CBS'yi grafik tasarım ve kartografiden ayıran şey, niceliksel akıl yürütme ile bilimsel ve mühendislik ilkelerini kullanmasıdır. Bunun gereksiz hesaplamalarda bataklığa düşmeden nasıl çalışabileceğini görelim .
Bazı Gerçekler
CBS'de, uzunluklar, alanlar ve hatta hacimler için iyi bir sezgiye sahip olmak gerçekten yararlıdır. Buna ulaşacağım, ama hemen hemen herkesin bildiği (veya bilmesi gereken) bazı kaba yaklaşımlarla başlayalım :
Dünya yüzeyinin yaklaşık% 70'i okyanustur. Antarktika buz örtüsünü atın ve% 75 veya daha fazlasına sahibiz.
Okyanuslar ve hatta Antarktika buz örtüsü kilometrelerce derinlikte olabilir. Büyüklük tahmini olarak, ortalama okyanus derinliğinin birkaç kilometre olduğunu varsayalım.
Dünyanın yarıçapı yaklaşık 6.000 kilometredir.
Eğer yeraltı suyunun (ve okyanus sedimanlarındaki gözenekli suyun) kabuğa birkaç kilometre nüfuz ettiğini varsayarsak, toplam tahminlerimizi gerçekten değiştirmeyiz: bu, yüzeyin% 75'i yerine% 100 olduğunu varsaymakla eşdeğerdir. ve bu miktarı en fazla 100/75 - 1 =% 33 oranında abartır.
(Bu sayıları arayarak daha kesin hale getirebiliriz, ancak bu cevabın amacı, az miktarda bilginin karşılaştığımız haritaları, görselleştirmeleri ve diğer istatistikleri eleştirel olarak değerlendirmemize nasıl yardımcı olabileceğini göstermektir.)
Bu bilgilerden dünyanın yüzey alanına faydalı bir yaklaşım elde edebiliriz. (Buna daha sonra ihtiyacımız olacak.) Bildiğiniz gibi, CBS'de dünya yüzeyinin birçok farklı modelini kullanıyoruz: bir küre, çeşitli elipsoidler, jeoidler vb. Mevcut amaç için, alanları bulmayı kolaylaştıran bir model benimseyelim. Bir küp öneriyorum(!). Tabii, bu yanlış şekil - ama o zaman bu konuda bir küre. Öyleyse benimle ayı: küpü dünyayla aynı boyutta yaparsak - yani yaklaşık 6000 kilometrelik "yarıçapla" - dünyayı zar zor kuşatan bir kutu oluşturur. Bu nedenle, yüzey alanı dünyanın yüzey alanına yakın, ancak daha büyük olmalıdır. Bu küpün altı yüzünün her biri 2 * 6000 km'lik bir yan karedir. Bu nedenle toplam yüzey alanı 6 * (2 * 6000) ^ 2 = 0.864 * 10 ^ 9 kilometrekareye eşittir. Buna sadece milimetre (10 ^ 9) kilometre kare diyelim. Bunun bir fazla tahmin olduğunu biliyoruz, ama çok büyük bir fazla tahmin değil. (Kolayca bakabileceğiniz gibi, doğru yüzey alanı bu değerin yaklaşık yarısı kadardır.)
(Görüntü 123RF'den alınmıştır .)
Pizza İlkesi
Söz konusu görselleştirmenin yöntemi, hacimleri - toplam su hacmi ve yeryüzü hacmini - Pseudo 3D küreleri ile temsil etmektir. İşte geometrik sezginin gerekli olduğu yer. 3D'deki sezgi kolay olmadığından, birkaç boyutu düşürerek gizlice girelim:
L uzunluğunda bir eğrinin boyutunun iki katına çıktığını varsayalım . Yeni eğri uzunluğunun iki katıdır.
(Neden? Çünkü bir eğrinin uzunluğunu ölçmek için, onu bir çoklu çizgiyle yaklaşıklaştırır ve segmentlerinin uzunluklarını toplarız. Bir parçanın boyutunu iki katına çıkardığınızda, uzunluğunu iki katına çıkarırsınız.)
A alanının 2B bölgesinin büyüklüğünün iki katına çıktığını varsayalım . Yeni bölgenin alanı 2 * 2 = 4 kat daha fazla.
2D bölgesini ölçmek için Çünkü (Neden? Biz küçücük kareler bir kılavuz ile yaklaşır ve onların alanlarını ekleyin. Bölgenin boyutunu iki katına üzerine, her tür kare büyüklüğünde iki katına de. Orijinal bir kare be tarafını Letting ler , alanı s ^ 2 olacaktır. Bu nedenle iki katın karesi alanı (2s) ^ 2 = 2 ^ 2 * s ^ 2 = orijinal alanın dört katıdır.)
Pratik uygulama : Örneğin, 10 inçlik bir pizza restoranda 5 $ 'a mal oluyorsa, 20 inçlik bir pizza, malzemelerin dört katını içerdiğinden, sadece 10 $ yerine 4 * 5 $ = 20 $' a mal olmalıdır. Bu "Pizza Prensibi" dir. (Burada pasta içeren gizli ama kötü bir matematik şakası var.)
Diyelim ki V hacimli bir 3D bölgesinin boyutu iki katına çıkar. Yeni bölge 2 * 2 * 2 = 8 kat hacmine sahiptir.
? (Neden Birimleri küçük küpler dizileri ile yaklaşan ile ölçülür; tarafı bir küp s hacim s ^ 3 sahiptir; (2S) ^ 3 = 8 * s ^ 3 bir hacme sahip bir küp verimleri bir yan katlama .)
Bu argümanlardaki "ikiye katlama" yı herhangi bir miktarda yeniden ölçeklendirme ile yukarı veya aşağı değiştirebiliriz. Sonuç, bir 3D bölgesini x faktörü ile yeniden ölçeklendirmek , bölgenin orijinal şekli ne olursa olsun , eski hacminin x ^ 3 = x * x * x katı olan yeni bir bölge vermesidir . Aşağıda bu ilişkiyi tersine kullanacağız. Özellikle, iki 3B bölgenin birbirinin ölçekli versiyonları olduğunu varsayalım (muhtemelen farklı boyutlarda iki küre veya iki küp veya her neyse). Bunlardan biri birbirinin hacminin y katına sahipse , y = x ^ 3'ü x = y ^ (1/3) ( y'nin küp kökü faktörü) ile ölçeklendirildiği sonucuna varırız.). Örneğin, bir kürenin diğerinin hacminin 1.000 katı varsa, o zaman sadece 10 (= 1000 ^ (1/3)) kat daha büyüktür.
Bir Tampon Formülü
Bir parça daha sezgi yararlı olacaktır. Başlamak için, düzlemdeki (veya bir kürenin yüzeyinde) bir eğriyi düşünün. Uzunluğu L olsun . Biraz kalınlaştırın: yani, r mesafesi kadar tamponlayın . Tampon artık A alanına sahip bir bölgedir . Sunulmuştur r yeterince küçüktür, daha sonra bir çok yakın 2 * r * L olacaktır. (Ki? Bir kez daha, bir çoklu çizgi eğriyi yaklaşmaktadır. Bu tampon dikdörtgenler koleksiyonu, segment başına bir, artı her tepe birkaç bit ve küçük çevrelerin adettir. Zaman rçok küçüktür, sadece dikdörtgen alanlar toplam alana çok katkıda bulunur. Böyle bir dikdörtgenin alanı, uzunluğunun - segmentin orijinal uzunluğunun - genişliğinin iki katı olan 2 * r'dir. Bunların toplanması yaklaşık değer verir.)
Bu şema, kapalı bir çoklu çizginin tamponunun yarısını, dikdörtgenlerden ve daire parçalarından nasıl oluştuğunu gösterir. Daireler bölgeye çok az katkıda bulunur ve dar tamponlar için göz ardı edilebilir.
Uzamsal analog, bir yüzeyi üç boyutta kalınlaştırmaktır. Yüzey alanı A olduğunda ve tampon mesafesi az miktarda r olduğunda , elde edilen hacmin ölçüsü yaklaşık 2 x r * A olur.
Bir çözüm
Son geometrik kavrayıştan, yeryüzündeki su hacminin yaklaşık olarak dünya yüzey alanının ortalama su derinliğinin katlarına eşit olduğu sonucuna vardık. (Okyanuslar, dünya yüzeyinin ince bir "tamponunu" oluşturur.) Daha önce tahmin edilen 2 kilometrelik bir derinlik tahmini ile elde edilen milyar kilometrekare değerinin çarpımı iki milyar kübik kilometre verir. ( Daha doğru hesaplamalar değeri 1,4 milyar kübik kilometreye yaklaştırdı - ama yine de fazla tahmin ettiğimizi düşündük.)
Dünyanın küp modeline dönersek şunu soruyoruz: hangi büyüklükte küpün hacmi iki milyar km ^ 3 olurdu? Pizza İlkesini (tersine) uygulayarak, bir milyarın bin küp olduğu gerçeğinden, hemen bu küpün iki kübik kilometre içeren bir küpün 1.000 kat daha büyük olacağını görüyoruz. Geçici olarak iki faktörü göz ardı ederek, bir km ^ 3 küpün bir boyutta tam olarak bir kilometre olması gerektiği hemen . Bu nedenle, iki milyar km ^ 3 küpün bir tarafında 1.000 km'den biraz daha büyük, 1200 ila 1300 km civarında bir yerde olması gerekir.
(Tahminlerimizde ve tahminlerimizde büyük bir hata yapmış olsak bile, bu cevap çok fazla değişmeyecekti. Örneğin, gerçek su miktarı sadece yarım milyar km ^ 3 - tahminimizin sadece dörtte biri - ortaya çıkan küpün tarafı 800 km olacaktır.
Dünyanın küp modelimizde, çevreleyen küpün bir tarafta on iki bin km olduğunu hatırlayarak ve Pizza İlkesinin gerçek şekle (küp veya küre veya aradaki herhangi bir şeyden bağımsız olarak çalıştığını hatırlamak, uzunluk ve hacimlerin tahmini oranları hala geçerlidir) , şu sonuca varıyoruz:
Yeryüzünün suyu, dünyanın kendisinin yaklaşık onda biri büyüklüğünde bir top haline getirilebilir.
Sorudaki görüntüye bir bakış, işaretin tam üzerinde olduğunu gösterir. Ve bu sonuca, Pizza Prensibi'nden daha fazla geometri ve yaşadığımız dünya hakkında temel gerçeklere uygulanan basit bir tampon formülü bilerek ulaştık.
