Mekanik olarak kabul edilen yanıt elbette doğrudur, ancak daha derin bir yanıt verilebileceğini iddia ediyorum.
İlk olarak, @PeterCordes'in bir yorumda yaptığı gibi soruyu açıklığa kavuşturmakta fayda var: "karmaşık sayılar için inf + 0j üzerinde çalışan bir çarpımsal kimlik var mı?" veya başka bir deyişle, OP'nin karmaşık çarpmanın bilgisayar uygulamasında bir zayıflık gördüğü şeydir veyainf+0j
Kısa cevap:
Kutupsal koordinatları kullanarak, karmaşık çarpımı bir ölçekleme ve bir dönüş olarak görebiliriz. Sonsuz bir "kolu", bir ile çarpma durumunda olduğu gibi 0 derece bile döndürmek, ucunu sonlu bir hassasiyetle yerleştirmeyi bekleyemeyiz. Öyleyse aslında, temelde doğru olmayan bir şey var inf+0j, yani sonsuza ulaşır ulaşmaz sonlu bir ofset anlamsız hale geliyor.
Uzun cevap:
Arka plan: Bu sorunun etrafında döndüğü "büyük şey", bir sayı sistemini genişletme meselesidir (gerçekleri veya karmaşık sayıları düşünün). Bunu yapmak istemenin bir nedeni, bir sonsuzluk kavramı eklemek ya da matematikçi olursa "sıkıştırmak" olabilir. Başka nedenler de var ( https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory , https://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_analysis ), ancak buradakilerle ilgilenmiyoruz.
Tek noktalı sıkıştırma
Böyle bir uzantı ile ilgili zor olan şey, elbette, bu yeni sayıların mevcut aritmetiğe uymasını istememizdir. En basit yol sonsuza tek bir eleman eklemek ( https://en.wikipedia.org/wiki/Alexandroff_extension ) ve sıfıra bölünmüş sıfır dışında herhangi bir şeye eşit yapmaktır. Bu, gerçekler ( https://en.wikipedia.org/wiki/Projectively_extended_real_line ) ve karmaşık sayılar ( https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_sphere ) için çalışır.
Diğer uzantılar ...
Tek noktalı sıkıştırmanın basit ve matematiksel olarak sağlam olmasına rağmen, birden fazla infinti içeren "daha zengin" uzantılar aranmıştır. Gerçek kayan noktalı sayılar için IEEE 754 standardında + inf ve -inf vardır ( https://en.wikipedia.org/wiki/Extended_real_number_line ). Doğal ve anlaşılır görünüyor ama zaten bizi çemberlerden atlamaya ve https://en.wikipedia.org/wiki/Signed_zero gibi şeyler icat etmeye zorluyor-0
... karmaşık düzlemin
Karmaşık düzlemin birden fazla inf uzantısına ne dersiniz?
Bilgisayarlarda, karmaşık sayılar tipik olarak biri gerçek diğeri hayali kısım için iki fp gerçeğini birbirine yapıştırarak gerçekleştirilir. Her şey sonlu olduğu sürece bu tamamen iyidir. Bununla birlikte, sonsuzluklar düşünüldüğünde işler yanıltıcı hale gelir.
Karmaşık düzlem, tüm düzlemi e ^ phij ile çarpmak, etrafındaki bir phi radyan dönüşüyle aynı olduğundan, karmaşık aritmetik ile güzel bir şekilde bağlanan doğal bir dönme simetrisine sahiptir 0.
Bu ek G şeyi
Şimdi, işleri basit tutmak için karmaşık fp, temeldeki gerçek sayı uygulamasının uzantılarını (+/- inf, nan vb.) Kullanır. Bu seçim o kadar doğal görünebilir ki bir seçim olarak algılanmıyor bile, ama ne anlama geldiğine daha yakından bakalım. Karmaşık düzlemin bu uzantısının basit bir görselleştirmesi şöyle görünür (I = sonsuz, f = sonlu, 0 = 0)
I IIIIIIIII I
I fffffffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I ffff0ffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I IIIIIIIII I
Ancak gerçek bir karmaşık düzlem, karmaşık çarpmaya saygı duyan bir düzlem olduğundan, daha bilgilendirici bir izdüşüm olacaktır.
III
I I
fffff
fffffff
fffffffff
I fffffffff I
I ffff0ffff I
I fffffffff I
fffffffff
fffffff
fffff
I I
III
Bu projeksiyonda, sadece çirkin değil, aynı zamanda OP'nin maruz kaldığı türden sorunların kökü olan sonsuzlukların "eşitsiz dağılımını" görüyoruz: Çoğu sonsuzluk (+/- sonsuz, sonlu) ve (sonlu, + / -inf) dört ana yönde bir araya toplanır, diğer tüm yönler yalnızca dört sonsuzluk ile gösterilir (+/- inf, + -inf). Karmaşık çarpımı bu geometriye genişletmenin bir kabus olması şaşırtıcı olmamalı .
C99 şartnamesinin Ek G'si, nasıl infve nanetkileşimde bulunmaya (esasen infkozlar nan) ilişkin kuralları esnetmek de dahil olmak üzere, çalışması için elinden gelenin en iyisini yapmaya çalışır . OP'nin problemi, gerçekleri ve önerilen tamamen hayali bir türü karmaşık hale getirmemekle bir kenara atılır, ancak gerçek 1'in karmaşık 1'den farklı davranması bana bir çözüm olarak gelmez. Anlaşılır bir şekilde, Ek G, iki sonsuzluğun ürününün ne olması gerektiğini tam olarak belirlemekte yetersiz kalıyor.
Daha iyisini yapabilir miyiz?
Daha iyi bir sonsuzluk geometrisi seçerek bu sorunları denemek ve düzeltmek cazip geliyor. Genişletilmiş gerçek çizgiye benzer şekilde, her yön için bir sonsuzluk ekleyebiliriz. Bu yapı, projektif düzleme benzer, ancak zıt yönleri bir araya getirmez. Sonsuzluklar kutupsal koordinatlarda gösterilecektir, inf xe ^ {2 omega pi i}, ürünleri tanımlamak basit olacaktır. Özellikle, OP'nin sorunu oldukça doğal bir şekilde çözülecektir.
Ama burası iyi haberin bittiği yerdir. Yeni stil sonsuzluklarımızın gerçek veya hayali parçalarını çıkaran fonksiyonları desteklemesini gerektirerek - mantıksız bir şekilde değil - bir şekilde kareye geri fırlatılabiliriz. Ekleme başka bir sorundur; iki antipodal olmayan sonsuzluk ekleyerek açıyı tanımsız olarak ayarlamamız gerekirdi, yani nanaçının iki giriş açısı arasında olması gerektiği tartışılabilir, ancak bu "kısmi nan -liği" temsil etmenin basit bir yolu yoktur)
Riemann kurtarmaya
Tüm bunların ışığında, belki de eski tek noktalı kompaktlaştırma yapılacak en güvenli şeydir. Belki Ek G'nin yazarları, cprojtüm sonsuzlukları bir araya toplayan bir işlevi zorunlu kılarken aynı şeyi hissettiler .
Konuyla ilgili benden daha yetkin kişilerce cevaplanan ilgili bir soru burada .
