|| ve ! operatörler mümkün olan her mantıksal ifadeyi yapmak için yeterli mi?

Mantıksal ifade ( a && b ) (her ikisi de ave bmantıksal değerleri) gibi yazılabilir !(!a || !b)örneğin. Bu &&"gereksiz" anlamına gelmiyor mu? Bu, tüm mantıksal ifadelerin yalnızca ||ve kullanılarak yapılabileceği anlamına mı geliyor !?

Diğer cevaplar belirttiği gibi Evet, operatörlerin kümesi oluşan ||ve !bir işlevsel olarak tam . Aşağıda, boole değişkenleri arasındaki on altı olası mantıksal bağlantının tümünü ifade etmek için nasıl kullanılacağını gösteren yapıcı bir kanıt Ave B:

• Doğru :A || !A
• NAND B :!A || !B
• B, A'yı ifade eder :!B || A
• A, B'yi ifade eder :!A || B
• A VEYA B :A || B
• B değil :!B
• A değil :!A
• XOR B :!(!A || B) || !(A || !B)
• XNOR B :!(!A || !B) || !(A || B)
• A :A
• B :B
• A NOR B :!(A || B)
• A, B anlamına gelmez :!(!A || B)
• B, A anlamına gelmez :!(!B || A)
• A VE B :!(!A || !B)
• Yanlış :!(A || !A)

Hem NAND hem de NOR kendiliğinden işlevsel olarak eksiksizdir (yukarıdaki aynı yöntem kullanılarak kanıtlanabilir), bu nedenle bir dizi operatörün işlevsel olarak tamamlandığını doğrulamak istiyorsanız, NAND veya NOR'u ifade edebileceğinizi göstermek yeterlidir. Bununla.

Yukarıda listelenen bağlayıcıların her biri için Venn diyagramlarını gösteren bir grafik :

[ kaynak ]

Açıkladığınız şey işlevsel bütünlüktür .

Bu, "tüm olası doğruluk tablolarını ifade etmek" için yeterli olan bir dizi mantıksal işleçleri açıklar. Java operatör kümeniz { ||, !} yeterlidir; "Minimal işlevsel olarak tam operatör setleri" bölümünde listelenen {∨, ¬} kümesine karşılık gelir.

Tüm doğruluk tabloları kümesi, 2 boolean değeri arasındaki bir işlemin sonucu olabilecek tüm olası 4 boolean değer kümesi anlamına gelir. Bir boole için 2 olası değer olduğundan, 2 ⁴ veya 16 olası doğruluk tablosu vardır.

A B | 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15
----+------------------------------------------------
T T | T  T  T  T  T  T  T  T  F  F  F  F  F  F  F  F
T F | T  T  T  T  F  F  F  F  T  T  T  T  F  F  F  F
F T | T  T  F  F  T  T  F  F  T  T  F  F  T  T  F  F 
F F | T  F  T  F  T  F  T  F  T  F  T  F  T  F  T  F

İşte doğruluk tablosu numaralarının (0-15) bir tablosu ||ve !onu veren kombinasyonlar ve bir açıklama.

Table  |  Operation(s)                    | Description
-------+----------------------------------+-------------
  0    | A || !A                          | TRUE
  1    | A || B                           | OR
  2    | A || !B                          | B IMPLIES A
  3    | A                                | A
  4    | !A || B                          | A IMPLIES B
  5    | B                                | B
  6    | !(!A || !B) || !(A || B)         | XNOR (equals)
  7    | !(!A || !B)                      | AND
  8    | !A || !B                         | NAND
  9    | !(A || !B) || !(!A || B)         | XOR
 10    | !B                               | NOT B
 11    | !(!A || B)                       | NOT A IMPLIES B
 12    | !A                               | NOT A
 13    | !(A || !B)                       | NOT B IMPLIES A
 14    | !(A || B)                        | NOR
 15    | !(A || !A)                       | FALSE

Java'da karşılık gelen tek işleçleri olmayan {NAND} ve {NOR} bir öğe kümesi de dahil olmak üzere işlevsel olarak tamamlanmış bu tür diğer pek çok küme vardır.

Evet.

Tüm mantık kapıları NOR kapılarından yapılabilir.

NOT ve OR'den NOR geçidi yapılabileceğinden, sonuç aşağıdaki gibidir.

Mümkünse DeMorgan Yasalarını okumak için zaman ayırın .

Buradaki okumada yanıtı ve mantıksal kanıtlara referansları bulacaksınız.

Ama aslında cevap evet.

EDIT : Açıklık, benim açımdan bir AND ifadesi bir OR ifadesi mantıklı bir şekilde çıkarım, ya da tersi olmasıdır. Mantıksal denklik ve çıkarım için daha fazla yasa var, ama bence bu en apropos.

DÜZENLEME 2 : İşte aşağıdaki ifadenin mantıksal denkliğini gösteren doğruluk tablosu aracılığıyla bir kanıt.

DeMorgan Yasası: !(!A || !B) -> A && B

 _____________________________________________________
| A | B | ! A | ! B | ! A || ! B | ! (! A ||! B) | A && B |
-------------------------------------------------- -----
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
-------------------------------------------------- -----
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
-------------------------------------------------- -----
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
-------------------------------------------------- -----
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
_______________________________________________________

NAND ve NOR evrenseldir, herhangi bir yerde istediğiniz herhangi bir mantıksal işlemi oluşturmak için kullanılabilirler; diğer operatörler, okunabilir kodların yazılmasını ve yapılmasını kolaylaştırmak için programlama dillerinde mevcuttur.

Ayrıca devrede kablo bağlantısı yapılması gereken tüm mantıksal işlemler de NAND veya yalnızca NOR IC'leri kullanılarak geliştirilir.

Evet, Boolean cebirine göre, herhangi bir Boolean fonksiyonu minonmların toplamı veya kanonik normal form adı verilen bir maxterm ürünü olarak ifade edilebilir . Bu mantığın bilgisayar biliminde kullanılan operatörlere uygulanamamasının bir nedeni yoktur.

https://en.wikipedia.org/wiki/Canonical_normal_form