Glm ile lojistik regresyona uyan varsayılan başlangıç ​​değerleri

Varsayılan başlangıç ​​değerlerinin nasıl belirtildiğini merak ediyorum glm.

Bu gönderi , varsayılan değerlerin sıfır olarak ayarlandığını gösterir. Bu bir yandan alakalı bağlantı bozuldu arkasında bir algoritma, olduğunu söylüyor.

Basit lojistik regresyon modelini algoritma iziyle uydurmaya çalıştım:

set.seed(123)

x <- rnorm(100)
p <- 1/(1 + exp(-x))
y <- rbinom(100, size = 1, prob = p)

# to see parameter estimates in each step
trace(glm.fit, quote(print(coefold)), at = list(c(22, 4, 8, 4, 19, 3)))

İlk olarak, başlangıç ​​değerlerinin belirtimi olmadan:

glm(y ~ x, family = "binomial")

Tracing glm.fit(x = structure(c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,  .... step 22,4,8,4,19,3 
NULL
Tracing glm.fit(x = structure(c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,  .... step 22,4,8,4,19,3 
[1] 0.386379 1.106234
Tracing glm.fit(x = structure(c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,  .... step 22,4,8,4,19,3 
[1] 0.3991135 1.1653971
Tracing glm.fit(x = structure(c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,  .... step 22,4,8,4,19,3 
[1] 0.3995188 1.1669508

İlk adımda başlangıç ​​değerleri NULL.

İkinci olarak, başlangıç ​​değerlerini sıfır olarak ayarladım:

glm(y ~ x, family = "binomial", start = c(0, 0))

Tracing glm.fit(x = structure(c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,  .... step 22,4,8,4,19,3 
[1] 0 0
Tracing glm.fit(x = structure(c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,  .... step 22,4,8,4,19,3 
[1] 0.3177530 0.9097521
Tracing glm.fit(x = structure(c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,  .... step 22,4,8,4,19,3 
[1] 0.3909975 1.1397163
Tracing glm.fit(x = structure(c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,  .... step 22,4,8,4,19,3 
[1] 0.3994147 1.1666173
Tracing glm.fit(x = structure(c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,  .... step 22,4,8,4,19,3 
[1] 0.3995191 1.1669518

Birinci ve ikinci yaklaşım arasındaki iterasyonların farklı olduğunu görebiliriz.

Tarafından belirtilen başlangıç ​​değerlerini görmek glmiçin tek bir yineleme ile modele uymaya çalıştım:

glm(y ~ x, family = "binomial", control = list(maxit = 1))

Tracing glm.fit(x = structure(c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,  .... step 22,4,8,4,19,3 
NULL

Call:  glm(formula = y ~ x, family = "binomial", control = list(maxit = 1))

Coefficients:
(Intercept)            x  
     0.3864       1.1062  

Degrees of Freedom: 99 Total (i.e. Null);  98 Residual
Null Deviance:      134.6 
Residual Deviance: 115  AIC: 119

Parametrelerin tahminleri (şaşırtıcı değil), ikinci iterasyondaki ilk yaklaşımın tahminlerine karşılık gelir, yani, [1] 0.386379 1.106234 bu değerlerin başlangıç ​​değerleri olarak ayarlanması, ilk yaklaşımdakiyle aynı iterasyon sırasına yol açar:

glm(y ~ x, family = "binomial", start = c(0.386379, 1.106234))

Tracing glm.fit(x = structure(c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,  .... step 22,4,8,4,19,3 
[1] 0.386379 1.106234
Tracing glm.fit(x = structure(c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,  .... step 22,4,8,4,19,3 
[1] 0.3991135 1.1653971
Tracing glm.fit(x = structure(c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,  .... step 22,4,8,4,19,3 
[1] 0.3995188 1.1669508

Soru şu: bu değerler nasıl hesaplanıyor?

TL; DR

• start=c(b0,b1)eta değerini başlatır b0+x*b1(mu ila 1 / (1 + exp (-eta)))
• start=c(0,0) y veya x değerine bakılmaksızın eta'yı 0'a (mu ila 0,5) başlatır.
• start=NULL x değerinden bağımsız olarak y = 1 ise eta = 1.098612'yi (mu = 0.75) başlatır.

• start=NULL x değerinden bağımsız olarak y = 0 ise eta = -1.098612 (mu = 0.25) değerini başlatır.

• Eta sonra (ve dolayısıyla mu ve var (u)) olarak hesaplanmıştır, wve zruhu içinde, hesaplanan bir QR çözücü gönderilir qr.solve(cbind(1,x) * w, z*w).

soluklu

Roland'ın comment kapalı Bina: Bir yapılmış glm.fit.truncated()ben nereye götürdüklerini, glm.fitaşağı C_Cdqrlssonra çağrı ve bunu yorumunu yaptı. glm.fit.truncatedçıkışları zve wdeğerler (ve hesaplamak için kullanılan miktarların değerleri olarak zve w) daha sonra iletilen olacaktır C_Cdqrlsçağrı:

## call Fortran code via C wrapper
fit <- .Call(C_Cdqrls, x[good, , drop = FALSE] * w, z * w,
             min(1e-7, control$epsilon/1000), check=FALSE) 

Daha konusunda okunabilir C_Cdqrls burada . Neyse ki, qr.solveR tabanındaki işlev doğrudan çağrılan LINPACK sürümlerine bağlanır glm.fit().

Bu yüzden glm.fit.truncatedfarklı başlangıç ​​değeri spesifikasyonları için çalışıyoruz ve sonra qr.solvew ve z değerleri ile bir çağrı yapıyoruz ve "başlangıç ​​değerleri" nin (veya ilk görüntülenen yineleme değerlerinin) nasıl hesaplandığını görüyoruz. Roland, belirtilen belirten olarak start=NULLveya start=c(0,0)GLM olarak (w) ve z için hesaplamalar etkiler değildir için start.

Başlangıç ​​= NULL: zöğelerin 2.431946 veya -2.431946 değerine sahip wolduğu bir vektördür ve tüm öğelerin 0.4330127 olduğu bir vektördür:

start.is.null <- glm.fit.truncated(x,y,family=binomial(), start=NULL)
start.is.null
w <- start.is.null$w
z <- start.is.null$z
## if start is NULL, the first displayed values are:
qr.solve(cbind(1,x) * w, z*w)  
# > qr.solve(cbind(1,x) * w, z*w)  
#                 x 
# 0.386379 1.106234 

Başlangıç ​​= c (0,0) için: zöğelerin 2 veya -2 değerine sahip wolduğu bir vektör ve tüm öğelerin 0,5 olduğu bir vektördür:

## if start is c(0,0)    
start.is.00 <- glm.fit.truncated(x,y,family=binomial(), start=0)
start.is.00
w <- start.is.00$w
z <- start.is.00$z
## if start is c(0,0), the first displayed values are:    
qr.solve(cbind(1,x) * w, z*w)  
# > qr.solve(cbind(1,x) * w, z*w)  
#                   x 
# 0.3177530 0.9097521 

Yani hepsi iyi ve güzel, ama nasıl hesaplarım wve z? Alt kısmına yakın glm.fit.truncated()gördüğümüz

z <- (eta - offset)[good] + (y - mu)[good]/mu.eta.val[good]
w <- sqrt((weights[good] * mu.eta.val[good]^2)/variance(mu)[good])

Hesaplamak için kullanılan miktarların çıktı değerleri arasında aşağıdaki karşılaştırmalara bakın zve w:

cbind(y, start.is.null$mu, start.is.00$mu)
cbind(y, start.is.null$eta, start.is.00$eta)
cbind(start.is.null$var_mu, start.is.00$var_mu)
cbind(start.is.null$mu.eta.val, start.is.00$mu.eta.val)

Eta değeri 0'a ayarlandığı ve mu (eta) = 1 / (1 + exp (-0)) = 0,5 olduğu için sadece 0,5 değerine start.is.00sahip vektör olacağını unutmayın mu. start.is.nully = 1 olanları mu = 0.75 (eta = 1.098612'ye karşılık gelir) ve y = 0 olanları mu = 0.25 (eta = -1.098612'ye karşılık gelir) ve dolayısıyla var_mu= 0.75 * 0.25 = 0.1875 olarak ayarlar.

Bununla birlikte, tohumu değiştirdiğim ve her şeyi yeniden düzenlediğimi ve y = 1 için mu = 0.75 ve y = 0 için mu = 0.25 olduğunu (ve böylece diğer miktarların aynı kaldığını) belirtmek ilginçtir. Yani start = NULL aynı wvez , neye yve ne olursa olsun neyex , çünkü y = 1 ise eta = 1.098612 (mu = 0.75) ve y = 0 ise eta = -1.098612 (mu = 0.25) değerini başlatırlar.

Dolayısıyla kesişme katsayısı ve X katsayısı için bir başlangıç ​​değerinin start = NULL için ayarlanmadığı, ancak y değerine bağlı olarak ve x değerinden bağımsız olarak eta'ya başlangıç ​​değerleri verildiği anlaşılmaktadır. Oradan wvez hesaplanır, daha sonra birlikte gönderilen xqr.solver için.

Yukarıdaki parçalardan önce çalıştırılacak kod :

set.seed(123)

x <- rnorm(100)
p <- 1/(1 + exp(-x))
y <- rbinom(100, size = 1, prob = p)


glm.fit.truncated <- function(x, y, weights = rep.int(1, nobs), 
start = 0,etastart = NULL, mustart = NULL, 
offset = rep.int(0, nobs),
family = binomial(), 
control = list(), 
intercept = TRUE,
singular.ok = TRUE
){
control <- do.call("glm.control", control)
x <- as.matrix(x)
xnames <- dimnames(x)[[2L]]
ynames <- if(is.matrix(y)) rownames(y) else names(y)
conv <- FALSE
nobs <- NROW(y)
nvars <- ncol(x)
EMPTY <- nvars == 0
## define weights and offset if needed
if (is.null(weights))
  weights <- rep.int(1, nobs)
if (is.null(offset))
  offset <- rep.int(0, nobs)

## get family functions:
variance <- family$variance
linkinv  <- family$linkinv
if (!is.function(variance) || !is.function(linkinv) )
  stop("'family' argument seems not to be a valid family object", call. = FALSE)
dev.resids <- family$dev.resids
aic <- family$aic
mu.eta <- family$mu.eta
unless.null <- function(x, if.null) if(is.null(x)) if.null else x
valideta <- unless.null(family$valideta, function(eta) TRUE)
validmu  <- unless.null(family$validmu,  function(mu) TRUE)
if(is.null(mustart)) {
  ## calculates mustart and may change y and weights and set n (!)
  eval(family$initialize)
} else {
  mukeep <- mustart
  eval(family$initialize)
  mustart <- mukeep
}
if(EMPTY) {
  eta <- rep.int(0, nobs) + offset
  if (!valideta(eta))
    stop("invalid linear predictor values in empty model", call. = FALSE)
  mu <- linkinv(eta)
  ## calculate initial deviance and coefficient
  if (!validmu(mu))
    stop("invalid fitted means in empty model", call. = FALSE)
  dev <- sum(dev.resids(y, mu, weights))
  w <- sqrt((weights * mu.eta(eta)^2)/variance(mu))
  residuals <- (y - mu)/mu.eta(eta)
  good <- rep_len(TRUE, length(residuals))
  boundary <- conv <- TRUE
  coef <- numeric()
  iter <- 0L
} else {
  coefold <- NULL
  eta <-
    if(!is.null(etastart)) etastart
  else if(!is.null(start))
    if (length(start) != nvars)
      stop(gettextf("length of 'start' should equal %d and correspond to initial coefs for %s", nvars, paste(deparse(xnames), collapse=", ")),
           domain = NA)
  else {
    coefold <- start
    offset + as.vector(if (NCOL(x) == 1L) x * start else x %*% start)
  }
  else family$linkfun(mustart)
  mu <- linkinv(eta)
  if (!(validmu(mu) && valideta(eta)))
    stop("cannot find valid starting values: please specify some", call. = FALSE)
  ## calculate initial deviance and coefficient
  devold <- sum(dev.resids(y, mu, weights))
  boundary <- conv <- FALSE

  ##------------- THE Iteratively Reweighting L.S. iteration -----------
  for (iter in 1L:control$maxit) {
    good <- weights > 0
    varmu <- variance(mu)[good]
    if (anyNA(varmu))
      stop("NAs in V(mu)")
    if (any(varmu == 0))
      stop("0s in V(mu)")
    mu.eta.val <- mu.eta(eta)
    if (any(is.na(mu.eta.val[good])))
      stop("NAs in d(mu)/d(eta)")
    ## drop observations for which w will be zero
    good <- (weights > 0) & (mu.eta.val != 0)

    if (all(!good)) {
      conv <- FALSE
      warning(gettextf("no observations informative at iteration %d",
                       iter), domain = NA)
      break
    }
    z <- (eta - offset)[good] + (y - mu)[good]/mu.eta.val[good]
    w <- sqrt((weights[good] * mu.eta.val[good]^2)/variance(mu)[good])
    # ## call Fortran code via C wrapper
    # fit <- .Call(C_Cdqrls, x[good, , drop = FALSE] * w, z * w,
    #              min(1e-7, control$epsilon/1000), check=FALSE)
    # 

    #print(iter)
    #print(z)
    #print(w)
  }


  }
  return(list(z=z, w=w, mustart=mustart, etastart=etastart, eta=eta, offset=offset, mu=mu, mu.eta.val=mu.eta.val,
              weight=weights, var_mu=variance(mu)))

}