Belirli bir jeodezik enlemde dünyanın yarıçapını nasıl hesaplarsınız?

( Wikipedia'da tam olarak sorduğum şeyi yapan bir denklem olduğunu görüyorum ama referans yok. Bu denklemin geçerliliğini doğrulamanın bir yolu yok!)

Geocentric Latitude ile Geodetic Latitude arasındaki farkı zaten anlıyorum.

Bilinen yarı ana ave yarı minör byarıçaplar verildiği varsayılarak . Belirli bir jeodezik enlemdeki yarıçapı nasıl hesaplarsınız?

Bir tür uzman onayına ihtiyacım var (türetme, türetme bağlantısı, uzmandan onay, açıklama vb.).

Bu soru, dünyanın elipsoidal bir modelini varsayar. Referans yüzeyi, bir elipsin küçük ekseni etrafında döndürülmesi ile elde edilir (geleneksel olarak konvansiyonel olarak çizilir). Bu gibi bir elips bir faktör ile yatay olarak uzatılmış olan bir dairedir , bir dikey bir faktör ile , b . Birim çemberin standart parametrelendirmesini kullanarak,

t --> (cos(t), sin(t))

( kosinüs ve sinüsü tanımlar ), bir parametreleştirme elde ederiz

t --> (a cos(t), b sin(t)).

(Bu parametreleştirmenin iki bileşeni, eğrinin etrafındaki bir yolculuğu tanımlar: Kartezyen koordinatlarında "zaman" t'deki konumumuzu belirtirler .)

Jeodezik enlem , f , herhangi bir noktada bu ekvator düzlemine göre yapar "yukarı" açıdır. Ne zaman bir farklıdır , b nin değeri, f farklıdır t (ekvator boyunca hariç kutuplarda).

Bu resimde, mavi eğri böyle bir elipsin bir çeyreğidir (dünyanın eksantrikliğine kıyasla büyük ölçüde abartılmış). Sol alt köşedeki kırmızı nokta merkezidir. Kesik çizgi yarıçapı yüzeydeki bir noktaya gösterir. Orada "yukarı" yönü siyah bir segmentle gösterilir: tanım gereği, o noktadaki elipse diktir. Abartılı eksantriklik nedeniyle, "yukarı" nın yarıçapla paralel olmadığını görmek kolaydır.

Terminolojimizde, t yarıçapın yataya yaptığı açı ile ilgilidir ve f o siyah parçanın yaptığı açıdır. (Not, herhangi bir . Yüzeyi üzerinde bir nokta, bu perspektiften bakıldığında edilebilir Bu, her iki sınırlama olanak sağlıyor t ve f 0 ve 90 derece arasında olduğu, negatif endişesi gerekmez, böylece bunların kosinüs ve Sinüs ve pozitif olacaktır Formüllerde kare kökler.)

İşin püf noktası, t- parametrelemesinden f cinsinden bire dönüştürmektir , çünkü t açısından R yarıçapının hesaplanması kolaydır (Pisagor teoremi yoluyla). Karesi, noktanın bileşenlerinin karelerinin toplamıdır,

R(t)^2 = a^2 cos(t)^2 + b^2 sin(t)^2.

Bu dönüşümü yapmak için f "yukarı" yönünü t parametresiyle ilişkilendirmemiz gerekir . Bu yön, elipsin tanjantına diktir. Tanım olarak, bir eğriye teğet (bir vektör olarak ifade edilir) parametrelemesi farklılaştırılarak elde edilir:

Tangent(t) = d/dt (a cos(t), b sin(t)) = (-a sin(t), b cos(t)).

(Farklılaşma değişim hızını hesaplar. Eğrinin etrafında seyahat ederken konumumuzdaki değişim oranı, elbette, hızımızdır ve bu daima eğriyi gösterir.)

"Normal" vektör olarak adlandırılan dik olanı elde etmek için bunu saat yönünde 90 derece döndürün:

Normal(t) = (b cos(t), a sin(t)).

Bu normal vektörün eğimi, (bir sin (t)) / (b cos (t)) ("koşu üzerinde yükselme") değerine eşittir, o zaman yatay olarak yaptığı açının teğetidir.

tan(f) = (a sin(t)) / (b cos(t)).

eşdeğer,

(b/a) tan(f) = sin(t) / cos(t) = tan(t).

(Öklid geometrisine dair iyi bir fikriniz varsa, bu ilişkiyi doğrudan bir elips tanımından, herhangi bir trig veya hesaptan geçmeden, a ve b'nin sırasıyla yatay ve dikey genişlemelerinin sırasıyla değiştirme etkisine sahip olduğunu fark ederek elde edebilirsiniz. bu faktöre göre tüm eğimler b / a .)

R (t) ^ 2 formülüne tekrar bakın: a ve b'yi biliyoruz - elipsin şeklini ve boyutunu belirlerler - bu yüzden sadece cos (t) ^ 2 ve sin (t) ^ 2 bulmamız gerekir önceki denklemin kolayca yapmamızı sağlayan f açısından :

cos(t)^2 = 1/(1 + tan(t)^2) 
         = 1 / (1 + (b/a)^2 tan(f)^2) 
         = a^2 / (a^2 + b^2 tan(f)^2);
sin(t)^2 = 1 - cos(t)^2 
         = b^2 tan(f)^2 / (a^2 + b^2 tan(f)^2).

(Tan (f) sonsuz olduğunda, direğe geldik, bu durumda sadece f = t'yi ayarlayın .)

İhtiyacımız olan bağlantı bu. Bu değerleri cos (t) ^ 2 ve sin (t) ^ 2 yerine R (t) ^ 2 ifadesine koyun ve almayı basitleştirin

R(f)^2 = ( a^4 cos(f)^2 + b^4 sin(f)^2 ) / ( a^2 cos(f)^2 + b^2 sin(f)^2 ).

Basit bir dönüşüm, bu denklemin Wikipedia'da bulunanla aynı olduğunu gösterir. A ^ 2 b ^ 2 = (ab) ^ 2 ve (a ^ 2) ^ 2 = a ^ 4 olduğundan,

R(f)^2 = ( (a^2 cos(f))^2 + (b^2 sin(f))^2 ) / ( (a cos(f))^2 + (b sin(f))^2 )

Matematik okuryazar olmayan çözümümün 5 dakikalık düşünce ve kodlama ile işe yaradığını bulmak ilginçtir, düzleştirme faktörünün mükemmel bir eliptik modelden ziyade dikkate alınması gerekmez mi?

        double pRad = 6356.7523142;
        double EqRad = 6378.137;                      
        return pRad + (90 - Math.Abs(siteLatitude)) / 90 * (EqRad - pRad); 

En azından ABD Savunma Bakanlığı (DoD) Yüksek Performanslı Bilgi İşlem Modernizasyonu Programı (HPCMP) wiki için Veri Analiz ve Değerlendirme Merkezi'nde (DAAC) bulduğum formül bu . Wikipedia'nın girişinden büyük borç aldıklarını söylüyor . Yine de, bu formülü muhafaza etmeleri bir şey için sayılmalıdır.