Eratosthenes Elek algoritmasının zaman karmaşıklığı

Gönderen Vikipedi:

Algoritmanın karmaşıklığı O(n(logn)(loglogn))bit işlemlerdir.

Buna nasıl ulaşırsınız?

Karmaşıklığın bu loglognterimi içermesi bana bir yer olduğunu söylüyor sqrt(n).

n = 100Numaraları bileşik olarak işaretlemenin sabit zaman mark_composite()alacağını varsayarsak (dizi uygulaması), eleği ilk 100 sayı ( ) üzerinde çalıştırdığımı varsayalım , kullandığımız sayının

n/2 + n/3 + n/5 + n/7 + ... + n/97        =      O(n^2)                         

Ve sonraki asal sayıyı bulmak için (örneğin 7, katları olan tüm sayıların üstünü çizdikten sonra atlamak 5), işlem sayısı olacaktır O(n).

Yani karmaşıklık olur O(n^3). Katılıyor musun?

1. Sizin n / 2 + n / 3 + n / 5 +… n / 97, O (n) değildir, çünkü terimlerin sayısı sabit değildir. [Düzenlemenizden sonra düzenleyin: O (n ² ) çok gevşek bir üst sınırdır.] Gevşek bir üst sınır n'dir (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 +… 1 / n) (n'ye kadar olan tüm sayıların karşılıklılarının toplamı ), ki bu O (n log n): Harmonik sayıya bakınız . Daha uygun bir üst sınır n'dir (1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 +…), yani n'ye kadar olan asalların karşılıklılarının toplamı, yani O (n log log n). ( Buraya veya buraya bakın .)

2. "Sonraki asal sayıyı bul" biti genel olarak yalnızca O (n) 'dur, amortismana tabi tutulmuştur - sonraki sayıyı adım başına değil , toplamda yalnızca n kez bulmak için ilerleyeceksiniz . Yani algoritmanın tüm bu kısmı sadece O (n) alıyor.

Bu ikisini kullanarak, O (n log log n) + O (n) = O (n log log n) aritmetik işlemlerin üst sınırını elde edersiniz. Bit işlemlerini sayarsanız, n'ye kadar sayılarla uğraştığınız için, bunlar yaklaşık log n bitlerine sahiptir, bu da log n faktörünün geldiği ve O (n log n log log n) bit işlemleri veren yerdir.

Karmaşıklığın loglogn terimini içermesi bana bir yerde sqrt (n) olduğunu söylüyor.

PEleme sırasında bir asal sayı bulduğunuzda , mevcut konumunuzdaki sayıları kesmeye başlamayacağınızı unutmayın + P; aslında sayıları üzerinden geçmeye başlıyorsunuz P^2. Tüm katları Paz P^2önceki asal sayılar tarafından kapalı geçti olacaktır.

1. İç döngü n/iadımlar yapar , burada iasal => tüm karmaşıklıktır sum(n/i) = n * sum(1/i). Asal harmonik serinin göre, sum (1/i)nerede iasal olduğunu log (log n). Toplamda O(n*log(log n)).
2. Bence üst döngü, genel zaman karmaşıklığı nile değiştirilerek optimize edilebilir :sqrt(n)O(sqrt(n)loglog(n))

void isPrime(int n){
    int prime[n],i,j,count1=0;
    for(i=0; i < n; i++){
        prime[i] = 1;
    }
    prime[0] = prime[1] = 0;
    for(i=2; i <= n; i++){
        if(prime[i] == 1){
            printf("%d ",i);
            for(j=2; (i*j) <= n; j++)
                prime[i*j] = 0;
        }
    }    
}

Yukarıdaki açıklamaya bakın, iç döngü sqrt (n) 'ye kadar olan tüm asal sayıların harmonik toplamıdır. Yani, gerçek karmaşıklık O (sqrt (n) * log (log (sqrt (n))))