. (Daha büyük hacim = merkeze daha yavaş ısı transferi ve daha geniş yüzey alanı = merkeze daha hızlı ısı transferi.) Ama herhalde bunu belirli yaklaşımlardan türetmek mümkün. Hidrolik çapı doğrulayan benzer bir argüman yapabilirsiniz .