Bir Eşitlikli Projeksiyon için örnek bir Tissot elips?

Tissot göstergeleri yoluyla bir eşitlikli izdüşümün bozulmasını hesaplamaya çalışıyorum. Bu yazıdaki talimatları takip etmeyi denedim (diğer şeylerin yanı sıra) ama bir amatör olarak anlayışımın ötesinde.

Yani, birinin örnek bir dikdörtgen / enlem / boylam için (hangisi en sevdiğiniz ve eşit olmayan bir projeksiyonda çarpıtılmış) tek bir Tissot elipsini hesaplayacak kadar nazik olup olmadığını merak ediyorum. Değişkenlerin ne olduğunu ve nereden geldiklerini tam olarak anlamıyorum, dolayısıyla denklemleri çalışırken görmek çok faydalı olacaktır.

Bu denklemleri anlamaya çalışıyorum, böylece onları kodladığım bir eşleme programına bağlayabilirim. Ben genel bir sürü soru sordu bu konuya , ama spesifik bir örnek bana gerisini anlamaya yardımcı olacağını düşünüyorum.

Her zaman olduğu gibi çok teşekkürler.

NCashew

Kayıt için, Rişlenmiş bir örnekle Tissot gösterge (ve ilgili) hesaplamalarının eksiksiz ve yorumlanmış bir uygulaması . Denklemlerin kaynağı John Snyder'ın Harita Projeksiyonları - Bir Çalışma Kılavuzu.

tissot <- function(lambda, phi, prj=function(z) z+0, asDegrees=TRUE, A = 6378137, f.inv=298.257223563, ...) {
  #
  # Compute properties of scale distortion and Tissot's indicatrix at location `x` = c(`lambda`, `phi`)
  # using `prj` as the projection.  `A` is the ellipsoidal semi-major axis (in meters) and `f.inv` is
  # the inverse flattening.  The projection must return a vector (x, y) when given a vector (lambda, phi).
  # (Not vectorized.)  Optional arguments `...` are passed to `prj`.
  #
  # Source: Snyder pp 20-26 (WGS 84 defaults for the ellipsoidal parameters).
  # All input and output angles are in degrees.
  #
  to.degrees <- function(x) x * 180 / pi
  to.radians <- function(x) x * pi / 180
  clamp <- function(x) min(max(x, -1), 1)                             # Avoids invalid args to asin
  norm <- function(x) sqrt(sum(x*x))
  #
  # Precomputation.
  #
  if (f.inv==0) {                                                     # Use f.inv==0 to indicate a sphere
    e2 <- 0 
  } else {
    e2 <- (2 - 1/f.inv) / f.inv                                       # Squared eccentricity
  }
  if (asDegrees) phi.r <- to.radians(phi) else phi.r <- phi
  cos.phi <- cos(phi.r)                                               # Convenience term
  e2.sinphi <- 1 - e2 * sin(phi.r)^2                                  # Convenience term
  e2.sinphi2 <- sqrt(e2.sinphi)                                       # Convenience term
  if (asDegrees) units <- 180 / pi else units <- 1                    # Angle measurement units per radian
  #
  # Lengths (the metric).
  #
  radius.meridian <- A * (1 - e2) / e2.sinphi2^3                      # (4-18)
  length.meridian <- radius.meridian                                  # (4-19)
  radius.normal <- A / e2.sinphi2                                     # (4-20)
  length.normal <- radius.normal * cos.phi                            # (4-21)
  #
  # The projection and its first derivatives, normalized to unit lengths.
  #
  x <- c(lambda, phi)
  d <- numericDeriv(quote(prj(x, ...)), theta="x")
  z <- d[1:2]                                                         # Projected coordinates
  names(z) <- c("x", "y")
  g <- attr(d, "gradient")                                            # First derivative (matrix)
  g <- g %*% diag(units / c(length.normal, length.meridian))          # Unit derivatives
  dimnames(g) <- list(c("x", "y"), c("lambda", "phi"))
  g.det <- det(g)                                                     # Equivalent to (4-15)
  #
  # Computation.
  #
  h <- norm(g[, "phi"])                                               # (4-27)
  k <- norm(g[, "lambda"])                                            # (4-28)
  a.p <- sqrt(max(0, h^2 + k^2 + 2 * g.det))                          # (4-12) (intermediate)
  b.p <- sqrt(max(0, h^2 + k^2 - 2 * g.det))                          # (4-13) (intermediate)
  a <- (a.p + b.p)/2                                                  # (4-12a)
  b <- (a.p - b.p)/2                                                  # (4-13a)
  omega <- 2 * asin(clamp(b.p / a.p))                                 # (4-1a)
  theta.p <- asin(clamp(g.det / (h * k)))                             # (4-14)
  conv <- (atan2(g["y", "phi"], g["x","phi"]) + pi / 2) %% (2 * pi) - pi # Middle of p. 21
  #
  # The indicatrix itself.
  # `svd` essentially redoes the preceding computation of `h`, `k`, and `theta.p`.
  #
  m <- svd(g)
  axes <- zapsmall(diag(m$d) %*% apply(m$v, 1, function(x) x / norm(x)))
  dimnames(axes) <- list(c("major", "minor"), NULL)

  return(list(location=c(lambda, phi), projected=z, 
           meridian_radius=radius.meridian, meridian_length=length.meridian,
           normal_radius=radius.normal, normal_length=length.normal,
           scale.meridian=h, scale.parallel=k, scale.area=g.det, max.scale=a, min.scale=b, 
           to.degrees(zapsmall(c(angle_deformation=omega, convergence=conv, intersection_angle=theta.p))),
           axes=axes, derivatives=g))
}
indicatrix <- function(x, scale=1, ...) {
  # Reprocesses the output of `tissot` into convenient geometrical data.
  o <- x$projected
  base <- ellipse(o, matrix(c(1,0,0,1), 2), scale=scale, ...)             # A reference circle
  outline <- ellipse(o, x$axes, scale=scale, ...)
  axis.major <- rbind(o + scale * x$axes[1, ], o - scale * x$axes[1, ])
  axis.minor <- rbind(o + scale * x$axes[2, ], o - scale * x$axes[2, ])
  d.lambda <- rbind(o + scale * x$derivatives[, "lambda"], o - scale * x$derivatives[, "lambda"])
  d.phi <- rbind(o + scale * x$derivatives[, "phi"], o - scale * x$derivatives[, "phi"])
  return(list(center=x$projected, base=base, outline=outline, 
              axis.major=axis.major, axis.minor=axis.minor,
              d.lambda=d.lambda, d.phi=d.phi))
}
ellipse <- function(center, axes, scale=1, n=36, from=0, to=2*pi) {
  # Vector representation of an ellipse at `center` with axes in the *rows* of `axes`.
  # Returns an `n` by 2 array of points, one per row.
  theta <- seq(from=from, to=to, length.out=n)
  t((scale * t(axes))  %*% rbind(cos(theta), sin(theta)) + center)
}
#
# Example: analyzing a GDAL reprojection.
#
library(rgdal)

prj <- function(z, proj.in, proj.out) {
  z.pt <- SpatialPoints(coords=matrix(z, ncol=2), proj4string=proj.in)
  w.pt <- spTransform(z.pt, CRS=proj.out)
  return(w.pt@coords[1, ])
}
r <- tissot(130, 54, prj,                # Longitude, latitude, and reprojection function
       proj.in=CRS("+init=epsg:4267"),   # NAD 27
       proj.out=CRS("+init=esri:54030")) # World Robinson projection

i <- indicatrix(r, scale=10^4, n=71)
plot(i$outline, type="n", asp=1, xlab="Easting", ylab="Northing")
polygon(i$base, col=rgb(0, 0, 0, .025), border="Gray")
lines(i$d.lambda, lwd=2, col="Gray", lty=2)
lines(i$d.phi, lwd=2, col=rgb(.25, .7, .25), lty=2)
lines(i$axis.major, lwd=2, col=rgb(.25, .25, .7))
lines(i$axis.minor, lwd=2, col=rgb(.7, .25, .25))
lines(i$outline, asp=1, lwd=2)