0.0 ile 1.0 arasında kaç tane çift sayı vardır?

Bu yıllardır aklımda olan bir şey ama daha önce sormaya hiç zaman ayırmadım.

Birçok (sözde) rasgele sayı üreteci, 0.0 ile 1.0 arasında rasgele bir sayı üretir. Matematiksel olarak bu aralıkta sonsuz sayılar vardır, ancak doublebir kayan nokta sayısıdır ve bu nedenle sonlu bir kesinliğe sahiptir.

Yani sorular:

1. double0.0 ile 1.0 arasında kaç sayı vardır?
2. 1 ile 2 arasında sayı var mı? 100 ile 101 arasında mı? 10 ^ 100 ile 10 ^ 100 + 1 arasında mı?

Not: Bir fark yaratıyorsa, doubleözellikle Java'nın tanımıyla ilgileniyorum .

Java doubles olan IEEE-754 , bu nedenle bunlar, 52-bit fraksiyonuna sahip, biçim; ikisinin herhangi iki bitişik gücü arasında (biri dahil ve bir sonrakini hariç), bu nedenle 2'den double52'ye kadar farklı s (yani bunların 4503599627370496'sı) olacaktır. Örneğin, bu, double0,5 dahil edilen ve 1,0 hariç tutulanlar arasındaki farklı URL'lerin sayısıdır ve tam olarak çoğu, 1,0 dahil edilen ve 2,0 hariç tutulan arasında yer alır vb.

doubles0.0 ile 1.0 arasında saymak, ikinin üsleri arasında bunu yapmaktan daha zordur, çünkü bu aralıkta ikinin birçok gücü vardır ve ayrıca, normal olmayan sayıların dikenli konularına girilir. Üslerin 11 bitinden 10'u söz konusu aralığı kapsıyor, bu nedenle normalleştirilmiş sayılar (ve sanırım birkaç tür NaN) dahil olmak üzere, ikinin doublekuvvetleri arasındaki s'nin 1024 katına sahip olacaksınız - en fazla 2**62toplamda . Normalize edilmemiş ve c hariç, sayımın 1023 katı olacağına inanıyorum 2**52.

"100 ila 100.1" gibi rastgele bir aralık için daha da zordur, çünkü üst sınır tam olarak a olarak gösterilemez double(ikinin herhangi bir kuvvetinin tam katı değildir). Kullanışlı bir yaklaşım olarak, ikinin üsleri arasındaki ilerleme doğrusal olduğundan, söz konusu aralığın, 0.1 / 64ikinin çevreleyen kuvvetleri (64 ve 128) arasındaki aralığın th olduğunu söyleyebilirsiniz , bu nedenle

(0.1 / 64) * 2**52

farklı doubles - 7036874417766.4004bir veya iki vermek veya almak ;-)

Her doubleolan temsili değeri arasındadır 0x0000000000000000ve 0x3ff0000000000000aralık [0.0, 1.0] yatmaktadır. Bu (2 ^ 62 - 2 ^ 52) farklı değerlerdir (uç noktaları sayıp saymamanıza bağlı olarak artı veya eksi bir çift).

[1.0, 2.0] aralığı, 0x3ff0000000000000ve arasındaki temsillere karşılık gelir 0x400000000000000; bu 2 ^ 52 farklı değerdir.

[100.0, 101.0] aralığı, 0x4059000000000000ve arasındaki temsillere karşılık gelir 0x4059400000000000; bu 2 ^ 46 farklı değerdir.

10 ^ 100 ile 10 ^ 100 + 1 arasında çift yoktur . Bu sayılardan hiçbiri çift kesinlikte gösterilemez ve aralarında kalan çiftler yoktur. En yakın iki çift duyarlıklı sayı:

99999999999999982163600188718701095...

ve

10000000000000000159028911097599180...

Diğerleri, [0.0, 1.0] aralığında yaklaşık 2 ^ 62 çift olduğunu zaten açıklamışlardır.
(Gerçekten şaşırtıcı değil: Neredeyse 2 ^ 64 ayrı sonlu çiftler vardır; olanların, yarım olumludur ve kabaca yarısı bu 1.0 <bulunmaktadır.)

Ama rasgele sayı üreteçleri söz: Bir rasgele sayı üreteci 0.0 ile 1.0 arasındaki sayılar üreten O notu olamaz genel üretmek tüm bu rakamlar; tipik olarak sadece n bir tamsayı ile n / 2 ^ 53 biçiminde sayılar üretir (örneğin nextDouble için Java belgelerine bakın ). Bu nedenle, çıktı için genellikle yalnızca yaklaşık 2 ^ 53 (+/- 1, hangi uç noktaların dahil edildiğine bağlı olarak) olası değerleri vardır random(). Bu, [0.0, 1.0] 'daki çoğu ikiye katlamanın hiçbir zaman oluşturulmayacağı anlamına gelir.

Java'nın yeni matematiği, Bölüm 2: IBM'in Kayan noktalı sayılar makalesi , bunu çözmek için aşağıdaki kod parçacığını sunar ( kayan sayılarda , ancak bunun iki katına da çalıştığından şüpheleniyorum):

public class FloatCounter {

    public static void main(String[] args) {
        float x = 1.0F;
        int numFloats = 0;
        while (x <= 2.0) {
            numFloats++;
            System.out.println(x);
            x = Math.nextUp(x);
        }
        System.out.println(numFloats);
    }
}

Bununla ilgili şu yorumu yapıyorlar:

1.0 ve 2.0 arasında tam olarak 8.388.609 dalgalanma olduğu ortaya çıktı; bu aralıkta var olan gerçek sayıların büyük ama sayılamaz sonsuzluğu. Ardışık sayılar yaklaşık 0.0000001 aralıklıdır. Bu mesafeye, en son sırada en az hassaslık veya birim için ULP denir.

1. 2 ^ 53 - gizli bit dahil olmak üzere 64 bitlik kayan noktalı sayının anlamlılık / mantisinin boyutu.
2. Kabaca evet, sifnificand sabit olduğundan, ancak üs değiştiğinden.

Daha fazla bilgi için wikipedia makalesine bakın .

Java ikilisi bir IEEE 754 ikili64 numarasıdır.

Bu, dikkate almamız gerektiği anlamına gelir:

1. Mantissa 52 bittir
2. Üs, 1023 sapmalı 11 bitlik sayıdır (yani, ona 1023 eklenmiş)
3. Üsün tamamı 0 ise ve mantis sıfır değilse, sayının normalleştirilmemiş olduğu söylenir

Bu temelde, standarda göre 0 ile 1 arasında olan olası ikili temsillerin toplam 2 ^ 62-2 ^ 52 + 1 olduğu anlamına gelir. 2 ^ 52 + 1'in normalize edilmemiş durumları kaldırmak için olduğuna dikkat edin. sayılar.

Mantis pozitifse ancak üs negatifse, sayı pozitif ancak 1'den küçükse :-)

Diğer sayılar için biraz daha zordur çünkü kenar tam sayıları IEEE 754 gösteriminde tam olarak gösterilemeyebilir ve üstte sayıları temsil edebilmek için kullanılan başka bitler olduğundan, sayı ne kadar büyükse o kadar düşük farklı değerler.