Navier-Stokes'teki atalet (viskoz olmayan) terimini neden düşük akış ve yüksek viskozitede ihmal edebiliriz?

Navier-Stokes'teki atalet (viskoz olmayan) terimini neden düşük akış ve yüksek viskozitede ihmal edebiliriz?

Navier-Stokes'i tamamlayın: $ \ rho \ frac {D \ vec {v}} {Dt} = \ rho g - \ nabla P + \ mu \ nabla ^ 2 \ vec {v} $

Atalet terimi: $ \ Frac {D \ vec {v}} {Dt} = \ frac {\ kısmi \ vec {v}} {\ kısmi t} + \ frac {\ kısmi \ vec {v}} {\ kısmi x} v_x + \ frac {\ kısmi \ vec {v}} {\ kısmi y} v_y + \ frac {\ kısmi \ vec {v}} {\ kısmi z} v_z $.

Ve sabit bir akış ve düşük oran varsayıyoruz: $ \ frac {\ kısmi \ vec {v}} {\ kısmi t} = 0, \ frac {\ kısmi \ vec {v}} {\ kısmi x} \ yaklaşık0, \ frac {\ kısmi \ vec {v}} {\ kısmi y} \ yaklaşık0, \ frac {\ kısmi \ vec {v}} {\ kısmi z} \ yaklaşık0 $. Ve böylece eylemsizlik teriminin göz ardı edilebilir.

Ancak benim malzememde, bu şartlarda $ \ mu \ nabla ^ 2 \ vec {v} $ 'nin baskın terim olacağı belirtildi. Neden öyle olmayacak? $ \ Nabla ^ 2 \ vec {v} \ rightarrow \ frac {\ kısmi ^ 2 \ vec {v}} {\ kısmi x ^ 2} \ yaklaşık0, \ frac {\ kısmi ^ 2 \ vec {v}} {\ kısmi y ^ 2} \ yaklaşık0, \ frac {\ kısmi ^ 2 \ vec {v}} {\ kısmi z ^ 2} \ yaklaşık0 \ rightarrow \ mu \ nabla ^ 2 \ vec {v} \ yaklaşık 0 $ kadar mı?

Genellikle düşük akış hızı ve yüksek viskoziteliğin ima ettiği şey, düşük Reynolds sayı akışı denilen bir şeyle uğraşmamızdır. Reynolds sayısı, atalet kuvvetlerinin ($ \ rho U U $) ve viskoz kuvvetin ($ \ mu U / L $) oranı olan boyutsuz sayıdır: $$ \ mathrm {Re} = \ kırık {\ rho U U} {\ mu U / L} = \ frac {\ rho U L} {\ mu} $$ Düşük $ \ mathrm için {Re} $ viskoz kuvvetleri baskındır (laminer rejim) ve yüksek $ \ mathrm için {Re} $ atalet kuvvetleri baskındır (türbülanslı rejim). $ \ Mathrm {Re} $ gibi boyutsuz sayılar, denklemlerin boyutsuzlaştırıldığı 'ölçeklendirme' olarak bilinen bir işlemle doğal olarak gösterilir; Bu işlemle, ilgili boyutsuz sayıların değerlerine dayanarak hangi terimlerin ihmal edilebileceğini söylemek mümkündür. Daha fazla bilgi için cevabımı kontrol et bu soru.

Teknik olarak, 'düşük akış ve yüksek viskozite' demek, düşük $ \ mathrm {Re} $ akışla uğraştığımızı söylemek için yeterli değildir, çünkü aynı zamanda $ L $ (genellikle boru çapı, vb. Yoğunluk $ \ rho $ (hava veya sudan), fakat genellikle durum böyledir.

Şimdi, düşük bir akış hızı için $ \ partial_ \ beta u_ \ alpha \ yaklaşık 0 $ 'ın yanlış olduğunu söyleyerek; Muhtemelen demek istediğin, $ u_ \ beta \ partial_ \ beta u_ \ alpha \ ll \ mu \ partial_ \ beta ^ 2u_ \ alpha $. Bu, $ u_ \ beta \ partial_ \ beta u_ \ alpha \ yaklaşık 0 $ olduğunu söyleyerek denklemlerin sadeleştirilmesini haklı çıkarır, bu fiziksel olarak eylemsizlik terimlerinin viskoz terimlerle karşılaştırıldığında tamamen ihmal edilebilir olduğu anlamına gelir. $ u_ \ beta \ partial_ \ beta u_ \ alpha \ yaklaşık 0 $, $ \ partial_ \ beta u_ \ alpha \ yaklaşık 0 $ anlamına gelmez; bunun yerine, düşük akış hızı $ u_ \ beta \ yaklaşık 0 $, $ \ partial_ \ beta u_ \ anlamına gelir. alpha $ önemli olabilir. $ \ Partial_ \ beta u_ \ alpha \ sim U / L $ değerinin büyüklük sırası tahminini göz önünde bulundurun; $ L $ 'lık küçük değerler için ($ $ \ mathrm {Re} $' a katkıda bulunur) $ O (U) $ siparişinden çok daha büyük olabilir. $ \ Partial_ \ beta ^ 2 u_ \ alpha \ sim U / L ^ 2 $ viskoz terimlerinin benzer bir büyüklük sırası analizi bunların daha da önemli olacağını gösterir. Bu nedenle, atalet terimlerinin ihmal edilebilir olmasının nedeni, ancak viskoz terimler değildir.

Son terim $ \ nabla ^ 2 \ vec {v} $ ile orantılı olduğundan ve $ | \ vec {v} | $ ile orantılı olmadığı için, sürat büyüklüğü küçük olsa bile büyük olabilir. X-yönelimli bir borudaki basit kaymaz laminer akış durumunu düşünün. Bu tek yönlü bir akış, bu yüzden $ v $ ve $ w $ 'ı atıp $ u $' ya odaklanabiliriz. Akış hızının küçük olması gerektiği gibi alacağız.

Sırf $ u $ 'ın genellikle küçük olması, ancak $ \ nabla u $' in de genellikle küçük olduğu sonucuna varacağımız anlamına gelmez. Aslında, boru ne kadar dar olursa, $ \ nabla u $ 'ın büyüklüğü de o kadar büyük olur. Yatay hızın gradyan alanına baktığımızda, hızın maksimumda olduğu, borunun merkezine doğru içe dönük olma eğiliminde olduğunu görüyoruz. Bu, büyüklüğünün bağımlı olduğu negatif bir sapma olduğumuz anlamına gelir. varyasyonun keskinliği hızda ve genel büyüklüğü değil.

Dolayısıyla $ \ nabla ^ 2 \ vec {v} = \ {- | \ nabla ^ 2 u |, 0, 0 \} $ önemsiz değil Sabit durumda basınç düşmesi, yatay boru akışı (ya da istediğiniz gibi viskoz kuvvetlere karşı akışı zorlamak için basınç düşmesi gerekliliği olarak adlandırılabilir). Yerçekimi ve zamana göre değişen terimleri iptal edin ve kendiniz görün.