Dışbükey çokgen içinde maksimum alan dikdörtgen nasıl bulunur?

Bu yazıda bir dışbükey çokgen içinde maksimum alan-dikdörtgenin nasıl bulunacağına dair algoritmalar / fikirler arıyoruz .

Aşağıdaki şekilde, sayılar takılı dikdörtgenlerin alanlarıdır. Gösterildiği gibi, istenen bir dikdörtgen her boyutta değişebilir ve herhangi bir açıda olabilir.

Düzenle:

Burada sorduğumuz şekilde bahsedilen problemle nasıl başa çıkılacağı konusunda net bir fikrimiz yok. Bununla birlikte, maksimum alan-dikdörtgenin çokgenin bir kenarına hizalanmış (elbette aynı uzunluktaki kenar değil) bir kenarı olanlardan biri olabileceğini tahmin ediyoruz .

Bazı notlar yorum yapmak için çok büyük (ancak bu bariz bir algoritma önermiyor olsa da):

Delme çizgisi (EDİTT) : Maksimum alan dikdörtgenin en az iki köşesi, çokgenin sınırında (yani bir kenar boyunca veya bir tepe noktasında) bulunmalıdır. Ve eğer maksimum alan dikdörtgeni bir kare değilse, poligonun sınırında en az üç köşe olmalıdır.

Bunu dört adımda kendime kanıtladım:

Not # 1 : Maksimum alan dikdörtgenin en az bir tepe noktası daima çokgenin sınırında olacaktır. Bu oldukça açık, ancak bir kanıt böyle devam edebilir (çelişkiyle): Poligonun sınırında tepe noktası olmayan bir "maksimum" dikdörtgene sahip olduğunuzu varsayalım. Bu, her köşesinde en az küçük bir oda olacağı anlamına gelir. Böylece dikdörtgeni biraz genişleterek, maksimumluğuyla çelişebiliyordunuz.

Not # 2 : Maksimum alan dikdörtgenin en az iki köşesi daima çokgen sınırında yer alır. Bir kanıt bu şekilde olabilir (yine çelişkiyle): Sınırda yalnızca bir tepe noktası olan bir "maksimum" dikdörtgene sahip olduğunuzu varsayalım (Not # 1 ile garanti edilir). Bu köşeye bitişik olmayan iki kenarı dikkate alın. Bitiş noktaları sınırda olmadığından, her birinde küçük bir yer var. Bu yüzden, bu kenarlardan herhangi biri biraz "ekstrüde edilebilir", çokgen alanını genişletir ve maksimumluğuyla çelişir.

Not # 3 : Çokgen sınırında kalan maksimum alan dikdörtgeninin çapraz olarak iki karşıt köşesi vardır. (Not 2'den en az iki tane olduğunu biliyoruz, ancak birbirlerinin karşısında olmaları şart değil.) Ama yine de çelişkiyle, eğer sadece iki sınır köşesi bitişikse, o zaman zıt kenardan (her ikisi de köşeleri değil) sınırda) biraz ekstrüzyona tabi tutulabilir, dikdörtgenin alanını artırabilir ve maksimumluğuyla çelişebilir.

Not # 4 : (EDİTDİR) Eğer maksimum alan dikdörtgeni bir kare değilse, köşelerinin üçü çokgenin sınırında kalır.

Kanıtlamak için, durumun bu olmadığını, yani maksimum alan dikdörtgeninin bir kare olmadığını, ancak köşelerinin sadece ikisinin çokgenin sınırında olduğunu ispatlamak için. Maksimumliği çelişen, daha büyük bir dikdörtgenin nasıl oluşturulacağını göstereceğim.

Dikdörtgenin köşelerini Çağrı A, B, C, ve D. Genellik kaybı olmadan , poligon sınırında olanın Bve Dbunların olduğunu kabul edin . Yana Ave Cpoligonun iç kısmında bulunan, (etrafında çevrelerle temsil çevrelerindeki bazı kıpırdatmak oda var Ave Caşağıda resim olarak). Şimdi dikdörtgenin etrafına bir daire çizin, ve yeni bir dikdörtgen oluşturacak şekilde, noktaları Ave Cdairenin çevresini aynı miktarda ( aşağıda yapmak A've C'resimde gösterildiği gibi) kaydırınA'BC'Dorijinal dikdörtgenden daha karedir. Bu işlem aynı zamanda orijinal poligon içinde bulunan ve daha geniş bir alana sahip yeni bir dikdörtgen oluşturur. Bu bir çelişkidir, bu yüzden kanıt yapılır.

Bu kanıta inanmak için, kendinizi bir daireye yerleştirilmiş bir dikdörtgenin alanının "daha kare" olduğunda artacağı konusunda ikna etmeniz gerekir (yani, kenar uzunlukları arasındaki fark küçülür). Ayrıca poligonun dışbükey olması gerekir, böylece yeni çizgilerin hepsi de içinde olur. Ve halının altına süpürülen başka küçük detaylar da var, ama hepsinin işe yaradığından eminim.

Söz konusu yeşil notunuzla ilgili çok hızlı ve çirkin bir çizim yaptım. Yorum olarak gönderemedim, bu yüzden cevap olmasa da cevap yazmam gerekiyordu.
Aşağıdaki resimde maksimum bir alan dikdörtgenine sahip olduğumuza inanıyorum (mükemmel değil, sadece bir fikir vermek için Boya üzerine yapılmış bir eskizdir), siyah plygonun sınırları ...
Ancak yanılıyor olabilirim, bu durumda tüm özrümü aldınız .

Diğer algoritmaların çoğu, dışbükey bir çokgenin içine yazılan ve düzlemsel bir karmaşıklığa sahip olan maksimum alanlı doğrusal dikdörtgeni bulur O(log n). Maksimum alan çokgeninin kenarlardan biriyle hizalandığını tahmin etmiyorsunuz, çünkü yapmanız gereken tek şey poligon nzamanlarını döndürmek , bunun karmaşıklığına neden O(n log n)olmak ve kısa araştırmamda yapamam. Bunun kolay olduğunu söyleyen bir şey bul.

Bununla birlikte, Knauer vd tarafından Dışbükey Çokgenlerde En Büyük Yazılı Dikdörtgenler kağıdı . al., sizi doğru cevaba yaklaştıracak bir yaklaşım algoritmasını açıklar.

Algoritmayı anladığım kadarıyla, bilinen eksen hizalanmış maksimum alan çokgenlerinden birinin üstüne inşa eder ve daha sonra rastgele polyon boşluğu içindeki noktaları örnekler, bu rastgele örneklerden çoklu eksen oluşturur, bu eksen üzerinde yinelenir ve ekseni uygular Her birine bir algoritma atanmış algoritma ve ardından bu kümedeki en büyük dikdörtgeni döndürür.