Pi hesaplamamın doğru olup olmadığını nasıl belirlerim?

Pi rakamlarını sırayla veren bir programı uygulamak için çeşitli yöntemler deniyordum. Taylor serisi yöntemini denedim , ancak son derece yavaş bir şekilde birleştiğini kanıtladım (bir süre sonra sonucumu çevrimiçi değerlerle karşılaştırdığımda). Her neyse, daha iyi algoritmalar deniyorum.

Yani, programı yazarken tüm algoritmalarda olduğu gibi bir probleme takıldım: Hesapladığım nrakamların doğru olduğunu nasıl bilebilirim ?

Pi'nin en çok rakamı için dünya rekoru sahibi olduğum için, iki sentimi ekleyeceğim :

Aslında yeni bir dünya rekoru ayarlamadığınız sürece, yaygın uygulama sadece hesaplanan rakamları bilinen değerlere göre doğrulamaktır. Yani bu yeterince basit.

Aslında, onlara karşı hesaplamaları doğrulamak için basamak parçacıklarını listeleyen bir web sayfam var: http://www.numberworld.org/digits/Pi/

Ancak dünya rekoru kıran bölgeye girdiğinizde, karşılaştırılacak bir şey yok.

Tarihsel olarak, hesaplanan basamakların doğru olduğunu doğrulamak için standart yaklaşım, basamakları ikinci bir algoritma kullanarak yeniden hesaplamaktır. Dolayısıyla, hesaplamalardan biri kötüye giderse, sondaki rakamlar eşleşmez.

Bu genellikle gereken sürenin iki katından fazlasını yapar (çünkü ikinci algoritma genellikle daha yavaştır). Ancak, daha önce hiç hesaplanmayan rakamlar ve yeni bir dünya rekorunun keşfedilmemiş topraklarına girdikten sonra hesaplanan rakamları doğrulamanın tek yolu budur.

Süper bilgisayarların rekoru kırdığı günlerde, iki farklı AGM algoritması yaygın olarak kullanıldı:

• Gauss – Legendre algoritması
• Borwein algoritması

Her ikisi de O(N log(N)^2)uygulanması oldukça kolay olan algoritmalardır.

Ancak, günümüzde işler biraz farklı. Son üç dünya rekorunda , iki hesaplama yapmak yerine, bilinen en hızlı formülü ( Chudnovsky Formula ) kullanarak sadece bir hesaplama gerçekleştirdik :

Bu algoritmanın uygulanması çok daha zordur, ancak AGM algoritmalarından çok daha hızlıdır.

Ardından , basamak çıkarma için BBP formüllerini kullanarak ikili basamakları doğrularız .

Bu formül Eğer keyfi ikili basamak hesaplamak olanak vermeden bundan önceki bütün rakamları hesaplama. Bu nedenle, hesaplanan son birkaç ikili rakamı doğrulamak için kullanılır. Bu nedenle tam bir hesaplamadan çok daha hızlıdır.

Bunun avantajı:

1. Sadece bir pahalı hesaplamaya ihtiyaç vardır.

Dezavantajı:

1. Bir uygulaması Bailey-Borwein-Plouffe (BBP) formül gereklidir.
2. İkili sayıdan ondalığa sayı tabanı dönüşümünü doğrulamak için ek bir adım gereklidir.

_{Son birkaç basamağı doğrulamanın neden tüm basamakların doğru olduğunu ima ettiğinin bazı ayrıntılarını açıkladım. Ancak bunu görmek kolaydır, çünkü herhangi bir hesaplama hatası son rakamlara yayılır.}

Şimdi bu son adım (dönüşümü doğrulama) aslında oldukça önemlidir. Önceki dünya rekortmenlerinden biri aslında bizi bu konuda çağırdı , çünkü başlangıçta, nasıl çalıştığına dair yeterli bir açıklama vermedim.

Bu pasajı blogumdan aldım:

N = # of decimal digits desired
p = 64-bit prime number

Temel 10 aritmetik kullanarak A ve ikili aritmetik kullanarak B hesaplayın.

Eğer A = B"son derece yüksek olasılık" ile dönüşüm doğruysa.

Daha fazla bilgi için, blog yazım Pi - 5 Trilyon Basamak bölümüne bakınız .

Şüphesiz, amaçlarınız için (ki bu sadece bir programlama alıştırmasıdır), en iyi şey, sonuçlarınızı web üzerindeki pi rakamlarının herhangi bir listesiyle karşılaştırmaktır.

Ve bu değerlerin doğru olduğunu nasıl bilebiliriz? Bir algoritmanın uygulanmasının doğru olduğunu kanıtlamanın bilgisayar-bilim-y yolları olduğunu söyleyebilirim.

Daha pragmatik olarak, eğer farklı insanlar farklı algoritmalar kullanıyorlarsa ve hepsi binleri (milyon, her ne olursa olsun) bin ondalık basamak kabul etmeyi kabul ederse, bu size doğru bulduklarına dair sıcak bir bulanıklık hissi vermelidir.

Tarihsel olarak, William Shanks 1873'te pi'yi 707 ondalık basamağa yayınladı. Zavallı adam, 528 ondalık basamağından başlayarak bir hata yaptı.

Çok ilginç bir şekilde, 1995 yılında , önceki tüm basamakları hesaplamak zorunda kalmadan pi'nin n. Basamağını (taban 16) doğrudan hesaplayacak özelliğe sahip bir algoritma yayınlandı !

Son olarak, umarım ilk algoritmanız bu değildi pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...Programlamak için en basit olabilir, ama aynı zamanda bunu yapmanın en yavaş yollarından biri. Daha hızlı yaklaşımlar için Wikipedia hakkındaki pi makalesine göz atın .

Birden fazla yaklaşım kullanabilir ve aynı cevaba yaklaşıp yaklaşmadıklarını görebilirsiniz. Ya da 'net'ten biraz al. Chudnovsky algoritması genellikle pi hesaplamak için çok hızlı bir yöntem olarak kullanılır. http://www.craig-wood.com/nick/articles/pi-chudnovsky/

Taylor serisi pi'ye yaklaşmanın bir yoludur. Belirtildiği gibi yavaşça yakınsar.

Taylor serisinin kısmi toplamlarının, pi'nin gerçek değerinden uzak bir sonraki terimin bir çarpanı içinde olduğu gösterilebilir.

Pi'ye yaklaştırmanın diğer yolları, maksimum hatayı hesaplamak için benzer yollara sahiptir.

Bunu biliyoruz çünkü matematiksel olarak ispatlayabiliriz.

Günah ve cos için (oldukça) hızlı bir şekilde birbirine geçen güç serilerini kullanarak hesaplamayı sin(pi/2)(veya cos(pi/2)bu konuda) deneyebilirsiniz . (Daha da iyisi: daha x=0hızlı yakınsama için daha yakın hesaplamak için çeşitli iki katlama formülleri kullanın .)

BTW, serisi kullanmaktan daha iyidir tan(x), bilgisayarla cos(x)kara kutu olarak (örneğin yukarıdaki gibi taylor serisini kullanabilirsiniz) Newton ile kök bulma yapmaktır. Kesinlikle daha iyi algoritmalar var, ancak tonlarca rakamı doğrulamak istemiyorsanız, bu yeterli olmalıdır (ve uygulanması zor değildir ve neden işe yaradığını anlamak için sadece biraz hesaplamaya ihtiyacınız vardır.)