Python'da modüler çarpımsal ters fonksiyon

Bazı standart Python modülleri , bir sayının modüler çarpımsal tersini hesaplamak için bir işlev içerir mi , yani y = invmod(x, p)böyle bir sayı x*y == 1 (mod p)? Google bu konuda iyi bir ipucu vermiyor gibi görünüyor.

Elbette, ev yapımı 10 satırlık genişletilmiş Öklid algoritması ortaya çıkabilir , ancak neden tekerleği yeniden icat etsin?

Örneğin, Java en BigIntegerbulunur modInverseyöntemi. Python'da benzer bir şey yok mu?

Belki birisi bunu yararlı bulabilir ( wikibook'lardan ):

def egcd(a, b):
    if a == 0:
        return (b, 0, 1)
    else:
        g, y, x = egcd(b % a, a)
        return (g, x - (b // a) * y, y)

def modinv(a, m):
    g, x, y = egcd(a, m)
    if g != 1:
        raise Exception('modular inverse does not exist')
    else:
        return x % m

Modülünüz asal ise (siz onu çağırırsınız p), o zaman basitçe hesaplayabilirsiniz:

y = x**(p-2) mod p  # Pseudocode

Veya uygun Python'da:

y = pow(x, p-2, p)

Python'da bazı sayı teorisi yetenekleri uygulayan biri: http://www.math.umbc.edu/~campbell/Computers/Python/numbthy.html

İşte komut isteminde yapılan bir örnek:

m = 1000000007
x = 1234567
y = pow(x,m-2,m)
y
989145189L
x*y
1221166008548163L
x*y % m
1L

Ayrıca gmpy modülüne de bakmak isteyebilirsiniz . Python ve GMP çok hassas kitaplığı arasında bir arayüzdür. gmpy, tam olarak ihtiyacınız olanı yapan bir ters çevirme işlevi sağlar:

>>> import gmpy
>>> gmpy.invert(1234567, 1000000007)
mpz(989145189)

Güncellenen cevap

@Hyh tarafından belirtildiği gibi gmpy.invert(), tersi yoksa 0 döndürür. Bu, GMP'nin mpz_invert()işlevinin davranışıyla eşleşir . gmpy.divm(a, b, m)genel bir çözüm sağlar a=bx (mod m).

>>> gmpy.divm(1, 1234567, 1000000007)
mpz(989145189)
>>> gmpy.divm(1, 0, 5)
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
ZeroDivisionError: not invertible
>>> gmpy.divm(1, 4, 8)
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
ZeroDivisionError: not invertible
>>> gmpy.divm(1, 4, 9)
mpz(7)

divm()gcd(b,m) == 1çarpımsal tersi olmadığında bir çözüm döndürür ve bir istisna oluşturur.

Sorumluluk reddi: Gmpy kitaplığının şu anda bakıcısıyım.

Güncellenmiş cevap 2

gmpy2 artık tersi olmadığında düzgün bir şekilde bir istisna oluşturur:

>>> import gmpy2

>>> gmpy2.invert(0,5)
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
ZeroDivisionError: invert() no inverse exists

3.8 pitondan itibaren pow () fonksiyonu bir modül ve bir negatif tamsayı alabilir. Buraya bakın . Nasıl kullanılacağına dair durumları

>>> pow(38, -1, 97)
23
>>> 23 * 38 % 97 == 1
True

İşte CodeFights için tek satırlık bir program ; en kısa çözümlerden biridir:

MMI = lambda A, n,s=1,t=0,N=0: (n < 2 and t%N or MMI(n, A%n, t, s-A//n*t, N or n),-1)[n<1]

İçinde çarpımsal tersi -1yoksa geri dönecektir .An

Kullanım:

MMI(23, 99) # returns 56
MMI(18, 24) # return -1

Çözüm, Genişletilmiş Öklid Algoritmasını kullanır .

Sembolik matematik için bir python modülü olan Sympy , kendi modunuzu uygulamak istemiyorsanız (veya zaten Sympy kullanıyorsanız) yerleşik bir modüler ters fonksiyona sahiptir:

from sympy import mod_inverse

mod_inverse(11, 35) # returns 16
mod_inverse(15, 35) # raises ValueError: 'inverse of 15 (mod 35) does not exist'

Bu, Sympy web sitesinde belgelenmemiş gibi görünüyor, ancak işte belge: Github'da Sympy mod_inverse docstring

İşte kodum, özensiz olabilir ama yine de benim için çalışıyor gibi görünüyor.

# a is the number you want the inverse for
# b is the modulus

def mod_inverse(a, b):
    r = -1
    B = b
    A = a
    eq_set = []
    full_set = []
    mod_set = []

    #euclid's algorithm
    while r!=1 and r!=0:
        r = b%a
        q = b//a
        eq_set = [r, b, a, q*-1]
        b = a
        a = r
        full_set.append(eq_set)

    for i in range(0, 4):
        mod_set.append(full_set[-1][i])

    mod_set.insert(2, 1)
    counter = 0

    #extended euclid's algorithm
    for i in range(1, len(full_set)):
        if counter%2 == 0:
            mod_set[2] = full_set[-1*(i+1)][3]*mod_set[4]+mod_set[2]
            mod_set[3] = full_set[-1*(i+1)][1]

        elif counter%2 != 0:
            mod_set[4] = full_set[-1*(i+1)][3]*mod_set[2]+mod_set[4]
            mod_set[1] = full_set[-1*(i+1)][1]

        counter += 1

    if mod_set[3] == B:
        return mod_set[2]%B
    return mod_set[4]%B

Yukarıdaki kod python3'te çalışmaz ve GCD varyantlarına kıyasla daha az verimlidir. Ancak bu kod çok şeffaftır. Daha kompakt bir sürüm oluşturmam için beni tetikledi:

def imod(a, n):
 c = 1
 while (c % a > 0):
     c += n
 return c // a

Burada herhangi bir harici kitaplık kullanmadan bunu yapan kısa bir 1 satır var.

# Given 0<a<b, returns the unique c such that 0<c<b and a*c == gcd(a,b) (mod b).
# In particular, if a,b are relatively prime, returns the inverse of a modulo b.
def invmod(a,b): return 0 if a==0 else 1 if b%a==0 else b - invmod(b%a,a)*b//a

Bunun gerçekten sadece egcd olduğunu ve yalnızca tek bir ilgi katsayısını döndürmek için düzenlendiğini unutmayın.

Modüler çarpımsal tersini bulmak için Genişletilmiş Öklid Algoritmasını şu şekilde kullanmanızı öneririm:

def multiplicative_inverse(a, b):
    origA = a
    X = 0
    prevX = 1
    Y = 1
    prevY = 0
    while b != 0:
        temp = b
        quotient = a/b
        b = a%b
        a = temp
        temp = X
        a = prevX - quotient * X
        prevX = temp
        temp = Y
        Y = prevY - quotient * Y
        prevY = temp

    return origA + prevY

Bu iş parçacığından farklı çözümler deniyorum ve sonunda bunu kullanıyorum:

def egcd(a, b):
    lastremainder, remainder = abs(a), abs(b)
    x, lastx, y, lasty = 0, 1, 1, 0
    while remainder:
        lastremainder, (quotient, remainder) = remainder, divmod(lastremainder, remainder)
        x, lastx = lastx - quotient*x, x
        y, lasty = lasty - quotient*y, y
    return lastremainder, lastx * (-1 if a < 0 else 1), lasty * (-1 if b < 0 else 1)


def modinv(a, m):
    g, x, y = self.egcd(a, m)
    if g != 1:
        raise ValueError('modinv for {} does not exist'.format(a))
    return x % m

Python'da Modular_inverse

Pekala, python'da bir fonksiyonum yok ama C'de kolayca python'a dönüştürebileceğim bir fonksiyonum var, aşağıdaki c fonksiyonunda genişletilmiş öklid algoritması ters modu hesaplamak için kullanılıyor.

int imod(int a,int n){
int c,i=1;
while(1){
    c = n * i + 1;
    if(c%a==0){
        c = c/a;
        break;
    }
    i++;
}
return c;}

Python Fonksiyonu

def imod(a,n):
  i=1
  while True:
    c = n * i + 1;
    if(c%a==0):
      c = c/a
      break;
    i = i+1

  return c

Yukarıdaki C fonksiyonuna referans , iki Göreceli Asal Sayının Modüler Çarpımsal Tersini bulmak için aşağıdaki C bağlantı programından alınmıştır.

cpython uygulama kaynak kodundan :

def invmod(a, n):
    b, c = 1, 0
    while n:
        q, r = divmod(a, n)
        a, b, c, n = n, c, b - q*c, r
    # at this point a is the gcd of the original inputs
    if a == 1:
        return b
    raise ValueError("Not invertible")

bu kodun üzerindeki yoruma göre, küçük negatif değerler döndürebilir, böylece potansiyel olarak negatif olup olmadığını kontrol edebilir ve b döndürmeden önce negatif olduğunda n ekleyebilirsiniz.

Yukarıdaki bağlantıların çoğu 23.01.2017 itibarıyla bozuktur. Bu uygulamayı buldum: https://courses.csail.mit.edu/6.857/2016/files/ffield.py