Mach 0.3 neden sıkıştırılabilir ve sıkıştırılamaz akışı ayıran eşik değerdir?

Mach 0.3'ün havayı sıkıştırılamaz bir sıvı olarak işlemenin üst sınırı olduğunu okudum. Okuduğum kaynaklar bunu kanıt veya gerekçesiz olarak verilen bir şey olarak görüyor.

Bu neden sınır? Bunun için matematiksel bir gerekçe var mı? Ayrıca, bu sınır sadece hava için mi geçerlidir? Değilse, sınır neye bağlıdır?

fluid-mechanics

— Paul
kaynak

Wikipedia, yoğunlukta ~% 5'lik bir değişiklik sağlaması nedeniyle Mach 0.3'ün nedenini verir .

İlişkiyi (analitik olarak!) Açıklayan bir NASA sayfası buldum . Kaynağa atıfta bulunmuştum, ancak bağlantıları değiştiğinde çalışmayı gelecek nesiller için yeniden üreteceğim.

Momentumun korunumu ile başlayın:

(ρ V) d V = - d p

$(\rho V) dV = -dp \\$

$\rho$ $V$ $p$

\frac{d p}{p} = γ \frac{d ρ}{ρ} d p = (\frac{γ p}{ρ}) d ρ

$\frac{dp}{p} = \gamma \frac{d\rho}{\rho} \\ dp = \left( \frac{\gamma p}{\rho} \right) d\rho \\$

$\gamma$

p = ρ R T

$p = \rho R T \\$

$R$ $T$

d p = γ R T d ρ

$dp = \gamma R T d\rho$

Ses hızı şu şekilde hesaplanabilir:

γ R T = a^{2}

$\gamma R T = a^2 \\$

$a$

d p = a^{2} d ρ

$dp = a^2 d\rho \\$

Yukarıdaki ifadenin momentum denkleminin korunmasına değiştirilmesi:

(ρ V) d V = - a^{2} d ρ - (\frac{V^{2}}{a^{2}}) d V / V = d ρ / ρ - M^{2} d V / V = d ρ / ρ

$(\rho V)dV = -a^2 d\rho \\ -\left(\frac{V^2}{a^2}\right)dV/V = d\rho/\rho \\ -M^2 dV/V = d\rho/\rho \\$

$M$

Bir not olarak, bu, gazdaki ses hızına bağlı olan Mach numarasına dayanmaktadır, bu nedenle otomatik olarak gaz başına ayarlanır.

— atmak
kaynak

@ Paul, bu momentumun korunmasından elde edilir. öneri olarak bir "kural" değildir. yoğunlukta (veya diğer miktarlarda)% 10 (veya daha yüksek) değişikliklerle ilgilenmiyorsanız, devam edin ve yüksek Mach sayıları için sıkıştırılamaz ilişkileri kullanın. eğer yapmak yoğunlukta küçük değişikliklerle ilgili bakım, sonra daha düşük Mach sayıları için sıkıştırılabilir ilişkilerini kullanmak

— costrom

Sadece yoğunluk değil. Denklemleri boyutsuzlaştırdığımızda, boyutsuz grupları çıkarırız. Temel kural, boyutsuz bir grup 0.1'den küçükse, ilgili terimleri göz ardı edebileceğimizdir. Mach sayısı söz konusu olduğunda kare şeklinde görünür. Bu yüzden (Mach numarası) ^ 2 <0.1 istiyoruz. Bu yaklaşık 0.3 verir. Bu sadece yoğunluk değildir - temel olarak, daha yüksek hızda değişen her şey, Mach numarası 0,3'e ulaştığında kabaca% 10'dan etkilenecektir.

— Joel

@Joel - Bağlam için OP özellikle sıkıştırılabilirlik hakkında soruyordu, bu yüzden bu cevap sadece yoğunluğu kapsıyor.

— Chuck

Bunun keskin bir bölme çizgisi olmadığını daha açık hale getiririm. Hatalara karşı daha düşük bir toleransınız varsa, sıkıştırılabilir çözümü düşük makine numaralarında kullanmaya başlayın. Çok fazla umursamıyorsanız, daha yüksek makine numaralarında sıkıştırılamaz olduğunu varsaymaya devam edin. % 10, "gerçekte ne kadar önemli" hatanın keyfi bir seçimidir ve 0.3 bundan matematiksel olarak düşer, ancak daha az keyfi değildir.

— ocaklar

@chuck - burada çırpınmak, ancak bir şeyi sıkıştırılamaz bir sıvı olarak işlemek, hız alanının diverjansının 0 olduğunu söyleyebilirim. sıkıştırılamaz bir sıvı olduğunu, genellikle yoğunluk hakkında bir açıklama olmadığını varsayar.

— Joel