Kriptografide primerler neden önemlidir?

Kriptograf olmayan biri olarak beni her zaman etkileyen bir şey: Asal sayıları kullanmak neden bu kadar önemli? Onları kriptografide bu kadar özel yapan nedir?

Herkes bir var mı basit kısa bir açıklama? (Birçok primer olduğunu ve Uygulamalı Kriptografinin İncil olduğunu biliyorum, ama dediğim gibi: Kendi şifreleme algoritmamı uygulamak istemiyorum ve beynimi patlattığımı bulduğum şeyler - 10 sayfa matematik formülü yok Lütfen :))

Tüm cevaplar için teşekkürler . Asıl konsepti benim için en açık yapan şeyi kabul ettim.

En temel ve genel açıklama: kriptografi tamamen sayı teorisiyle ilgilidir ve tüm tamsayı sayıları (0 ve 1 hariç) asallardan oluşur, bu yüzden sayı teorisinde asallarla çok ilgilenirsiniz.

Daha spesifik olarak, RSA gibi bazı önemli kriptografik algoritmalar kritik olarak büyük sayıların asal çarpanlarına ayrılmasının uzun zaman almasına bağlıdır . Temelde, bir mesajı şifrelemek için kullanılan iki büyük asaldan oluşan bir "ortak anahtar" ve mesajın şifresini çözmek için kullanılan bu iki asaldan oluşan bir "gizli anahtar" vardır. Ortak anahtarı herkese açık hale getirebilirsiniz ve herkes size mesajları şifrelemek için kullanabilir, ancak yalnızca asıl faktörleri bilir ve mesajların şifresini çözebilirsiniz. Sayı teorisi sanatının mevcut durumu göz önüne alındığında, herkesin pratik olması çok uzun süren sayıyı hesaba katması gerekir.

Basit? Evet.

İki büyük asal sayıyı çarparsanız, yalnızca iki (büyük) asal çarpanı olan çok büyük bir asal sayı alırsınız.

Bu sayıyı hesaba katmak önemsiz olmayan bir işlemdir ve bu gerçek bir çok Kriptografik algoritmanın kaynağıdır. Daha fazla bilgi için tek yönlü işlevlere bakın .

Zeyilname: Biraz daha açıklama. İki asal sayının ürünü, ortak anahtar olarak kullanılabilirken, asal olarak kendilerini özel anahtar olarak kullanabilirsiniz. Yalnızca iki faktörden biri bilinerek geri alınabilecek veriler üzerinde yapılan herhangi bir işlem, şifrelenmesi önemsizdir.

İşte çok basit ve yaygın bir örnek.

RSA şifreleme algoritması yaygın güvenli ticaret web sitelerinde kullanılan, bunun tersini yapmak son derece zor iken, iki (çok büyük) asal sayılar ve çarpma onları almak kolay olmasına dayanmaktadır - anlam: take a çok büyük bir sayı, sadece iki asal faktöre sahip olduğu ve onları bulduğu göz önüne alındığında.

Önemli olan asal sayıların kendisi değil, asallarla çalışan algoritmalar. Özellikle, bir sayının faktörlerini (herhangi bir sayı) bulmak.

Bildiğiniz gibi, herhangi bir sayının en az iki faktörü vardır. Asal sayılar, tam olarak iki faktöre sahip olmaları bakımından benzersiz bir özelliğe sahiptir: 1 ve kendileri.

Faktoringin bu kadar önemli olmasının nedeni, matematikçiler ve bilgisayar bilimcilerinin, mümkün olan her kombinasyonu denemeden bir sayıyı nasıl hesaplayacağını bilmemesidir. Yani, önce 2'ye, sonra 3'e, sonra 4'e bölünmeyi deneyin. Bir asal sayıyı, özellikle de çok büyük bir sayıyı çarpanlara ayırmaya çalışırsanız, 2 ile bu büyük asal sayı arasındaki olası her sayıyı denemeniz gerekir. En hızlı bilgisayarlarda bile, kriptografide kullanılan asal sayı türlerini hesaba katmak yıllar (hatta yüzyıllar) alacaktır.

Kriptografik algoritmalara güçlerini veren çok sayıda faktörün nasıl etkili bir şekilde nasıl faktörleştirileceğini bilmiyoruz. Bir gün, birileri nasıl yapılacağını anlarsa, şu anda kullandığımız tüm şifreleme algoritmaları kullanılmayacaktır. Bu açık bir araştırma alanı olmaya devam ediyor.

Çünkü hiç kimse bir tamsayıyı asal çarpanlarına ayırmak için hızlı bir algoritma bilmiyor. Bununla birlikte, bir dizi asal faktörün belirli bir tamsayı ile çarpılıp çarpılmadığını kontrol etmek çok kolaydır.

Kriptoyu arttırmak için bazı iyi kaynaklar var. Işte bir tane:

• http://research.microsoft.com/en-us/groups/crypto/firstcrypto.aspx

Bu sayfadan:

1977'de Ron Rivest, Adi Shamir ve Len Adleman tarafından icat edilen en yaygın kullanılan ortak anahtar şifreleme sisteminde, hem genel hem de özel anahtarlar nispeten basit bir matematiksel formüle göre bir çift büyük asal sayıdan türetilir. Teoride, formülü geriye doğru çalışarak özel anahtarı ortak anahtardan türetmek mümkün olabilir. Ancak sadece büyük asal sayıların ürünü halka açıktır ve bu büyüklükteki sayıları asal sayılarla o kadar zorlaştırır ki, dünyadaki en güçlü süper bilgisayarlar bile sıradan bir genel anahtarı kıramaz.

Bruce Schneier'in Applied Cryptography adlı kitabı başka bir kitap . Bu kitabı tavsiye ederim; eğlenceli okuma.

RSA'nın asal sayıların özelliklerini nasıl kullandığı konusunda biraz daha somut olmak için, RSA algoritması kritik olarak Euler Teoremine bağlıdır , bu da nispeten asal sayılar "a" ve "N" için a ^ e'nin 1 modulo N'ye uygun olduğunu belirtir ; e, Euler'in N'nin totient fonksiyonudur .

Asallar nereden geliyor? Euler'in N'nin totient fonksiyonunu verimli bir şekilde hesaplamak için N'nin birincil çarpanlarına ayırma işlemini bilmek gerekir. RSA algoritması durumunda, burada bazı p "ve" q "primerleri için N = pq, sonra e = (p - 1) (q - 1) = N - p - q + 1. Ancak p ve q bilmeden e'nin hesaplanması çok zordur.

Daha soyut olarak, birçok kriptografik protokol , hesaplanması kolay ancak tersine çevrilmesi zor olan çeşitli trapdoor işlevlerini kullanır . Sayı teorisi, bu tür kapalı kapı işlevlerinin (büyük asal sayıların çarpımı gibi) zengin bir kaynağıdır ve asal sayılar sayı teorisinin kesinlikle merkezindedir.

Kodda Matematiksel Bir Yolculuk kitabını öneririm . Kitap, kriptografi ile ilgili olduğu için dünyaya güzel bir his veriyor, bu şaşırtıcı. Kitap, Sarah Flannery'nin çocukken bulmacaları öğrenmekten 16 yaşında Cayley-Purser (CP) algoritması oluşturmaya kadar olan yolculuğunu özetliyor. kriptografi.

Bu kitabı sorunuza daha da özel kılan Sarah, matrisleri kullanarak yeni bir ortak anahtar algoritması uygulamaya çalıştı. Asal sayıları kullanmaktan çok daha hızlıydı, ancak bundan yararlanabilecek bir döngü deliği bulundu. Algoritmasının özel bir şifreleme mekanizması olarak daha iyi kullanıldığı ortaya çıktı. Kitap, zamanın testini ve çok akıllı bireylerin zorluklarını aştığı için şifreleme için asal sayıları kullanmanın büyük bir kanıtıdır.

Sizin için bir kaynak daha. Şimdi Güvenlik! bölüm 30 (~ 30 dakikalık podcast, transkript bağlantısı) kriptografi sorunları hakkında konuşur ve asalların neden önemli olduğunu açıklar.

Ben bir matematikçi ya da kriptocu değilim, işte layman'ın terimleriyle dışarıdan bir gözlem (fantezi denklemler yok, üzgünüm).

Bu ipliğin tamamı kriptografide HOW primerlerinin kullanıldığı hakkında açıklamalarla doludur , bu iplikteki herkesin NEDEN primerlerin kullanıldığını kolay bir şekilde açıklayan herkesi bulmak zordur ... büyük olasılıkla herkes bu bilgiyi kabul ettiği için.

Soruna sadece dışarıdan bakmak şöyle bir tepki oluşturabilir; ancak iki asalın toplamlarını kullanırlarsa, neden iki asalın üretebileceği tüm olası toplamların bir listesini oluşturmuyorsunuz?

Bu sitede 455.042.511 primin bir listesi var , burada en yüksek primler 9,987,500,000 ( 10 basamaklı).

(Şubat 2015 tarihinde) bilinen en büyük asal 1 - 257,885,161 gücüne 2 olduğu 17.425.170 basamak.

Bu, bilinen tüm primerlerin bir listesini tutmanın ve olası toplamlarının çok daha azının bir anlamı olmadığı anlamına gelir. Bir sayı almak ve asal olup olmadığını kontrol etmek daha kolaydır.

Kendi başına büyük primlerin hesaplanması anıtsal bir görevdir, bu nedenle hem kriptografların hem de matematikçilerin birbirleriyle çarpılan iki primerin tersini hesaplamak yeterince zor olduğunu söyleyebiliriz ... bugün.

Şifreleme algoritmaları genellikle "zor bir soruna" sahip olmalarına bağlıdır. Modern algoritmaların çoğu, çok büyük sayıların çarpanlarına ayırmalarını zor problemleri olarak kullanıyor gibi görünüyor - eğer iki büyük sayıyı birlikte çarparsanız, çarpanlarını hesaplamak "zordur" (yani zaman alıcı). Bu iki sayı asal sayılarsa, o zaman daha da zorlaştıran sadece bir cevap vardır ve aynı zamanda cevabı bulduğunuzda, doğru sonucu verir, sadece aynı sonucu veren başka bir cevap değil.

Kriptografide önemli olanın asal değil, ama asal çarpanlara ayırma sorununun zorluğu olduğunu düşünüyorum

M ve n iki primerinin ürünü olduğu bilinen çok büyük bir tamsayıya sahip olduğunuzu varsayalım, m ve n'nin ne olduğunu bulmak kolay değildir. RSA gibi algoritmalar bu gerçeğe bağlıdır.

Bu arada, kuantum bilgisayarı kullanarak bu asal çarpanlara ayırma problemini kabul edilebilir bir zamanda "çözebilen" algoritma üzerine yayınlanmış bir makale bulunmaktadır. Yani kriptografideki yeni algoritmalar artık kuantum bilgisayar kasabaya geldiğinde asal çarpanlaştırmanın bu "zorluğuna" dayanamayabilir :)

Çünkü çarpanlara ayırma algoritmaları bulunan her çarpanla birlikte önemli ölçüde hızlanır. Her iki özel anahtarı da birincil yapmak, bulunan ilk faktörün de sonuncu olmasını sağlar. İdeal olarak, her iki özel anahtar da neredeyse eşit değerde olacaktır, çünkü sadece zayıf anahtarın gücü önemlidir.

Asal sayılar çoğunlukla kriptografide kullanılır, çünkü belirli bir sayının asal sayı olup olmadığını belirlemek için önemli ölçüde zaman harcar. Bilgisayar korsanı için herhangi bir algoritmanın kodu kırması çok zaman alırsa, onlar için işe yaramaz hale gelir