çift ​​olarak saklanabilecek en büyük tam sayı

Hassasiyeti kaybetmeden bir IEEE 754 çift tipinde depolanabilen en büyük "kayan" tam sayı nedir?

Hassasiyeti kaybetmeden bir çiftte saklanabilecek en büyük / en büyük tamsayı, bir çiftin mümkün olan en büyük değeri ile aynıdır. Yani DBL_MAXveya yaklaşık 1.8 × 10 ³⁰⁸ (eğer çiftliğiniz bir IEEE 754 64-bit çift ise). Bu bir tamsayı. Tam olarak temsil ediliyor. Daha fazla İstediğiniz ne?

Devam et, bana en büyük tamsayının ne olduğunu sor, böylece daha küçük tamsayılar IEEE 64-bit'te iki katına çıkmadan kesilebilir. Bir IEEE 64-bit çiftinin 52 bit mantis var, bu yüzden 2 ⁵³ olduğunu düşünüyorum :

• 2 ⁵³ + 1 kaydedilemez, çünkü başlangıçtaki 1 ve sondaki 1 arasında çok fazla sıfır vardır.
• 2 ^53'ten az herhangi bir şey saklanabilir, 52 bit mantis içinde açıkça saklanır ve daha sonra yürürlükteki üs size başka bir tane verir.
• 2 ⁵³ , 2 küçük bir güç olduğu için saklanabilir.

Ya da başka bir bakış açısı: önyargı üs dışına çıkarıldıktan ve işaret bitini soru ile ilgisiz olarak göz ardı ettikten sonra, bir çift tarafından depolanan değer 2'nin gücü ve 2 ile çarpılan 52 bitlik bir tamsayıdır. ^{üs - 52} . Yani üs 52 ile size 2'den tüm değerleri saklayabilir ⁵² 2 kadar ⁵³  2 sonra Sonra üs 53 ile, bir sonraki numara saklayabilir - 1. ⁵³ 2 ⁵³ + 1 × 2 ^52-53 . Bu yüzden önce hassasiyet kaybı 2 ⁵³ + 1 ile gerçekleşir.

9007199254740992 (bu 9.007.199.254.740.992) garantisizdir :)

program

#include <math.h>
#include <stdio.h>

int main(void) {
  double dbl = 0; /* I started with 9007199254000000, a little less than 2^53 */
  while (dbl + 1 != dbl) dbl++;
  printf("%.0f\n", dbl - 1);
  printf("%.0f\n", dbl);
  printf("%.0f\n", dbl + 1);
  return 0;
}

Sonuç

9007199254740991
9007199254740992
9007199254740992

Wikipedia, IEEE 754 bağlantısıyla aynı bağlamda şunu söylemektedir :

Tipik bir bilgisayar sisteminde, 'çift kesinlikli' (64 bit) ikili kayar nokta sayısı 53 bitlik (biri zımni), 11 bitlik bir üs ve bir işaret bitine sahiptir.

2 ^ 53 9 * 10 ^ 15'in biraz üzerindedir.

IEEE 754 çift (64-bit) ile temsil edilebilecek en büyük tamsayı, türün temsil edebileceği en büyük değerle aynıdır, çünkü bu değerin kendisi bir tamsayıdır.

Bu, 0x7FEFFFFFFFFFFFFFaşağıdakilerden oluşan şu şekilde temsil edilir :

• İşaret biti 1 yerine 0 (pozitif)
• Azami üs 0x7FE(sapma çıkarıldıktan sonra 1023'ü temsil eden 2046) yerine 0x7FF(a NaNveya sonsuzluğu gösteren 2047 ).
• 0xFFFFFFFFFFFFF52 bit olan maksimum mantis hepsi 1.

İkilide, değer örtük 1'dir, ardından mantisten 52 tane, daha sonra üssünden 971 sıfır (1023 - 52 = 971) gelir.

Tam ondalık değer:

179769313486231570814527423731704356798070567525844996598917476803157260780028538760589558632766878171540458953514382464234321326889464182768467546703537516986049910576551282076245490090389328944075868508455133942304583236903222948165808559332123348274797826204144723168738177180919299881250404026184124858368

Bu yaklaşık 1.8 x 10 ^308'dir .

Mantis büyüklüğüne bakmanız gerekir. Bir IEEE 754 64 bit kayan nokta sayısı (52 bit, artı 1 ima edilmiş), mutlak değeri 2 ^ 53'e eşit veya daha düşük olan tam sayıları tam olarak temsil edebilir.

1.7976931348623157 × 10 ^ 308

http://en.wikipedia.org/wiki/Double_precision_floating-point_format

DECIMAL_DIGdan <float.h>bu en azından makul bir yaklaşım vermelidir. Bu ondalık basamaklarla uğraştığından ve gerçekten ikili olarak saklandığından, büyük olasılıkla hassasiyeti kaybetmeden biraz daha büyük bir şey saklayabilirsiniz , ancak tam olarak ne kadar zor olduğunu söyleyebilirsiniz. Sanırım bunu anlayabilmelisin FLT_RADIXve DBL_MANT_DIG, ama sonuca tamamen güveneceğime emin değilim.