Ortalama eğim doğal bir miktara benziyor, ancak oldukça garip bir şey. Örneğin, düz yatay bir ovanın ortalama eğimi sıfırdır, ancak bu ovanın bir DEM'ine küçük bir rastgele, sıfır-ortalama gürültü eklediğinizde, ortalama eğim yalnızca yükselebilir. Diğer garip davranışlar DEM ben var çözünürlük, ortalama eğimin bağımlılığı olan burada belgelenen ve DEM nasıl oluşturulduğuna onun bağımlılığı. Örneğin, kontur haritalarından oluşturulan bazı DEM'ler aslında kontur çizgilerinin yattığı küçük ani sıçramalarla - biraz da teraslıdır - ancak aksi takdirde yüzeyin bir bütün olarak doğru temsilidir. Ortalamalama sürecinde çok fazla veya çok az ağırlık verilirse, bu ani sıçramalar ortalama eğimi değiştirebilir.
Yetiştirme ağırlık aslında, bir harmonik ortalama (ve diğer araçlar) diferansiyel olarak yamaçları ağırlıklandırma edilir çünkü alakalıdır. Bunu anlamak için, sadece iki pozitif sayının x ve y'nin harmonik ortalamasını düşünün . Tanım olarak,
Harmonic mean(x,y) = 1 / ((1/x + 1/y)/2) = x (y/(x+y)) + y (x/(x+y)) = a x + b y
burada ağırlıklar a = y / (x + y) ve b = x / (x + y) 'dir. (Bunlar "ağırlıklar" olarak adlandırılmayı hak eder, çünkü bunlar pozitiftir ve birliğin toplamıdır. Aritmetik ortalama için ağırlıklar a = 1/2 ve b = 1 / 2'dir). Açıkçası, x'e bağlı ağırlık , y / (x + y) 'ye eşittir, x , y'ye kıyasla küçük olduğunda büyüktür . Böylece harmonik, daha küçük değerlerin aşırı ağırlığı anlamına gelir .
Soruyu genişletmek yardımcı olabilir. Harmonik ortalama, gerçek bir p değeri ile parametreleştirilmiş bir ortalamalar ailesinden biridir . Harmonik ortalama ortalamasının alınmasıyla elde edilir gibi reciprocals arasında x ve y (ortalama devrik alma ve daha sonra), genel olarak, bir PTH güçlerini ortalama olabilir x ve y (ve sonra sonucun 1 / p-inci güç almak ). P = 1 ve p = -1 vakaları sırasıyla aritmetik ve harmonik ortalamalardır. (Biz bir ortalama tanımlayabilir p de sınırlar alarak = 0 ve böylece bu ailenin bir üyesi olarak geometrik ortalama elde edin.) Olarak p1'den düştüğünde, daha küçük değerler daha ağırdır; ve p , 1'den arttıkça, daha büyük değerler giderek daha ağırdır. Ortalamanın ancak p arttıkça artabileceği ve p azaldıkça azalması gerektiği sonucuna varılır. (Bu, üç çizginin de düz veya soldan sağa doğru arttığı aşağıdaki ikinci şekilde görülmektedir.)
Konuyla ilgili pratik bir bakış açısıyla, bunun yerine çeşitli yamaçların davranışlarını inceleyebilir ve bu bilgiyi analitik araç kutumuza ekleyebiliriz: yamaçların daha küçük yamaçlara daha fazla verilecek şekilde bir ilişkiye girmesini beklediğimizde bir etkisi biz ortalama seçebilir p az 1'den; tersine, en büyük eğimleri vurgulamak için p'yi 1'in üzerine çıkarabiliriz . Bu amaçla, bir noktanın yakınında çeşitli drenaj profilleri formlarını ele alalım.
Neler olabileceğini göstermek için, niteliksel olarak farklı üç yerel araziyi düşündüm : biri tüm eğimlerin eşit olduğu yerdir (bu iyi bir referans oluşturur); diğeri ise yerel olarak bir kasenin dibinde olduğumuz yer: çevremizdeki eğimler sıfır, ancak daha sonra kademeli olarak artar ve sonunda jantın etrafında keyfi olarak büyür. Bu durumun tersi, yakındaki yamaçların ılımlı olduğu ancak daha sonra bizden uzaklaştığı yerlerde meydana gelir. Bu gerçekçi olarak geniş bir yelpazedeki davranışları kapsamaktadır.
İşte bu üç tür drenaj formunun sözde 3D grafikleri:
Burada p'nin bir fonksiyonu olarak her birinin ortalama eğimini - aynı renk kodlamasıyla - hesapladım, p'nin -1 (harmonik ortalama) ile 2 arasında değişmesine izin verdim .
Elbette mavi çizgi yataydır: p değeri ne olursa olsun , sabit bir eğimin ortalaması bu sabitten başka bir şey olamaz (referans için 1 olarak ayarlanmıştır). Kırmızı çanağın uzak kenarındaki yüksek eğimler p değiştikçe ortalama eğimleri güçlü bir şekilde etkiler : p bir kez aştıklarında ne kadar büyük olduklarına dikkat edin. Üçüncü (altın-yeşil) yüzeydeki yatay jant harmonik ortalamaya neden olur (p = - 1) sıfır olmak.
Üç eğrinin göreli konumlarının p = 0'da (geometrik ortalama) değişmesi dikkat çekicidir: 0'dan büyük p için , kırmızı kase maviden daha büyük ortalama eğimlere sahipken, negatif p için kırmızı kase daha küçük ortalamaya sahiptir. mavi daha eğimli. Böylece, p seçiminiz ortalama eğimlerin göreli sıralamasını bile değiştirebilir .
Harmonik ortalamanın (p = -1) sarı-yeşil şekil üzerindeki derin etkisi bize duraklama vermelidir: drenajda yeterince küçük eğimler olduğunda , harmonik ortalama o kadar küçük olabileceğini gösterir. diğer tüm eğimler.
Keşifsel bir veri analizi ruhu ile , p'yi değiştirmek - belki de aşırı ağırlıkları önlemek için 0'dan 1'den biraz daha büyük olmasına izin vermeyi - ve hangi değerin ortalama eğim ile sizin değişkeniniz arasında en iyi ilişkiyi yarattığını düşünebilirsiniz. modelleme (kanal başlatma eşikleri gibi). "En iyi" genellikle bir regresyon modelinde "en doğrusal" veya "sabit [homoscedastik] artıklar oluşturma" anlamında anlaşılır.