Bu doğru bir cevap değildir, fakat @ whuber'in cevabından kırınım desenlerini hesaplamada bir genişlemedir .
İlk olarak, kırınım integraline sahibiz. Fonksiyon U p bir mesafede (gözlem düzleminde karmaşık genlik tarif x p , y s optik eksenden) ve bir mesafe L z kaynağı (difraktif nesnenin bir tür, örneğin iğne deliği kameranın açıklık, vb ) u s kaynak düzleminde karmaşık genlik tanımlayan bir fonksiyonudur; Çok küçük bir iğne deliği için dirac delta işlevini kullanabilirsiniz . Üçüncü değişken U s kolaylık olması için, difraktif bir amacı koordinat sisteminin orijini olduğunu söylemek için 0'dır. X s değişkenlerive Y ler bağımsız değişkenleri nesne bazı boyutuna sahip olabilir aslında bookkeep x-y düzleminde.
Bu çok korkunç bir integral gibi görünmeyebilir, ancak k ve r sp hem daha büyük bir şey için gösterişlidir:
Hem e'nin paydasında hem de paydadaki bir terimi bir radikal ile kare terimlerle bütünleştirmek gerçekten de çok kötü bir integraldir.
Bunlardan biri binom seri gösterimini kullanarak ve daha yüksek dereceli terimleri keserek karekökleri kaldırarak integrali basitleştirir. Fraunhofer yekpare bir 2 terimleri ihtiyacı olduğunda geçerlidir; Fresnel integrali biri 3 terimleri gerektiğinde içindir. Bunun ispatı için bir nüans var, ancak bunun kapsamı dışında.
Fresnel ve Fraunhofer kırınım integrallerini almak için bu şeyleri değiştirmeye başladığımızda, üç büyüklük elde ediyoruz.
Eğer Nfd * ( θ d ) 2 << 1 ise, Fresnel integrali geçerlidir. Bu doğruysa ve Nfs << 1 ise, Fraunhofer integrali tutar.
İki integral:
Fresnel:
Fraunhofer:
nerede
,
ve ν x ve ν y , kaynağın mesafesinin ışığın dalga boyuna bölünmesiyle belirli bir boyuttaki kaynağın büyüklüğüdür. Normalde ν s = d / ( λx s ) yazılır .
@ Whuber'in neden Vikipedi'nin ifade etmesine rağmen biraz düşünmeyi gerektirdiğine rağmen neden birine veya diğerine ihtiyaç duyabileceğiniz sorusunu yanıtlamak.
"Bir görüntüleme merceğinin odak düzleminde ..." yorumu muhtemelen bir ders kitabından kaldırılmıştır ve bunun anlamı, kırınım kaynağının (yani iğne deliği, yarık, her neyse - bu denklemlerin geometrisine göre agnostik olmasıdır) kaynak) çok uzak. Ne yazık ki, lens sadece Fraunhofer integralinin izin verdiğinden daha uzak ve yakın olamaz, ancak kırınım aynı zamanda bir kamera için lens sisteminin içinden de kaynaklanır.
Bir kameranın açıklığından sapma için doğru model , yıldız patlaması paterni üreten görüntüdeki şeyin konumunda bir nokta kaynağı ile aydınlatılan n- taraflı bir açıklıktır ( n , mercekteki açıklık bıçaklarının sayısıdır).
Nesneler gerçekten çok uzaktaysa (birkaç metre iyi olur), nokta kaynakları sanki düzlemsel dalgalarmış gibi davranır ve Wikipedia'da yapılan türevler iyi.
Örneğin, çift gauss 50 mm lens için açıklık, görüntü düzleminden 40 ~ 60 mm mertebesindedir. O (bu çıkış deliğinin konumudur) daha büyük bir mesafede fiziksel durağı arkasında lens bir çift tarafından görüntülenen, ancak burada çıkış pupili değildir U s ( x s , y s , 0) fonksiyonudur merkezli!
500 nm ve 1 mm yarıçaplı bir açıklık ışığı için Fraunhofer integralinin geçerli olup olmadığını kontrol edebiliriz. (0.001) 2 / (500 * 10 -9 * 50 * 10 -3 ) veya 40'a eşittir, ki bu >> 1'dir ve Fraunhofer integrali geçersizdir. Görülebilir ışık için, diyafram açıklığı dedektörden milimetre sırasına geldiği sürece, Nfs asla daha küçük olmasına rağmen asla 1'in yakınında olmayacaktır.
Bu denklemler Wikipedia'dakilerden biraz farklı olabilir; Profesör Vamivakas tarafından verilen Rochester Üniversitesi Optik Enstitüsü'ndeki OPT 261, Parazit ve Kırınıma atıfta bulunacağım. Hecht'in Optik'teki denklemler oldukça benzer olmalıdır. Denklemler karmaşık genlik içindir , Işınımlığı (yani yoğunluk veya parlaklık) elde etmek için sonucun büyüklüğünü karelersiniz.
