fooEndeksli bir indükleme tipine sahip olalım x : X.
Parameter X : Type.
Inductive foo : X -> Type :=
| constr : forall (x : X), foo x.
Merak ediyorum, foo x = foo yima ederse x = y. Bunu nasıl ispatlayacağım konusunda fikirlerim kalmadı.
Lemma type_equality_implies_index_equality : forall (x y : X), foo x = foo y -> x = y.
Eğer bu kanıtlanamazsa, neden?
Yanıtlar:
Bu kanıtlanamaz. Ayarladığımız zaman aşağıdaki özel teorem örneğini düşünün X := bool:
foo true = foo false -> true = false
Bu trueve falsefarklı olduğu göz önüne alındığında , teorem kanıtlanabilirse, bunu göstermek foo trueve foo falsefarklı olmak mümkün olmalıdır . Sorun şu ki, bu iki tip izomorfiktir :
Inductive foo : bool -> Type :=
| constr : forall (x : bool), foo x.
(* An isomorphism between foo true and foo false *)
Definition foo_t_f (x : foo true) : foo false := constr false.
Definition foo_f_t (x : foo false) : foo true := constr true.
(* Proofs that the functions are inverses of each other *)
Lemma foo_t_fK x : foo_f_t (foo_t_f x) = x.
Proof. unfold foo_f_t, foo_t_f. now destruct x. Qed.
Lemma foo_f_tK x : foo_t_f (foo_f_t x) = x.
Proof. unfold foo_f_t, foo_t_f. now destruct x. Qed.
Coq teorisinde, ekstra aksiyom varsaymadan iki izomorfik tipin farklı olduğunu göstermek mümkün değildir. Bu nedenle Coq'un homotopi türü teorisi gibi teorisinin bir uzantısı sağlamdır . HoTT'de izomorfik tiplerin eşit olduğu gösterilebilir ve teoreminizi kanıtlamanız mümkün olsaydı, HoTT tutarsız olurdu.
(x <> y) -> (foo x <> foo y)mü? Dışlanmış bir prensip olmadan bu dünyada gerçekten kafam karıştı.