2 ^ n ve n * 2 ^ n aynı zamanda karmaşık mı?

Zaman karmaşıklığı konusunda bulduğum kaynaklar, zaman polikomikliği denkleminde, özellikle polinom olmayan örneklerle, terimleri görmezden gelmenin ne zaman uygun olmadığı konusunda net değil.

Bana göre n ² + n + 1 şeklinde bir şey göz önüne alındığında , son iki terimin önemsiz olduğu açıktır .

Özellikle, 2 ⁿ ve n * (2 ⁿ ) olmak üzere iki kategorizasyon verildiğinde , ikincisi birinciyle aynı sırada mıdır? Buradaki ek n çarpımı önemli mi? Genellikle kaynaklar sadece x ^n'nin üstel olduğunu ve çok daha hızlı büyüdüğünü söylüyor ... sonra devam edin.

Neden 2 ^{n'nin n'den} çok daha fazla olacağından anlayamıyorum , ancak birlikte eklenmedikleri için, iki denklemi karşılaştırırken büyük önem taşıyor, aslında aralarındaki fark her zaman n faktörü olacak, en azını söylemek önemli gibi görünüyor.

OBu soruyu cevaplamak için büyük O'nun ( ) resmi tanımına gitmeniz gerekecek .

Tanım, yalnızca ve eğer sınır varsa yani sonsuz değilse f(x)aittir . Kısacası bu, bir sabitin var olduğu anlamına gelir , öyle ki, değeri asla daha büyük olmaz .O(g(x))limsupx → ∞ (f(x)/g(x))Mf(x)/g(x)M

Sorunuz durumunda izin verin ve bırakın . Sonra ise hala sonsuz büyüyecek olan. Dolayısıyla ait değildir .f(n) = n ⋅ 2ng(n) = 2nf(n)/g(n)nf(n)O(g(n))

Bunun n⋅2ⁿdaha büyük olduğunu görmenin hızlı bir yolu , değişken değişikliği yapmaktır. Bırakın m = 2ⁿ. Sonra n⋅2ⁿ = ( log₂m )⋅m(her iki tarafında 2 tabanına göre logaritması alınarak m = 2ⁿverir n = log₂m) ve kolayca gösterebilirim m log₂mdaha hızlı büyür m.

Bunun n⋅2ⁿiçinde olmadığına katılıyorum O(2ⁿ), ancak üstün kullanım sınırının her zaman sahip olmadığı için daha açık olması gerektiğini düşündüm.

: Büyük-O biçimsel tanımı gereği f(n)olduğunu O(g(n))sabitleri mevcut ise c > 0ve n₀ ≥ 0herkes için böyle n ≥ n₀Elimizdeki f(n) ≤ c⋅g(n). f(n) = n⋅2ⁿVe için böyle bir sabitin bulunmadığı kolayca gösterilebilir g(n) = 2ⁿ. Ancak, bu gösterilebilir g(n)içindedir O(f(n)).

Başka bir deyişle, n⋅2ⁿalt sınır tarafından sınırlanmıştır 2ⁿ. Bu sezgisel. Her ikisi de üstel olsa da ve bu nedenle çoğu pratik koşulda eşit derecede kullanılmasa da, aynı düzende olduklarını söyleyemeyiz, çünkü 2ⁿzorunlu olarak daha yavaş büyür n⋅2ⁿ.

Bundan n⋅2ⁿdaha hızlı büyüdüğünü söyleyen diğer cevaplarla tartışmıyorum 2ⁿ. Ama n⋅2ⁿbüyümek hala sadece üsteldir.

Algoritmalar hakkında konuştuğumuzda, genellikle zaman karmaşıklığının büyüdüğünün üstel olduğunu söyleriz. Yani, biz olarak kabul 2ⁿ, 3ⁿ, eⁿ, 2.000001ⁿ, veya bizim n⋅2ⁿüstel büyür ile karmaşıklık aynı grup olması.

Biraz matematiksel bir anlam vermek için, f(x)böyle bir sabit varsa c > 1, katlanarak büyüyecek (daha hızlı değil) bir fonksiyon düşünürüz .f(x) = O(cx)

İçin n⋅2ⁿsabit cbüyük herhangi bir rakam olabilir 2diyelim alımı, 3. Sonra:

n⋅2ⁿ / 3ⁿ = n ⋅ (2/3)ⁿve bu daha az 1herhangi n.

Böylece 2ⁿdaha yavaş büyür n⋅2ⁿ, son olarak daha yavaş büyür 2.000001ⁿ. Fakat üçü de katlanarak büyüyor.

"İkincisi birinciyle aynı sırada mı? Oradaki ek n çarpımı önemli mi?" Bunlar iki farklı sorusu olan iki farklı sorudur.

n 2 ^ n asimptotik olarak 2 ^ n'den daha hızlı büyür. Bu soru cevaplandı.

Ancak "A algoritması 2 ^ n nanosaniye alırsa ve B algoritması n 2 ^ n nanosaniye alırsa, ikinci / dakika / saat / gün / ay / yıl içinde bir çözüm bulabildiğim en büyük n nedir? cevaplar n = 29/35/41/46/51/54 ve 25/30/36/40/45/49. Uygulamada çok fazla fark yok.

Her iki durumda da T zamanında çözülebilen en büyük sorunun büyüklüğü O (ln T) 'dir.