.NET Framework projeleriyle birlikte .NET Standard projesini kullananlar için :
.NET Standardı yolunda, bir .NET Standard projesinde bulunan paketler diğer .NET Core ve .NET Standard projelerinde doğru şekilde kullanılır.
Bir .NET Framework (MVC) projesinden bir .NET Standard projesine başvuruyorsanız, .NET Framework yolundayım, aynı nuget paketlerini manuel olarak indirmeniz ve yüklemeniz gerekir.
Bu yüzden sorumun cevabı , gerektiğinde Microsoft.AspNet.WebApi.Client
bir .NET Standard projesi kullanan web projesine (.NET Framework) indirip kurmam Microsoft.AspNet.WebApi.Client
gerektiğiydi. Aslında, bunu zaten yükledim ama bir sürüm farkı vardı.
Bu cevabı başkalarının görmesi için ekliyorum, OP'nin sorusuna doğrudan cevap vermeyebilir, ancak en çok oy alan cevapları yapmak yerine ilk önce bunu kontrol ederek bana zaman kazandırdı.