Bir sistemin bir adım fonksiyonuna yanıtı (Heaviside fonksiyonu)

Bir elektrik / termal sistemin adım işlevine verilen yanıtı hesaplamak istiyorum. Genellikle transfer fonksiyonunu "kolayca" hesaplayabilirim : $H$

H (ω) = \frac{V_{o u t} (ω)}{V_{i n} (ω)}

$H(\omega) = \frac{V_{out}(\omega)}{V_{in}(\omega)}$

Heaviside işlevinin Fourier dönüşümü ( ) (WA ile hesaplanır): $\mathcal{F}$

F (θ (t)) = V_{i n} (ω) = \sqrt{\frac{π}{2}} δ (ω) + \frac{i}{\sqrt{2 π} ω}

$\mathcal{F}(\theta(t)) = V_{in}(\omega) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(\omega)+\frac{i}{\sqrt{2\pi}\omega}$

Bu nedenle, Ters Fourier dönüşümüne dikkat edin: $\mathcal{IF}$

V_{o u t} (t) = I F {(\sqrt{\frac{π}{2}} δ (ω) + \frac{i}{\sqrt{2 π} ω}) H (ω)}

$V_{out}(t) = \mathcal{IF} \left\{ \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(\omega)+\frac{i}{\sqrt{2\pi}\omega} \right) H(\omega) \right\}$

Matematikimi kontrol etmek için basit bir RC sisteminin yanıtını hesaplamaya çalıştım:

Kondansatörün iyi bilinen yükünü almalıyım. Transfer fonksiyonu:

H (ω) = \frac{1}{1 + i ω R C}

$H(\omega) = \frac{1}{1+i\omega R C}$

Ters Fourier dönüşümünü ( ) WA ( ) ile : $\mathcal{IF}$ $R=C=1$

Zamanda geriye gidersek bu doğru olur:. Yani soru şu: Neyi yanlış yapıyorum?

Aynı şeyi Laplace Dönüşümlerini kullanarak yaptım ve her şey yolunda gidiyor ... Ama nedenini anlamıyorum.

PS: Başka bir yöntem istemiyorum, sadece yaklaşımımda neyin yanlış olduğunu anlamak istiyorum.

PS, WA kullanmamın nedeni, daha karmaşık sistemim için WA kullanarak Fourier dönüşümlerini hesaplamam gerektiğidir.

— Worldsheep
kaynak

Aradığınız cevap bu değil, ama hemen hemen her transfer fonksiyonu için bir Ayrık Ters Laplace Dönüşümünün nasıl yapılacağı ile ilgili bu makale ilginizi çekebilir.

— user5108_Dan

İlginç bağlantı için teşekkürler! Hala Laplace dönüşümlerinin neden gerekli olduğunu anlamaya çalışıyorum. Ya da daha iyisi, Fourier dönüşümleri neden çalışmıyor ...

— Worldsheep

Laplace Dönüşümlerini biliyor musunuz? Laplace ve Fourier Dönüşümleri oldukça benzer, ama kesin farklılıkları tanımlamak için yeterince iyi bir matematikçi değilim. EE'ler genellikle j alanını s ile değiştirirseniz H (w) denkleminizle aynı olan s alanında (Laplace dönüşümü) çalışır. Ayrıca, bu soruyu dsp.stackexchange.com sitesine gönderirseniz muhtemelen daha iyi bir cevap alırsınız. O adamlar bu tür şeylere uyuyorlar.

— user5108_Dan

Evet, bu durumlarda EE'nin her zaman Laplace ile çalıştığını fark ettim ve bunu denediğimde, iyi çalıştı! Ama sezgisel olarak Fourier kullanırdım. Tavsiyeni takip edeceğim ve diğer siteyi ziyaret edeceğim!

— Worldsheep

Bu sorunun cevabını burada bulabilirsiniz: dsp.stackexchange.com/questions/27896/…

— Worldsheep

Bunun ana nedeni, Wolfram Alpha'nın ters Fourier dönüşümünü ikinci bir Fourier dönüşümü olarak uygulamasıdır. Aslında, bunu yapmak "zamanı çevirir" - matematiksel olarak gösterilebileceği gibi :

Saati ters '' 'flip-time operatörü' '' , $\mathcal{P}$ $\mathcal{P}[f(t)] ↦ f(−t)$

\begin{aligned} F^{0} & = I d, F^{1} = F, \\ F^{2} & = P, F^{4} = I d, \\ F^{3} & = F^{- 1} = P \circ F = F \circ P \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{F}^0 &= \mathrm{Id}, \quad \mathcal{F}^1 = \mathcal{F}, \\ \mathcal{F}^2 &= \mathcal{P}, \quad \mathcal{F}^4 = \mathrm{Id}, \\ \mathcal{F}^3 &= \mathcal{F}^{-1} = \mathcal{P} \circ \mathcal{F} = \mathcal{F} \circ \mathcal{P} \end{align}$

Fourier dönüşümünü sisteme 3 kez uygulamak, normal sürede sürümü alacaktır. Dalgalar zaman tutarlı olduğundan, normalde önemli değildir.

— işaret
kaynak