XOR neden karmaları birleştirmenin varsayılan yolu?

Diyelim ki iki karmanız var H(A)ve H(B)bunları birleştirmek istiyorsunuz. İki karmayı birleştirmenin iyi bir yolunun XORonlara olduğunu okudum , örneğin XOR( H(A), H(B) ).

Bulduğum en iyi açıklama, şu karma işlev yönergelerine kısaca değinilmiştir :

Kabaca rasgele dağılımlı iki sayının XORing edilmesi, kabaca rasgele dağılımlı * başka bir sayı ile sonuçlanır, ancak şimdi iki değere bağlıdır.
...
* Birleştirilecek iki sayının her bir bitinde, iki bit eşitse 0, başka bir 1 verilir. Başka bir deyişle, kombinasyonların% 50'sinde 1 verilir. Dolayısıyla, iki giriş bitinin her birinin kabaca 50-50 0 veya 1 olma şansı varsa, o zaman çıkış biti de olur.

XOR'un neden karma işlevlerini (OR veya AND vb. Yerine) birleştirmek için varsayılan işlem olması gerektiğini sezgi ve / veya matematiği açıklayabilir misiniz?

Tekdüze rastgele (1 bit) girişler olduğu varsayıldığında, AND fonksiyonu çıkış olasılığı dağılımı% 75 0ve% 25'tir 1. Tersine, OR% 25 0ve% 75'tir 1.

XOR işlevi% 50 0ve % 50'dir 1, bu nedenle tekdüze olasılık dağılımlarını birleştirmek için iyidir.

Bu doğruluk tabloları yazarak görülebilir:

 a | b | a AND b
---+---+--------
 0 | 0 |    0
 0 | 1 |    0
 1 | 0 |    0
 1 | 1 |    1

 a | b | a OR b
---+---+--------
 0 | 0 |    0
 0 | 1 |    1
 1 | 0 |    1
 1 | 1 |    1

 a | b | a XOR b
---+---+--------
 0 | 0 |    0
 0 | 1 |    1
 1 | 0 |    1
 1 | 1 |    0

Alıştırma: İki adet 1 bit girişin kaç mantıksal işlevi var ave bbu tekdüze çıkış dağılımı var? XOR neden sorunuzda belirtilen amaç için en uygun?

xorkarma yaparken kullanmak için tehlikeli bir varsayılan işlevdir. Bundan daha iyidir andve orbu fazla bir şey ifade etmez.

xorsimetriktir, bu yüzden elemanların sırası kaybolur. Böylece "bad"karma ile aynı birleştirir "dab".

xor çift ​​olarak aynı değerleri sıfıra eşler ve "ortak" değerleri sıfıra eşlemekten kaçınmalısınız:

Böylece (a,a)0 ile eşlenir ve 0 ile (b,b)eşlenir. Bu çiftler neredeyse her zaman rastlantısallığın ima edebileceğinden daha yaygın olduğu için, sıfırdan çok çarpışmanız gerekir.

Bu iki problemle, xoryüzeyde yarı iyi görünen bir karma birleştirici olur, ancak daha fazla incelemeden sonra olmaz.

Modern donanımda, genellikle yaklaşık olarak hızlı ekleme xor(muhtemelen bunu çıkarmak için daha fazla güç kullanır). Eklemenin doğruluk tablosu şuna benzerxor söz konusu bite , ancak her iki değer 1 olduğunda da bir sonraki bite biraz gönderir. Bu, daha az bilgi sildiği anlamına gelir.

Yani hash(a) + hash(b)daha iyidir hash(a) xor hash(b)eğer ki a==b, sonucudurhash(a)<<1 0 yerine.

Bu simetrik kalır; böylece "bad"ve "dab"aynı sonucu elde etmek sorun olmaya devam ediyor. Bu simetriyi mütevazı bir maliyetle kırabiliriz:

hash(a)<<1 + hash(a) + hash(b)

aka hash(a)*3 + hash(b). ( hash(a)vardiya çözümünü bir kez hesaplamanız ve saklamanız tavsiye edilir). Bunun yerine herhangi bir tek sabit 3, bijektif kolarak kendi kendine bir " -bit" işaretsiz tamsayıyı eşler, çünkü işaretsiz tam sayılardaki harita 2^kbazıları için matematik modülondur kve herhangi bir tek sabit göreceli olarak asaldır 2^k.

Daha meraklı bir versiyon için, boost::hash_combineetkili bir şekilde inceleyebiliriz :

size_t hash_combine( size_t lhs, size_t rhs ) {
  lhs ^= rhs + 0x9e3779b9 + (lhs << 6) + (lhs >> 2);
  return lhs;
}

Burada , bazı ek ve bir xor seedile bir sabit (temelde rasgele 0s ve 1s - özellikle 32 bit sabit nokta fraksiyonu olarak altın oranın tersidir) ile bazı kaydırılmış versiyonlarını ekliyoruz . Bu sonları simetri ve gelen karma değerleri yani 0'a her bileşen karmaları hayal (fakir iseler bazı "gürültü" tanıtır - Yukarıdaki kolları de, bir karalama üreten 1ve 0her peşinde birleştirmek Benim saf. 3*hash(a)+hash(b)Basitçe çıkışları a0 in O vaka).

(C / C ++ ile aşina olmayanlar için, a size_tbellekteki herhangi bir nesnenin boyutunu tanımlamak için yeterince büyük olan işaretsiz bir tamsayı değeridir. 64 bit sistemde genellikle 64 bit işaretsiz bir tamsayıdır. 32 bit sistemde , 32 bit işaretsiz bir tam sayı.)

Onun kullanışlı bit karıştırma özelliklerine rağmen, XOR olduğu değil değişebilirliği nedeniyle karmaları birleştirmenin iyi bir yolu . {1, 2,…, 10} permütasyonlarını 10'luk bir karma tabloda saklarsanız ne olacağını düşünün.

Bir çok daha iyi bir seçimdir m * H(A) + H(B), burada m büyük bir tek sayıdır.

Kredi: Yukarıdaki birleştirici Bob Jenkins tarafından bir ipucu oldu.

Xor, karmaları birleştirmenin "varsayılan" yolu olabilir, ancak Greg Hewgill'in yanıtı neden tuzaklarına sahip olduğunu da gösterir: İki özdeş karma değerinin xoru sıfırdır. Gerçek hayatta, aynı hashler birinin beklediğinden daha yaygındır. Daha sonra bu (çok seyrek olmayan) köşe durumlarda, ortaya çıkan birleşik karmaların her zaman aynı (sıfır) olduğunu görebilirsiniz. Karma çarpışmalar beklediğinizden çok, çok daha sık olurdu.

Çağdaş bir örnekte, yönettiğiniz farklı web sitelerinden kullanıcıların karma şifrelerini birleştiriyor olabilirsiniz. Ne yazık ki, çok sayıda kullanıcı şifrelerini tekrar kullanıyor ve ortaya çıkan karmaların şaşırtıcı bir oranı sıfır!

Bu sayfayı bulan başkaları için açıkça belirtmek istediğim bir şey var. VE ve VEYA BlueRaja gibi çıktıları kısıtla - Danny Pflughoe dikkat çekmeye çalışıyor, ancak daha iyi tanımlanabilir:

Önce bunu açıklamak için kullanacağım iki basit işlevi tanımlamak istiyorum: Min () ve Max ().

Min (A, B), A ve B arasında daha küçük olan değeri döndürür, örneğin: Min (1, 5) 1 değerini döndürür.

Maks (A, B), A ve B arasında daha büyük olan değeri döndürür, örneğin: Maks (1, 5) 5 değerini döndürür.

Size verilirse: C = A AND B

Sonra bunu bulabilirsiniz C <= Min(A, B) bildiğimizi anlayabilirsiniz çünkü yapabileceğiniz hiçbir şey yoktur VE A veya B'nin 0 bitleri ile 1s yapmak için. Yani her sıfır bit sıfır bit kalır ve her bit sıfır bit olma şansına sahiptir (ve dolayısıyla daha küçük bir değer).

İle: C = A OR B

Bunun tersi doğrudur: C >= Max(A, B)Bununla AND fonksiyonunun sonucunu görüyoruz. Zaten bir olan herhangi bir bit sıfır olmak için ORED olamaz, bu yüzden bir kalır, ancak her sıfır bitin bir olma şansı vardır ve bu nedenle daha büyük bir sayı.

Bu, giriş durumunun çıktıya kısıtlamalar uyguladığı anlamına gelir. Eğer VE ile 90 olan herhangi bir şey varsa, diğer değer ne olursa olsun çıktının 90'a eşit veya daha az olacağını bilirsiniz.

XOR için, girdilere dayalı herhangi bir zımni kısıtlama yoktur. 255 ile bir bayt ters çevirirseniz, ancak olası herhangi bir baytın çıktı alınabileceğini bulabileceğiniz özel durumlar vardır. Her bit, diğer işlenendeki aynı bite bağlı olarak durumu değiştirme şansına sahiptir.

XORTaraflı bir girişe sahip rastgele bir giriş yaparsanız , çıkış rastgele olur. Aynı şey ANDveya için de geçerli değildir OR. Misal:

00101001 XOR 00000000 = 00101001
00101001 VE 00000000 = 00000000
00101001 VEYA 11111111 = 11111111

@Greg Hewgill'in bahsettiği gibi, her iki giriş rastgele olsa bile , ANDveya kullanarak ORönyargılı çıktı elde edilir.

XORDaha karmaşık bir şey üzerinde kullanmamızın nedeni , buna gerek yok: XORmükemmel çalışıyor ve inanılmaz derecede aptalca hızlı.

Sol 2 sütunu örtün ve girdilerin sadece çıktıyı ne kullandığını bulmaya çalışın.

 a | b | a AND b
---+---+--------
 0 | 0 |    0
 0 | 1 |    0
 1 | 0 |    0
 1 | 1 |    1

Bir 1-bit gördüğünüzde, her iki girişin de 1 olduğunu bulmuş olmalısınız.

Şimdi XOR için de aynısını yapın

 a | b | a XOR b
---+---+--------
 0 | 0 |    0
 0 | 1 |    1
 1 | 0 |    1
 1 | 1 |    0

XOR girdiler hakkında hiçbir şey vermez.

Java.util.ArrayshashCode() içindeki çeşitli sürümler için kaynak kodu sağlam, genel kullanım karma algoritmaları için mükemmel bir referanstır. Kolayca anlaşılır ve diğer programlama dillerine çevrilir.

Kabaca söylemek gerekirse, çok özellikli hashCode()uygulamaların çoğu şu modeli izler:

public static int hashCode(Object a[]) {
    if (a == null)
        return 0;

    int result = 1;

    for (Object element : a)
        result = 31 * result + (element == null ? 0 : element.hashCode());

    return result;
}

Arkasındaki sihir 31ve Java kodunun neden bu kadar sık ​​kullandığı hakkında daha fazla bilgi için diğer StackOverflow Soru ve Cevaplarını arayabilirsiniz . Kusurlu değil, ancak genel performans özellikleri çok iyi.

XOR bazen OR ve AND gibi bazı girişleri yok saymaz .

Örneğin AND (X, Y) alırsanız ve X girişini false ile beslerseniz, Y girişi önemli değildir ... ve muhtemelen karmaları birleştirirken girdinin önemli olmasını ister.

Eğer alırsan XOR (X, Y) sonra İKİ girdileri DAİMA olsun. Y'nin önemli olmadığı yerlerde X'in değeri olmazdı. X veya Y değiştirilirse çıkış bunu yansıtacaktır.