2 boyutlu uzayda kendisiyle kesişmeyen bir dizi nokta varsayarsak, ortaya çıkan çokgenin alanını belirlemenin etkili bir yöntemi nedir?
Bir yan not olarak, bu bir ev ödevi değil ve kod aramıyorum. Kendi yöntemimi uygulamak için kullanabileceğim bir açıklama arıyorum. Noktalar listesinden bir dizi üçgen çekmeye dair fikirlerim var, ancak dışbükey ve içbükey çokgenlerle ilgili muhtemelen yakalayamayacağım bir dizi uç durum olduğunu biliyorum.
Yanıtlar:
İşte standart yöntem , AFAIK. Temel olarak her köşe etrafındaki çapraz çarpımları toplayın. Üçgenlemeden çok daha basit.
Python kodu, (x, y) köşe koordinatlarının bir listesi olarak temsil edilen bir çokgen verildiğinde, örtük olarak son tepe noktasından ilkine sarılır:
def area(p):
return 0.5 * abs(sum(x0*y1 - x1*y0
for ((x0, y0), (x1, y1)) in segments(p)))
def segments(p):
return zip(p, p[1:] + [p[0]])
David Lehavi şöyle yorumluyor: Bu algoritmanın neden çalıştığından bahsetmeye değer: Bu, Green teoreminin −y ve x fonksiyonları için bir uygulamasıdır ; tam olarak bir planimetrenin çalıştığı şekilde. Daha spesifik olarak:
Yukarıdaki formül =
integral_over_perimeter(-y dx + x dy) =
integral_over_area((-(-dy)/dy+dx/dx) dy dx) =
2 Area
abs()oturumu kapatır.
Çapraz çarpım bir klasiktir.
Yapmanız gereken zilyonlarca hesaplama varsa, yarı daha az çarpma gerektiren aşağıdaki optimize edilmiş sürümü deneyin:
area = 0;
for( i = 0; i < N; i += 2 )
area += x[i+1]*(y[i+2]-y[i]) + y[i+1]*(x[i]-x[i+2]);
area /= 2;
Netlik için dizi alt simge kullanıyorum. İşaretçileri kullanmak daha etkilidir. İyi derleyiciler sizin için yapacak olsa da.
Çokgenin "kapalı" olduğu varsayılır, bu da ilk noktayı alt simge N ile nokta olarak kopyaladığınız anlamına gelir. Ayrıca çokgenin çift sayıda noktaya sahip olduğunu varsayar. N çift değilse ilk noktanın ek bir kopyasını ekleyin.
Algoritma, klasik çapraz çarpım algoritmasının iki ardışık yinelemesini açıp birleştirerek elde edilir.
İki algoritmanın sayısal kesinlik açısından nasıl karşılaştırıldığından pek emin değilim. Benim izlenimim, yukarıdaki algoritmanın klasik olandan daha iyi olduğu, çünkü çarpma işleminin, çıkarma hassasiyetindeki kaybı geri yükleme eğiliminde olduğu yönünde. GPU'da olduğu gibi kayan nokta kullanmakla sınırlandırıldığında, bu önemli bir fark yaratabilir.
DÜZENLEME: "Üçgenler ve Çokgenler 2B ve 3B Alanı" daha da verimli bir yöntemi anlatıyor
// "close" polygon
x[N] = x[0];
x[N+1] = x[1];
y[N] = y[0];
y[N+1] = y[1];
// compute area
area = 0;
for( size_t i = 1; i <= N; ++i )
area += x[i]*( y[i+1] - y[i-1] );
area /= 2;
Bu sayfa , formülün
basitleştirilebilir:
Birkaç terim yazıp bunları ortak faktörlere göre gruplandırırsanız xi, eşitliği görmek zor değildir.
Bunun nyerine sadece çarpma gerektirdiğinden, nihai toplama daha etkilidir 2n.
def area(x, y):
return abs(sum(x[i] * (y[i + 1] - y[i - 1]) for i in xrange(-1, len(x) - 1))) / 2.0
Bu sadeleştirmeyi burada Joe Kington'dan öğrendim .
NumPy'niz varsa, bu sürüm daha hızlıdır (çok küçük diziler hariç tümü için):
def area_np(x, y):
x = np.asanyarray(x)
y = np.asanyarray(y)
n = len(x)
shift_up = np.arange(-n+1, 1)
shift_down = np.arange(-1, n-1)
return (x * (y.take(shift_up) - y.take(shift_down))).sum() / 2.0
Başka kısıtlamalar olmayan bir nokta kümesi, bir çokgeni benzersiz şekilde tanımlamaz.
Öyleyse, önce bu noktalardan hangi çokgeni inşa edeceğinize karar vermelisiniz - belki dışbükey gövde? http://en.wikipedia.org/wiki/Convex_hull
Ardından alanı üçgenleyin ve hesaplayın. http://www.mathopenref.com/polygonirregulararea.html
Üçgen ve toplam üçgen alanlarını genişletmek için, dışbükey bir çokgeniniz varsa VEYA çokgeni kesişen diğer tüm noktalara çizgiler oluşturmayan bir nokta seçerseniz bunlar çalışır.
Kesişmeyen genel bir çokgen için, a ve b'nin "yan yana" olduğu vektörlerin (referans noktası, nokta a), (referans noktası, b noktası) çapraz çarpımını toplamanız gerekir.
Poligonu sırayla tanımlayan bir nokta listesine sahip olduğunuzu varsayarsak (i ve i + 1 noktaları çokgenin bir çizgisini oluşturur):
Toplam (çapraz çarpım ((nokta 0, nokta i), (nokta 0, nokta i + 1)) için i = 1 ila n - 1.
Bu çapraz çarpımın büyüklüğünü alın ve yüzey alanına sahipsiniz.
Bu, iyi bir referans noktası seçme konusunda endişelenmenize gerek kalmadan içbükey çokgenleri işleyecektir; Çokgenin içinde olmayan bir üçgen oluşturan herhangi üç noktanın, çokgenin içindeki herhangi bir üçgenin ters yönünü gösteren bir çarpı çarpımı olacaktır, böylece alanlar doğru bir şekilde toplanır.
Poligon alanını hesaplamak için
http://community.topcoder.com/tc?module=Static&d1=tutorials&d2=geometry1#polygon_area
int cross(vct a,vct b,vct c)
{
vct ab,bc;
ab=b-a;
bc=c-b;
return ab.x*bc.y-ab.y*bc.x;
}
double area(vct p[],int n)
{
int ar=0;
for(i=1;i+1<n;i++)
{
vct a=p[i]-p[0];
vct b=p[i+1]-p[0];
area+=cross(a,b);
}
return abs(area/2.0);
}
dilden bağımsız çözüm:
VERİLEN: Bir çokgen HER ZAMAN üst üste binmeyen n-2 üçgenlerden oluşabilir (n = nokta sayısı VEYA kenar). 1 üçgen = 3 kenarlı çokgen = 1 üçgen; 1 kare = 4 kenarlı çokgen = 2 üçgen; vb reklam mide bulantısı QED
bu nedenle, bir çokgen, üçgenler "kesilerek" küçültülebilir ve toplam alan, bu üçgenlerin alanlarının toplamı olacaktır. bir parça kağıt ve makasla deneyin, en iyisi süreci takip etmeden önce görselleştirmenizdir.
Bir çokgen yolundaki 3 ardışık noktayı alır ve bu noktalarla bir üçgen oluşturursanız, üç olası senaryodan birine ve yalnızca birine sahip olursunuz:
biz sadece birinci seçeneğe (tamamen kapsanan) giren durumlarla ilgileniyoruz.
bunlardan birini her bulduğumuzda, onu keseriz, alanını hesaplarız (kolay peasy, burada formülü açıklamayız) ve bir kenarı eksik olan yeni bir çokgen (bu üçgen kesik çokgene eşdeğer) yaparız. tek bir üçgenimiz kalana kadar.
bu programatik olarak nasıl uygulanır:
çokgenin ETRAFINDAKİ yolu temsil eden bir dizi (ardışık) nokta oluşturun. 0. noktasından başlayın. x, x + 1 ve x + 2 noktalarından üçgenler oluşturan diziyi (birer birer) çalıştırın. her üçgeni bir şekilden bir alana dönüştürün ve onu çokgenden oluşturulan alanla kesiştirin. Ortaya çıkan kesişme orijinal üçgenle aynıysa, bu durumda söz konusu üçgen tamamen çokgende yer alır ve kesilebilir. x + 1'i diziden çıkarın ve x = 0'dan yeniden başlayın. aksi takdirde (üçgen [kısmen veya tamamen] çokgenin dışındaysa), dizide bir sonraki x + 1 noktasına gidin.
ek olarak haritalama ile entegre etmek istiyorsanız ve coğrafi noktalardan başlıyorsanız, ÖNCE coğrafi noktalardan ekran noktalarına geçiş yapmalısınız. bu, yeryüzünün şekli için bir modelleme ve formül belirlemeyi gerektirir (dünyayı bir küre olarak düşünme eğiliminde olsak da, aslında bu, girintili düzensiz bir ovaldir (yumurta şekli)). Daha fazla bilgi wiki için birçok model var. Önemli bir konu, alanı bir düzlem olarak mı yoksa kavisli olarak mı değerlendireceğinizdir. genel olarak, noktaların birbirinden birkaç km uzakta olduğu "küçük" alanlar, dışbükey değil düzlemsel olarak kabul edilirse önemli bir hata oluşturmayacaktır.
Bunu yapmanın bir yolu , çokgeni üçgenlere ayırmak, üçgenlerin alanını hesaplamak ve toplamı çokgenin alanı olarak almaktır.
Üçgenleri toplamaktan daha iyisi, Kartezyen uzayda yamukların toplamıdır:
area = 0;
for (i = 0; i < n; i++) {
i1 = (i + 1) % n;
area += (vertex[i].y + vertex[i1].y) * (vertex[i1].x - vertex[i].x) / 2.0;
}
Ayakkabı bağı formülünün uygulanması Numpy'de yapılabilir. Bu köşeleri varsayarsak:
import numpy as np
x = np.arange(0,1,0.001)
y = np.sqrt(1-x**2)
Alan bulmak için aşağıdaki işlevi tanımlayabiliriz:
def PolyArea(x,y):
return 0.5*np.abs(np.dot(x,np.roll(y,1))-np.dot(y,np.roll(x,1)))
Ve sonuçlar alıyorum:
print PolyArea(x,y)
# 0.26353377782163534
Döngüden kaçınmak, bu işlevi şunlardan ~ 50 kat daha hızlı hale getirir PolygonArea:
%timeit PolyArea(x,y)
# 10000 loops, best of 3: 42 µs per loop
%timeit PolygonArea(zip(x,y))
# 100 loops, best of 3: 2.09 ms per loop
Not: Bu cevabı başka bir soru için yazdım , tam bir çözüm listesine sahip olmak için burada söz ettim.
Eğilim, basitçe üçgenleri kesmeye başlamak olurdu. Başka herhangi bir şeyin aşırı derecede kıllı olmaktan nasıl kaçabileceğini anlamıyorum.
Çokgeni oluşturan üç ardışık noktayı alın. Açının 180'den küçük olduğundan emin olun. Artık hesaplamakta sorun olmayacak yeni bir üçgene sahipsiniz, orta noktayı çokgen nokta listesinden silin. Sadece üç puanınız kalana kadar tekrarlayın.
Burada açıklandığı gibi: http://www.wikihow.com/Calculate-the-Area-of-a-Polygon
import pandas as pd
df = pd.DataFrame({'x': [10, 20, 20, 30, 20, 10, 0], 'y': [-10, -10, -10, 0, 10, 30, 20]})
df = df.append(df.loc[0])
first_product = (df['x'].shift(1) * df['y']).fillna(0).sum()
second_product = (df['y'].shift(1) * df['x']).fillna(0).sum()
(first_product - second_product) / 2
600
2d çokgenin alanını hesaplamak için birkaç basit fonksiyon vereceğim. Bu, hem dışbükey hem de içbükey çokgenler için işe yarar. çokgeni basitçe birçok alt üçgene böleriz.
//don't forget to include cmath for abs function
struct Point{
double x;
double y;
}
// cross_product
double cp(Point a, Point b){ //returns cross product
return a.x*b.y-a.y*b.x;
}
double area(Point * vertices, int n){ //n is number of sides
double sum=0.0;
for(i=0; i<n; i++){
sum+=cp(vertices[i], vertices[(i+1)%n]); //%n is for last triangle
}
return abs(sum)/2.0;
}